Serre's Modularity Conjecture
这些是2012年2月在卢森堡大学举办的伽罗瓦论冬季学校的五小时迷你课程的讲义。他们的目的是给一个概述塞尔的模块性猜想和它的证明哈雷，温滕贝格和基辛，以及其他数学家的结果，发挥了重要作用的证明。在此过程中，我们评论了一些最近（截至2012年）关于猜想推广的工作。
2014-02-28 math.NT
Some transcendence results from a harmless irrationality theorem
某些单变量函数的值的算术性质，特别是$\sin{z}$、$\cos{z}$、$\sinh{z}$、$\cosh{z}$、$e^z$和$\ln{z}$，是数论中的一个相关主题。例如，所有这些函数返回$z$的所有非零代数值的超越值（$\ln{z}$的情况下为$z \ne 1$）。另一方面，对于$\,e^e$、$\,π^e$、$\,π^π$、$\,\lnπ$、$\,π+ e\,$和$\,π\, e$这样的数，甚至连无理性证明都不知道，尽管众所周知，后两个数中至少有一个是无理性的。在本文中，我首先推导出最后一个结果的更一般的形式，证明任何两个超越数的和与积中至少有一个是超越数。然后，我用它来证明，给定任何复数$\,t \ne 0, 1/e$，至少有两个数$\,\ln{t}$、$\,t + e\,$和$\,t \, e\,$是超越的。我还证明了$\,\cosh{z}$、$\sinh{z}\,$和$\,\tanh{z}\,$返回所有$\,z = r \, \ln{t}$、$\,r \in \mathbb{Q}$、$r \ne 0$的超越值。最后，我使用Nesterenko最近的代数独立性结果表明，对于所有整数$\,n > 0$，$\,\lnπ\,$和$\,\sqrt{n} \, π\,$是线性独立的$\mathbb{Q}$。
2014-02-07 math.NT
A simplified proof of Serre's Conjectures
这篇短文的目的是利用现有的强模块性提升结果给出Serre的模块性猜想的一个简化证明。这个第二个版本包括额外的细节定义和证明比前一个。
2022-05-03 math.NT
Des critères de transcendance inspirés par un texte de kolberg daté de 1962. II
超越标准的灵感来自科尔伯格的文件日期为1962年。这是第二部分的一份说明约科尔伯格的证明，价值的总和一类某些幂级数在x，为代数值的x，是超越的。一种方法来找到更多这样的类，并说明。
2021-04-25 math.NT
Ordinary pseudorepresentations and modular forms
在这个简短的说明中，我们观察到，我们最近的工作“伪模块化和岩泽理论”的技术可以用来提供一个新的证明的一些剩余可约模块提升结果的斯金纳和怀尔斯。在这些情况下，我们发现普通伪表示的变形环等于Hida Hecke代数的Eisenstein局部分量。我们还表明，Vandiver的猜想暗示Sharifi的猜想。
2017-01-30 math.NT
A note on additive twists, reciprocity laws and quantum modular forms
我们证明了尖形$L$ -函数的加性扭曲的中心值定义了Zagier意义下的量子模形式，推广了Bettin和Drappeau最近的结果.由此我们推导出尖形$L$ -函数的乘法扭转的扭转一阶矩的互易律，类似于Conrey发现的Dirichlet $L$ -函数的扭转二阶矩的互易律。进一步，我们利用相应的函数方程给出了权为2的尖点形式的$L$ -函数的加性扭曲在无穷远处的量子模性的解释.
