Approximating real-rooted and stable polynomials, with combinatorial applications
设$p(x)=a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n$是一个多项式，其所有根都是实的，且对某些$0<δ<1$满足$x \leq -δ$.我们表明，对于任何$0 < ε<1$，$p(1)$的值是确定在相对误差$ε$的系数$a_k$与$k \leq {c \over \sqrtδ} \ln {n \over ε\sqrt{ δ}}$的一些绝对常数$c > 0$。因此，如果$m_k(G)$是图$G$中具有$k$边的匹配数，则对于任何$0 < ε< 1$，匹配的总数$M(G)=m_0(G)+m_1(G) + \ldots $在相对误差$ε$内由具有$k \leq c \sqrtΔ \ln (v /ε)$的$m_k(G)$的数目确定，其中$Δ$是顶点的最大度，$v$是$G$的顶点数，$c >0$是绝对常数。证明了满足$\Re\thinspace z \leq -δ$的复根多项式的一个类似结果，并将其应用于估计$G$的无分支子图的个数。
2018-06-19 cs.DS math.CA math.CO
Approximating Cycles in Directed Graphs: Fast Algorithms for Girth and Roundtrip Spanners
图的围长，即其最短圈的长度，是图的一个基本参数。不幸的是，所有已知的用于计算（甚至近似地）有向加权$m$ -边和$n$ -节点图中的围长和围长相关结构的算法都需要$Ω(\min\{n^ω, mn\})$时间（对于$2\leqω<2.373$）。在本文中，我们大大改善这些运行时间如下：* 乘法近似在近线性时间：我们给出了一个算法，在$\widetilde{O}(m)$时间计算$\widetilde{O}(1)$ -乘法近似的周长以及$\widetilde{O}(1)$ -乘法往返行程的周长与$\widetilde{O}(n)$边缘高概率（w.h.p）。* 几乎紧的加法近似：对于未加权图和任何$α\in (0,1)$，我们给出了一个算法，在$\widetilde{O}(mn^{1 - α})$时间计算围长w.h.p的$O(n^α)$ -加法近似，并部分去随机化它。我们表明，如果没有组合布尔矩阵乘法的突破，我们的算法的运行时间不能显着提高。我们的主要技术贡献，以实现这些结果是第一个近线性时间算法计算往返覆盖，有向图分解概念的关键，以前的往返crossover建设。以前不知道如何计算这些显著快于$Ω(\min\{n^ω, mn\})$时间。鉴于传统的困难，有效地处理有向图，我们希望我们的技术可以找到进一步的应用。
2018-08-10 cs.DS
Tight Conditional Lower Bounds for Approximating Diameter in Directed Graphs
其中最基本的图形参数是直径，任何一对顶点之间的最大距离。在强指数时间假设（SETH）下，计算具有$m$边的图的直径需要$m^{2-o(1)}$时间，这对于非常大的图来说可能是禁止的，因此期望用于直径的有效近似算法。有一种民间传说算法，它给出直径在$\tilde{O}(m)$时间上的$2$近似值。此外，一系列的工作结束与$3/2$ -近似算法的直径在加权有向图，运行在$\tilde{O}(m^{3/2})$时间。$3/2$ -近似算法在SETH下是紧的：Roditty和Vassilevska W.证明了在SETH下，无向赋权图中直径的任何$3/2-ε$近似算法都需要$m^{2-o(1)}$时间，然后Backurs，Roditty，Segal，Vassilevska W.，Wein和Li的后续工作证明了在SETH下，无向赋权图中直径的任何$5/3-ε$逼近算法都需要$m^{3/2-o(1)}$时间.无论民间传说2-近似算法是紧的，但是，是未知的，并已明确提出作为一个开放的问题，在许多论文。对于这个问题，Bonnet最近证明了在SETH下，任何$7/4-ε$近似都需要$m^{4/3-o(1)}$，仅对于有向加权图。我们完全解决了这个问题，有向图证明民俗2-近似算法是有条件的最佳。在这样做的过程中，我们得到了一系列的条件下界，连同以前的工作，给出了一个完整的时间精度权衡，是紧与所有已知的算…
2020-11-11 cs.DS
Approximating Spanners and Directed Steiner Forest: Upper and Lower Bounds
最近发现，加性空间的存在与（子图，其中所有距离都保持到加法拉伸），（其中需求对的距离精确保持的子图），以及成对的空间（其中需求对的距离保持到乘法或加法延伸的子图）[Abboud-Godwin SODA '16，Godwin-Williams SODA '16]。我们研究这些问题从优化的角度来看，而不是研究极值的存在情况下，我们给出了一个实例，并要求找到sparsify可能的bandwidth/bandwidth。我们给出了一个$O(n^{3/5 + ε})$ -近似的距离和两两的空间（对于任意常数$ε> 0$）。这是两个问题的第一个非平凡上限，这两个问题都像标签覆盖一样难以近似。我们还证明了标签覆盖硬度近似添加剂spiritual，即使是添加剂1拉伸（其中人们可能会期望一个多对数近似，因为相关的乘法2-$O(\log n)$问题承认一个$O(\log n)$ -近似）和添加剂多对数拉伸（其中相关的乘法$O(1)$问题有一个$O(1)$ -近似）的情况下。有趣的是，我们在近似算法中使用的技术超出了基于距离的问题，纯连接网络设计问题。特别是，我们的技术使我们能够给出一个$O(n^{3/5 + ε})$ -近似的有向斯坦纳森林问题（对于任意常数$ε> 0$）时，所有的边缘都有统一的成本，提高了以前的最佳$O(n^{2/3 + ε})$ -近似由于伯曼等人。[ICALP '11]（适用于一…
2016-07-20 cs.DS
Approximating the minimum directed tree cover
给定一个有向图$G$，其弧上的代价为非负，$G$的有向树覆盖是一个有根有向树，使得$T$触及$G$中每条弧的头或尾（或两者）.最小有向树覆盖问题（DTCP）是寻找一个最小费用的有向树覆盖。已知该问题是$NP$ -hard问题。本文证明了加权集合覆盖问题（SCP）是DTCP的一个特例。因此，人们最多可以期望DTCP与SCP具有相同的比率。通过设计一个纯组合的DTCP近似算法，证明了该算法的近似比为$\max\{2, \ln(D^+)\}$，其中$D^+$是$G$中节点的最大外向度，从而在某种程度上满足了这个期望.
2010-09-02 cs.DM cs.DS math.OC
Approximating Directed Connectivity in Almost-Linear Time
Purdue University（普渡大学）
本文提出了一种基于收缩包裹技术的随机算法，用于在几乎线性时间内近似计算有向图的边和顶点连通性。
2025-11-28 cs.DS
Approximating Directed Steiner Problems via Tree Embedding
在k-边连通有向Steiner树（k-DST）问题中，给定一个n阶有向图G，G的边代价为r，根点为r，终端数为h，k为整数。目标是找到G的一个最小代价子图H，它通过k条边不相交的r，t-路将r连接到每个终端t。这个问题包括作为特殊情况的著名的有向斯坦纳树（DST）问题（情况k = 1）和组斯坦纳树（GST）问题。尽管已经在文献中多次研究和提及，例如，由Feldman等人[SODA'09，JCSS'12]、Cheriyan等人[SODA'12，TALG'14]和Laekhanukit [SODA'14]，即使在输入图是有向非循环的并且具有恒定层数的特殊情况下，也没有已知的用于k >= 2的k-DST的非平凡近似算法。如果输入图不是无环的，即使对于k= 2和|T| = 2的非常严格的特殊情况，k-DST的复杂性状态也是未知的。在本文中，我们取得了进展，发展一个非平凡的近似算法的k-DST。本文提出了一个求解具有D层的有向无环图（DAG）上k-DST的O（Dk ^{D-1} logn）-近似算法，该算法可以推广到“一般图”上k-DST的特殊情况，即当实例具有D-浅最优解时，对于每个终端t，存在k条边不相交的r，t-路径，每条路径的长度至多为D。对于k= 1（DST）的情况，我们的算法产生了O（D log h）的近似比，因此意味着在准多项式时间内运行的DST的O（log^3 h）-近似算法…
2016-02-29 cs.DS
An FPRAS for two terminal reliability in directed acyclic graphs
本文提出了有向无环图中双终端可靠性问题的完全多项式时间随机近似方案（FPRAS），并证明其互补的不可靠性近似问题是#BIS困难的。
2024-02-14 cs.DS
Parameterized Algorithms for Directed Maximum Leaf Problems
证明了在有向图中寻找一棵至少有$k$叶的有根子树是一个固定参数的易处理问题。一个类似的结果适用于寻找根生成树与许多叶子的有向图从一个广泛的家庭$\cal L$，其中包括所有的强和非循环有向图。这完全解决了一个开放的问题的研究员，并解决了另一个有向图在$\cal L$。我们的算法是基于以下组合的结果，可以被看作是一个推广的许多结果的“生成树与许多叶子”在无向的情况下，这是有趣的：如果一个有向图$D\in \cal L$的顺序$n$与最小度至少3包含一个有根生成树，那么$D$包含一个至少$(n/2)^{1/5}-1$叶。
2007-02-08 cs.DM cs.DS
Reconstructing a Bounded-Degree Directed Tree Using Path Queries