2020-10-23 math.NT
Special values of derivatives of $L$-series and generalized Stieltjes constants
在$s=1$处的周期算术函数$f$的$L(s,f)$的导数与广义斯蒂尔捷斯常数之间的联系在前面已经被注意到。在本文中，我们利用这种联系，投掷光的算术性质的$L'(1,f)$和某些Stieltjes常数。特别地，如果$p$是大于$7$的奇素数，则我们在S的一个猜想的条件下，推导出广义Stieltjes常数$\{ γ_1(a,p) : 1 \leq a < p \}$的至少$(p-7)/2$的超越性。枪，M。R. Murty和P. Rath。
2018-09-18 math.NT
Topological modularity of Supermoonshine
拓扑模形式理论（英语：Theory of topological modular forms）预言物理理论的椭圆族满足一定的整除性质，由理论的引力反常决定。在本说明中，我们验证了邓肯的Supermoonshine模块，以及在张量积和orbifolds这一预测。一路上，我们开发的机器计算一般交替orbifolds的椭圆属，并讨论了这种结构的关系，难以捉摸的“周期类”的周期。
2023-03-27 hep-th math-ph math.AT
On the motive of Kummer varieties associated to $Γ_1(7)$ - Supplement to the paper: The modularity of certain non-rigid Calabi-Yau threefolds (by R. Livné and N. Yui)
在他们的论文Livné和Yui（数学AG/0304497）讨论了几个例子的非刚性卡-丘品种承认半稳定的K3纤维与6奇异纤维超过一个基地，这是一个合理的模曲线。他们还建立了这些例子的L-函数的模块性。本文的目的是指出，在他们的论文中列出的例子，但不导致半稳定纤维化，仍然是模块化的意义上，他们的L-功能是相关的模形式。我们详细讨论了与组Gamma_1（7）相关的情况，但我们的技术也适用于许多其他情况。我们还就一般椭圆曲面的纤维积的Kummer构造作了一些评论。
2005-06-20 math.AG math.NT
A short note on higher Mordell integrals
经典的模拟模块和量子模形式被称为有一个密切的关系，莫德尔积分感谢茨韦格斯的开创性博士论文。最近，模拟/量子模形式到所谓的“更高深度”版本的概括已经被深入研究。本质上，深度$d$的模拟/量子模形式使得模块化误差变换为深度$d - 1$的另一模拟/量子模形式。在这个简短的说明中，我们使用Bringmann，Kaszian和Milas的技术来证明作者以前研究的一个深度为2的量子模形式的家庭的双重Eichler积分可以与某些“更高”的Mordell积分相关，这意味着它可以被写为某种二重积分，一个La Zwegers。
2021-12-31 math.NT
Modularity from $q$-series
University of Virginia（弗吉尼亚大学）
本文通过q-级数代数、一阶q-微分系统和解析延拓与单值性，建立判断q-级数模性的必要充分条件，为奇异q-级数的模性提供明确路径。
2026-05-17 math.CO math.NT
Two lectures on the arithmetic of K3 surfaces
在这些课堂讲稿中，我们回顾了K3曲面算法的不同方面。主题包括有理点，皮卡德数和泰特猜想，泽塔函数和模块化。
2013-03-05 math.AG math.NT
Crouching AGM, Hidden Modularity
特殊的等差级数$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n$，其系数$c_n$通常作为某些二项式和给出，满足“自我复制”的功能恒等式。例如，当适当地选择相关的模参数化$x=x(τ)$时，等式$$\frac1{(1+4z)^2}f\biggl(\frac{z}{(1+4z)^3}\biggr)=\frac1{(1+2z)^2}f\biggl(\frac{z^2}{(1+2z)^3}\biggr)$$生成权重2和级别7的模形式$f(x)$。在这篇笔记中，我们调查的潜力描述模形式的自我复制方程以及应用的方程，不利用模块性。特别是，我们概述了一个新的配方生成AGM型算法计算$π$和其他相关常数。最后，我们指出一些可能性，以延长函数方程的两个变量的设置。
2016-04-05 math.CA math.CO math.NT
Generalized Lambert series and arithmetic nature of odd zeta values
本文指出，Kanemitsu，Tanigawa和Yoshimoto研究的广义Lambert级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{N-2h}}{e^{n^{N}x}-1}$可以在Ramanujan's Lost Notebook的第$332$页上以稍微更一般的形式找到。我们延长了一个重要的变换，这一系列的Kanemitsu，谷川和Yoshimoto通过删除限制参数$N$和$h$，他们施加。从我们的扩展，我们推导出一个美丽的新的推广Ramanujan的著名公式奇zeta值，$N$奇和$m>0$，给出了$ζ(2m+1)$和$ζ(2Nm+1)$之间的关系。对于任何偶数$N$和$m\in\mathbb{Z}$，得到了与上述推广互补的结果。它推广了Wigert的一个变换，并可看作是$ζ\left(2m+1-\frac{1}{N}\right)$的一个公式.这些变换的应用包括推广的对数的Dedekind eta-函数$η(z)$，Zudilin和Rival型结果超越某些值，超越标准欧拉常数$γ$的转换。