我们提出了一个随机算法重建$n$节点和节点度最多$d$的有向根树，通过询问最多$O(dn\log^2 n)$路径查询。每个路径查询将源节点和目标节点作为输入，并回答是否存在从源到目标的有向路径。关于下界，我们表明，任何随机算法至少需要$Ω(n\log n)$查询，而任何确定性算法至少需要$Ω(dn)$查询。此外，我们提出了一个$O(dn\log^3 n)$随机算法噪声查询，和$O(dn\log^2 n)$随机算法加权树上的加法查询。
2017-11-16 cs.DS
How heavy independent sets help to find arborescences with many leaves in DAGs
Institute of Mathematics；Statistics. University of S \ a o Paulo. S \ a o Paulo, Brazil；Center for Mathematics. Computing；Cognition. Federal University of ABC. Santo Andr \'e , S \ a o Paulo, Brazil
本研究针对有根有向无环图上的最大叶子生成树形图NP难问题，通过建立该问题与最大权集合打包的关联，提出了7/5近似算法，优于此前的3/2近似，且方法有望改进相关问题的近似比。
2021-11-26 cs.DS
On subexponential running times for approximating directed Steiner tree and related problems
This paper concerns proving almost tight (super-polynomial) running times, for achieving desired approximation ratios for various problems. To illustrate, the question we study, let us consider the Set-Cover problem with n elements and m sets. Now we specify our goal to approximate Set-Cover to a factor of (1-d)ln n, for a given parameter 0<d<1. What is the best possible running time for achieving such approximation? This question was answered implicitly in the work of Moshkovitz [Theory of Computing, 2015]: Assuming both the Projection Games Conjecture (PGC) and the Exponential-Time Hypothesi…
2018-11-02 cs.DS
Approximating subset $k$-connectivity problems
终端的子集$T \subseteq V$是$k$ -连接到有向/无向图$J$中的根$s$，如果$J$对于每个$v \in T$具有$k$内部不相交的$vs$ -路径; $T$是$k$ -连接在$J$中，如果$T$是$k$ -连接到每个$s \in T$。我们考虑{ \sf子集$k$ -连通性扩充}问题：给定一个图$G=(V,E)$，其边/节点代价为$T \subseteq V$，节点子集$T \subseteq V$，以及$G$的子图$J=(V,E_J)$，使得$T$在$J$中是$k$ -连通的，找到一个最小代价扩充边集$F \subseteq E \setminus E_J$，使得$T$在$J \cup F$中是$(k+1)$ -连通的。这个问题允许平凡比$O(|T|^2)$。我们考虑$|T|>k$的情形，证明了对于有向/无向图和边/节点代价，{ \sf有根子集$k$ -连通性增强}的$ρ$ -近似隐含了{ \sf子集$k$ -连通性增强}的以下比率：（i）$b(ρ+k) + {(\frac{3|T|}{|T|-k})}^2 H(\frac{3|T|}{|T|-k})$ ;（ii）$ρ\cdot O(\frac{|T|}{|T|-k} \log k)$，其中对于无向图b=1，对于有向图b=2，并且$H(k)$是$k$次谐波数。无向图上最著名的$ρ$值是边代价的$\min\{|T|…
2011-05-21 cs.DS
Weighted hierarchical alignment of directed acyclic graph
在某些匹配应用中，必须保持两个图的结构或层次属性。两个有向图中边的方向诱导了层次性质。由图中的层次结构定义的这些结构关系充当对对齐的约束。在本文中，我们将上述问题形式化为两个有向无环图之间的加权对齐。我们证明了这个问题是NP-完全的，显示几个上界近似的解决方案，最后介绍多项式时间算法的子类的有向无环图。
2007-05-11 cs.DS
Approximating two-terminal network reliability
School of Computing and Data Science, The University of Hong Kong（香港大学计算与数据科学学院）；School of Informatics, University of Edinburgh（爱丁堡大学信息学院）
针对一般图的两终端可靠性问题，提出FPRAS，证明互补不可靠性问题#BIS难，核心思想来自GPT-5.6 Sol Ultra。
2026-11-05 cs.DS
Approximating the Largest Root and Applications to Interlacing Families
研究了用实根$n$的顶$k$系数逼近其最大根的问题，给出了近似匹配的上、下界。我们提出的算法与运行时间多项式在$k$，使用顶部$k$系数近似的最大根内的一个因素$n^{1/k}$和$1+O(\tfrac{\log n}{k})^2$时，$k\leq \log n$和$k>\log n$分别。我们还证明了相应的信息理论下界的$n^{Ω(1/k)}$和$1+Ω\left(\frac{\log \frac{2n}{k}}{k}\right)^2$，并显示出强大的下界噪声版本的问题，其中一个是访问近似系数。该问题在交错多项式族方法的背景下有应用，该方法用于证明所有次数的拉马努金图的存在性、Kadison-Singer问题的解以及限制非对称旅行推销员问题的完整性差距。所有这些都涉及计算某些实根多项式的最大根，对于这些多项式，顶部的几个系数可以在次指数时间内访问。我们的结果产生一个算法的运行时间为$2^{\tilde O(\sqrt[3]n)}$的所有这些。
2017-04-12 cs.DS math.CO
Leafy Spanning Arborescences in DAGs
Institute of Mathematics；Statistics. University of S \ a o Paulo. S \ a o Paulo, Brazil；Center for Mathematics. Computing；Cognition. Federal University of ABC. Santo Andr \'e , S \ a o Paulo, Brazil
针对有根有向无环图上最大叶子生成树形图这一MaxSNP难问题，本文将已有2-近似算法改进为(3/2)-近似，并推导了其顶点加权版本的不可近似性结果。
2020-07-15 cs.DS
Settling SETH vs. Approximate Sparse Directed Unweighted Diameter (up to (NU)NSETH)
我们证明了几个紧密的结果细粒度的复杂性近似的直径的图。首先，我们证明了，对于任何$\varepsilon>0$，假设强指数时间假设（SETH），有没有近线性时间$2-\varepsilon$ -近似算法的直径稀疏有向图，即使在未加权图。这个结果表明，一个简单的近线性时间2近似算法的直径是最佳的SETH下，回答了一个问题，从调查的Rubinstein和Vassilevska-Williams（SIGACT '19）的情况下，有向图。在同一项调查中，Rubinstein和Vassilevska-Williams还询问是否有可能证明在$O(n^{1.499})$时间内有向图中没有直径的$2-\varepsilon$近似算法。我们表明，假设一个假设称为NSETH，不能使用一个确定性的SETH为基础的减少，以排除这种算法的存在。扩展技术在这两个结果中，我们表征是否$2-\varepsilon$近似算法运行在时间$O(n^{1+δ})$的直径稀疏有向未加权图可以排除由确定性的基于SETH的减少每个$δ\in(0,1)$和基本上每个$\varepsilon\in(0,1)$，假设NSETH。这解决了SETH-硬度的近似直径的稀疏有向未加权图的确定性减少，NSETH。我们对基于SETH的随机化约简进行了相同的表征，假设另一个称为NUNSETH的假设。我们证明了无向图的额外的硬度和非约化结果。
2021-04-01 cs.DS
From Directed Steiner Tree to Directed Polymatroid Steiner Tree in Planar Graphs
在有向斯坦纳树（DST）问题中，输入是有向边加权图$G=(V,E)$、根顶点$r$和$k$终端的集合$S \subseteq V$。我们的目标是找到一个最小成本的子图，连接$r$到每个终端。DST允许准多项式时间的$O(\log^2 k/\log \log k)$ -近似，以及多项式时间的任何固定$ε> 0$的$O(k^ε)$ -近似。解决多项式时间多对数逼近的存在性问题是逼近算法中的一个主要问题。在最近的工作中，Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]通过Thorup的最短路径分离定理获得了平面有向图中DST的简单而优雅的多项式时间$O(\log k)$ -近似。我们建立在他们的工作，并取得了一些新的成果DST和相关问题。- 我们通过对Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]中递归的解释，开发了一种用于平面有向图中有根问题的树嵌入技术。利用这一点，我们得到多项式时间的多对数近似的群Steiner树，覆盖Steiner树，和多拟阵Steiner树问题的平面有向图。所有这些问题即使在树中也很难近似到$Ω(\log^2 n/\log \log n)$的因子内。- 我们证明了DST的自然割LP松弛在平面图中具有$O(\log^2 k)$的完整性间隙。这与一般图形成对比，其中已知该LP的完整性间隙为$Ω(k)$，并且对于某些固定的$δ> 0$为$Ω(…