2018-02-14 math.CA math.NT
A note about special cycles on moduli spaces of K3 surfaces
本文将Kudla-Millson关于特殊圈的上同调类的生成级数的模性的结果应用到格极化K3曲面的情形。在这种情况下，特殊的周期可以解释为更高的Noether-Lefschetz位点。这些生成级数可以与模空间的完全子簇的上同调类配对，得到具有更高Noether-莱夫谢茨数作为傅里叶系数的经典Siegel模形式。构造了与全实数域上的二次空间相关的此类完备族的例子。更明确和具体地构造这样的族和由此产生的模形式将是令人感兴趣的。
2014-08-08 math.AG math.NT
Figurate numbers, forms of mixed type and their representation numbers
本文研究了自然数$n$由具有一定正整数系数的有形数之和表示的个数的确定公式问题。为了实现这一点，我们证明了相关的生成函数在一定条件下的系数时，偶数的更高的figurate数被认为是产生了一个模形式的积分重量。特别地，我们得到了系数为偶数的三角数之和所对应的母函数的模性质。我们还得到了含系数的图形数（包括平方数和三角数）的混合形式和含系数的$m^2+mn+n^2$型形式的母函数的模性.特别地，我们证明了奇数平方和奇数三角数（系数）的生成函数的模块性。因此，这些混合形式的表示数的显式公式得到使用的基础上相应的空间的模形式的整数权重。我们还得到了几个应用程序有关的三角数的系数类似的\cite{ono}。在\cite{xia}中，Xia-Ma-Tian考虑了混合形式的一些特殊情况，并利用$(p,k)$参数化方法得到了这21种混合形式的表示数。我们还推导出这21个公式，使用我们的方法，并进一步获得作为结果，$(p,k)$参数化的爱森斯坦系列$E_4(τ)$和它的副本。需要注意的是，$E_4$及其复制品的$(p,k)$参数化是通过\cite{{aw},{aaw}}中的不同方法得出的。我们用几个例子来说明我们的方法。
2023-02-02 math.NT
Remarks on generating series for special cycles
本文考虑了全实域F上二次空间V上Shimura簇S上的特殊代数圈，|F：\Q| =d，签名（（m，2）^{d_+}，（m+2，0）^{d-d_+}），1 \le d_+<d。对于每个n，1 \le n \le m，在S中存在余维为nd+的特殊圈Z（T），它们由系数在整数环O_F中的全半正定矩阵索引.这些圈类在上同调群H^{2nd_+}（S）中的生成列是具有平行权m/2+1的Hilbert-Siegel模形式.对于Chow群CH^{nd_+}（S）中的特殊圈类，可以形成类似的生成级数.当d +=1，n=1时，这类级数的模性已由张元章证明.本文证明了：设Abel-Jacobi映射的内射性为Bloch-Beilinson猜想。则S上余维数为nd+的特殊圈的Chow群值生成级数对所有n为1 \le n \le m是模的.
2019-08-22 math.AG math.NT
Modular Ordinary Differential Equations on ${\rm SL}(2,\mathbb{Z})$ of Third Order and Applications
本文研究了三阶模常微分方程（简称MODE）的如下形式$y'''+Q_2(z)y'+Q_3(z)y=0$，$z\in\mathbb{H}=\{z\in\mathbb{C} \,|\,\operatorname{Im}z>0 \}$，其中$Q_2(z)$和$Q_3(z)-\frac12 Q_2'(z)$分别是权为$4$和$6$的${\rm SL}(2,\mathbb{Z})$上的亚纯模形式.我们证明，${\rm SL}(2,\mathbb{Z})$上深度$2$的任何准模形式都会导致这样的模式。相反，我们对这种模式引入了所谓的Bol表示$\hatρ\colon {\rm SL}(2,\mathbb{Z})\to{\rm SL}(3,\mathbb{C})$，并给出了不可约的充要条件（分别为.还原）的代表性。我们表明，不可约产生的拟模的一些解决方案，这种模式，而约产生的所有解决方案的模块性，并导致某些${\rm SU}(3)$户田系统的解决方案。注意${\rm SU}(N+1)$ Toda系统是从黎曼曲面到$\mathbb{CP}^N$的全纯映射的经典Plücker无穷小公式。
2022-02-22 math.NT
A One Parameter Family of Calabi-Yau Manifolds with Attractor Points of Rank Two
在研究的过程中，ζ函数的一个参数家庭的卡-丘流形，我们已经导致了一个流形，首先研究的Verrill，其中四次分子的ζ函数factorises成两个二次显着往往。在这些因式分解中，我们发现了持久因式分解;这些因式分解由一个参数决定，该参数满足一个系数为Q的代数方程，因此与任何特定素数无关。这样的因式分解被期望是模的，其中每个二次因子与模形式相关联。如果参数定义在Q上，则通过Serre猜想的证明来保证这种模块性。我们确定了三个值的参数，引起持久的factorisations，其中之一是定义在Q，并确定，对于所有三种情况下，相关的模块组。我们注意到这些因子分解是由于Hodge结构的分裂，并且这些参数的特殊值是IIB超引力意义下的秩2吸引子点。据我们所知，这些点提供了第一个明确的例子，非奇异的，非刚性的秩2吸引子点的卡-丘流形的完整SU（3）holonomy。的周期和它们的协变导数的值，在吸引子点，被确定的L-函数的模群的临界值。因此，临界L值进入到物理量的计算中，例如4D时空中黑洞的面积。在我们寻找额外的秩2吸引点时，我们对zeta函数的分子进行了统计分析，并推测该多项式中的系数根据随机USp（4）矩阵的统计分布。
2019-12-12 hep-th math.AG math.NT