2024-07-02 cs.DS
Exponential Quantum Space Advantage for Approximating Maximum Directed Cut in the Streaming Model
针对最大有向割问题，提出一种使用 polylog(n) 空间的量子流式算法，实现 0.4844 近似比，首次在自然流式问题中取得指数级量子空间优势。
2023-11-23 cs.DS quant-ph
Approximating Transitivity in Directed Networks
我们研究了计算最小等价有向图的问题（也称为计算强传递约简的问题）及其最大目标函数变体，具有两种类型的扩展。首先，我们允许声明一个集合$D\subset E$，并要求一个有效的解决方案$A$满足$D\subset A$（它有时被称为传递约简问题）。在第二个扩展（称为$p$ -ary传递约简），我们有整数边标记，我们认为两条路径是等价的，如果它们有相同的开始，结束和标签模$p$的总和。对于所有的问题，我们建立了：$A\subseteq E$在比率1.5以内的多项式时间最小化，$|E-A|$在比率2以内的多项式时间最大化，MAX-SNP硬度甚至简单循环的长度也限制在5以内。此外，我们相信，组合技术背后的近似算法的最小化版本可能会感兴趣的其他图形连接问题。
2008-09-01 cs.CC cs.DM cs.DS
Approximating Random Walks in $\widetilde{O}(\log n + \log^2 κ)$ Space for $κ$-Conditioned Graphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
针对 $\kappa$-条件有向图，提出确定性算法，在 $O((\log n + \log^2 \kappa) \log \log n)$ 空间内近似平稳分布，改进了现有随机游走空间界。
2026-10-06 cs.DS
A Class of Unrooted Phylogenetic Networks Inspired by the Properties of Rooted Tree-Child Networks
Delft Institute of Applied Mathematics, Delft University of Technology（代尔夫特理工大学应用数学研究所）；Department of Computer Science, Middlesex University（中伦敦大学计算机科学系）；School of Computer Science, University of Auckland（奥克兰大学计算机科学学院）；Faculty of Computer Science, Dalhousie University（达尔豪斯大学计算机科学学院）
本文提出了一种新的无向系统发育网络类别，称为q-可切网络，以替代树-子网络，具有多项式时间识别性和计算实用性。
2026-03-07 cs.DS math.CO q-bio.PE
Half-Approximating Maximum Dicut in the Streaming Setting
Northeastern University（东北大学）
本文研究了在流模型下最大有向割问题的近似算法，证明在一般图中使用亚线性空间可实现(1/2-ε)近似，解决了该基础问题的近似复杂性。
2026-03-31 cs.DS
Approximating APSP without Scaling: Equivalence of Approximate Min-Plus and Exact Min-Max
Zwick的$(1+\varepsilon)$ -近似算法用于所有对最短路径（APSP）问题，在时间上运行$\widetilde{O}(\frac{n^ω}{\varepsilon} \log{W})$，其中$ω\le 2.373$是矩阵乘法的指数，并且$W$表示最大权重。这可用于近似几个图形特征，包括同一时间范围内的直径、半径、中位数、最小权重三角形和最小权重循环。由于Zwick的算法使用缩放技术，因此它在运行时间中具有因子$\log W$。在本文中，我们研究是否APSP及相关问题承认近似计划，避免缩放技术。也就是说，算术运算的次数应该与$W$无关;这称为强多项式。我们的主要结果如下。- 我们设计的近似计划在强多项式时间$O(\frac{n^ω}{\varepsilon} \text{polylog}(\frac{n}{\varepsilon}))$的APSP无向图以及图形特征的直径，半径，中位数，最小重量三角形，最小重量圈有向或无向图。- 对于有向图上的APSP，我们设计了一个强多项式时间的近似方案$O(n^{\frac{ω+ 3}{2}} \varepsilon^{-1} \text{polylog}(\frac{n}{\varepsilon}))$ .这比最好的精确算法快得多。- 我们解释了为什么我们的近似计划APSP有向图有一个更糟糕的指数比$ω$：我们的指数$\frac…
2019-07-25 cs.CC cs.DS
An Approximation Algorithm for the Connected Maximum Coverage Problem in Directed Graphs
Gran Sasso Science Institute（格兰萨索科学研究所）
本文针对有向图的有根带预算最大覆盖问题（DRCC）提出一种近似算法，获预算违反因子1+ε的近似比，还改进了其特例带预算节点赋权施泰纳问题的近似比。
2026-08-06 cs.DS
On computing the $2$-vertex-connected components of directed graphs
本文研究了有向图的$2$ -点连通分支（$2$ -vccs）的计算问题。我们提出了两个新的算法来解决这个问题。第一个算法在$O(mn^{2})$时间内运行，第二个在$O(nm)$时间内运行。此外，我们证明了Erimskii和Svetlov的旧算法在$O(nm^{2})$时间内运行。本文研究了$2$ -vccs与支配树之间的关系。我们还提出了一个在$O(n^{3}m)$时间内计算有向图的$3$ -顶点连通分量（$3$-vccs）的算法，并证明了有向图的$k$ -顶点连通分量（$k$-vccs）可以在$O(mn^{2k-3})$时间内计算.最后，我们考虑我们的新算法的三个应用，这是问题的近似算法的问题是近似的问题的推广的最小的$2$ -点连通生成子图的$2$ -点连通有向图。
2014-01-23 cs.DS
A Note on Fault Tolerant Reachability for Directed Graphs
本文描述了低高阶在容错网络设计中的应用。Baswana等人[DISC 2015]研究了以下可达性问题。我们给出了一个流图$G = (V, A)$，其起始点为$s$，生成树$T =(V, A_T)$以$s$为根。如果$G$的子图$G' = (V, A_T \cup A')$与$G$具有相同的支配者，我们称弧集$A'$有效。我们的目标是找到一个有效的最小尺寸集。Baswana等人给出了一个在$O(m \log{n})$时间内计算最小有效集的$O(m \log{n})$时间算法，其中$n = |V|$和$m = |A|$ .在这里，我们提供了一个简单的$O(m)$时间算法，它使用$G$的支配树$D$和它的低-高阶。
2015-11-24 cs.DS
On Approximating Degree-Bounded Network Design Problems
有向斯坦纳树（DST）是组合优化和理论计算机科学中的一个核心问题：给定一个有向图$G=(V, E)$，其边代价为$c \in \mathbb{R}_{\geq 0}^E$，根代价为$r \in V$，$k$的终端代价为$K\subseteq V$，我们需要在$G$中输出最小代价树形图，该树形图包含每个$t \in K$的一条$r$ \textrightarrow $t$路径。最近，Grandoni，Laekhanukit和Li，以及独立的Ghugge和Nagarajan，给出了该问题的拟多项式时间$O(\log^2k/\log \log k)$ -近似算法，在流行的复杂性假设下，该算法是紧的。在本文中，我们考虑更一般的度有界有向Steiner树（DB-DST）的问题，在这里，我们另外给出了一个度界$d_v$上的每个顶点$v \in V$，我们要求每个顶点$v$在输出树中有最多的$d_v$儿童。我们给出了一个准多项式时间的$(O(\log n \log k), O(\log^2 n))$ -双准则近似：该算法产生的解的代价最多是违反度约束的最优解的代价的$O(\log n\log k)$倍，最多是$O(\log^2n)$的一个因子.这是该问题的第一个非平凡结果。虽然我们的成本保证是接近最优的，但$O(\log^2n)$的度违反因子是距离集合覆盖硬度的$Ω(\log n)$的近似下界的…
2020-04-27 cs.DS
Purely Combinatorial Algorithms for Approximate Directed Minimum Degree Spanning Trees
给定一个有向图$G$，其上的$n$顶点具有一个特殊顶点$s$，有向最小度生成树问题需要计算一棵以$s$为根的传入生成树，该树的最大树入度在所有这样的树中是最小的。这个问题是NP困难的，因为它推广了哈密顿路径问题。最佳的基于LP的多项式时间算法可以实现$Δ^*+2$的近似[Bansal et al，2009]，其中$Δ^*$表示最佳最大树入度。对于纯组合算法（不使用LP的算法），最佳近似是$O(Δ^*+\log n)$ [Krishnan and Raghavachari，2001]，但运行时间是准多项式。在本文中，我们专注于纯组合算法，并试图弥合基于LP的方法和纯组合方法之间的差距。因此，我们提出了一个纯粹的组合多项式时间算法，也实现了$O(Δ^* + \log n)$近似。然后我们改进了这个算法，得到了一个$(1+ε)Δ^* + O(\frac{\log n}{\log\log n})$的任何常数$0<ε<1$近似在多项式时间。
2019-05-27 cs.DS
Approximating the minimum cycle mean
我们考虑有向图，其中每个边都标记有一个整数的权重和研究的基本算法问题的计算值的一个周期的最小平均重量。我们的贡献是双重的：（1）首先我们证明了这个算法问题可以在O（n^2）时间内归结为n × n矩阵的最小加矩阵乘法的对数问题，其中n是图的顶点数。(2)其次，当权值为非负时，给出了该问题的第一（1 + ε）近似算法，算法的运行时间为\tilde（O）（n^ωlog^3（nW/ε）/ ε），其中O（n^ω）是经典的n乘n矩阵乘法所需的时间，W是权值的最大值.
2013-07-17 cs.DS
Approximation Algorithms for the Graph Burning on Cactus and Directed Trees
针对仙人掌图与多根、单根有向树上的图燃烧问题，分别提出2.75、3和1.905近似算法，并通过随机图实验验证。
2023-07-17 cs.DM cs.DS
Approximating Min-Diameter: Standard and Bichromatic
本文研究有向图及双色图的最小直径近似，给出 DAG 中条件最优的 $3/2$-近似算法，并证明一般有向图在 SETH 下低于 2 不可次平方实现。
2023-08-16 cs.DS
Almost-Optimal Approximation Algorithms for Global Minimum Cut in Directed Graphs
Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术学院）
本文提出了一种接近最优的全局最小割近似算法，适用于有向图中的边和顶点割问题。
2026-07-22 cs.DS
Combinatorial Algorithms for Rooted Prize-Collecting Walks and Applications to Orienteering and Minimum-Latency Problems
我们考虑根奖品收集行走（PCW）问题，其中我们寻求具有最小奖品收集成本的根行走的集合$C$，其为（$C$中行走的总成本）+（$C$中未被任何行走访问的节点的总节点奖励）。这个问题自然出现的拉格朗日松弛定向，我们寻求一个长度有界的步行最大的回报，和$\ell$漫步问题，我们寻求一个最小长度的步行覆盖至少$\ell$节点。我们的主要贡献是设计一个简单的，组合算法的PCW问题的有向图，返回一个根树的奖金收集成本是最佳值的奖金收集散步问题。我们利用我们的算法开发组合近似算法的两个基本的车辆路径问题（VRP）：（1）定向运动;和（2）$k$ -最小延迟问题（$k$ -MLP），其中我们试图覆盖所有节点使用$k$路径开始在一个规定的根结点，以尽量减少节点访问时间的总和。我们的组合算法允许我们避开在Friggstand和Swamy（2017）的定向运动LP舍入算法中求解基于预流的LP的部分，以及Post和Swamy（2015）中$k$ -MP的最先进的$7.183$ -近似算法。因此，我们得到这些算法的组合实现与当前最佳近似因子相比，大大提高了运行时间。我们报告的计算结果，我们的结果（组合实现）定向越野算法，这表明该算法在实践中表现相当不错，无论是在质量方面的解决方案，他们返回，也是上限，他们产生的定向越野最佳（这是通过利用我们的PCW算法的工作）。
2021-11-14 cs.DS
An FPT Algorithm for Directed Spanning k-Leaf
一个有向图的外分支是一个有根的生成树，所有的弧都从根向外定向。我们考虑的问题，决定是否一个给定的有向图D有一个至少有k个叶（定向生成k-Leaf）的外分支。我们证明了当k为参数时，该问题是固定参数易处理的。以前，这只知道有限类的有向图。该方法的主要新成分是一个引理，它表明给定一个有向图的局部最优出分支，其中每个弧是至少一个出分支的一部分，要么存在至少k个叶子的出分支，要么可以找到宽度为O（k^3）的路径分解。这使得基于动态规划的算法的运行时间为2^{O（k^3 \log k）} n^{O（1）}，其中n=| V（D）|.
2007-11-26 cs.DM cs.DS
Near Optimal Algorithm for the Directed Single Source Replacement Paths Problem
在单源替换路径（SSRP）问题中，我们给出图$G = (V, E)$和以节点$s$为根的最短路径树$\widehat{K}$，并且目标是为$\widehat{K}$中的每个节点$t \in V$和每个边$e$输出从$s$到$t$的最短路径的长度，避免$e$。提出了一个求解无权有向图的$\tilde{O}(m\sqrt{n} + n^2)$时间随机组合算法。以前这样的界限是已知的有向的情况下，只有在似乎更容易的问题，其中的源和目标节点都是固定的替换路径。我们的新的上限为这个问题匹配现有的条件组合下界。因此，（假设这些条件下的下限）我们的结果基本上是最优的，并完成了组合设置中的SSRP问题的图片。我们的算法扩展到小，合理的边权重的情况下。在这种情况下，我们加强现有的条件下界显示，任何$O(mn^{1/2-ε})$时间（组合或代数）算法的一些固定的$ε>0$产生一个真正的次立方算法的加权所有对最短路径问题（以前这样的边界是已知的组合设置）。
2020-04-28 cs.DS
Quasi-Polynomial Algorithms for Submodular Tree Orienteering and Other Directed Network Design Problems
我们考虑以下有向图上的一般网络设计问题。输入是非对称度量$(V,c)$、根$r^{*}\in V$、单调子模函数$f:2^V\rightarrow \mathbb{R}_+$和预算$B$。我们的目标是找到一个$r^{*}$ -根树形$T$的成本最多$B$，最大化$f(T)$。我们的主要结果是这个问题的一个简单的拟多项式时间$O(\frac{\log k}{\log\log k})$ -近似算法，其中$k\le |V|$是最优解的顶点数。据我们所知，这是这个问题的第一个非平凡近似比。由此得到了有向（多拟阵）Steiner树的一个拟多项式时间的$O(\frac{\log^2 k}{\log\log k})$ -近似算法.我们还扩展了我们的主要结果设置额外的长度界限的顶点，从而导致改进的$O(\frac{\log^2 k}{\log\log k})$近似算法的单源批量购买和优先级施泰纳树问题。对于通常的有向Steiner树问题，我们的结果与以前的最佳近似比[GLL 19]相匹配。我们的算法具有确定性和更快的优点：运行时是$\exp(O(\log n\, \log^{1+ε} k))$。对于多拟阵Steiner树和单源批量购买，我们的结果提高了对数因子的先验近似比。对于有向优先Steiner树，我们的结果似乎是第一个非平凡的近似比。我们所有的近似比是紧（常数因子）的准多项式算法。
2019-04-01 cs.DS
Approximating the Minimum Equivalent Digraph
MEG（最小等价图）问题是给定一个有向图，寻找一个小的边子集，使节点之间保持所有的可达关系。这个问题是NP难的。本文给出了一种性能保证为pi^2/6 ~ 1.64的近似算法。该算法及其分析基于收缩长循环的简单思想。(This结果在“关于具有有界圈长的强连通有向图”（1996）中得到了稍微加强。）该分析直接适用于2-Exchange，一个简单的“局部改进”算法，表明其性能保证为1.75。
2002-05-18 cs.DM cs.DS
Approximating ATSP by Relaxing Connectivity
非对称旅行商问题的标准LP松弛已被证明在度量情况下具有常数完整性间隙。我们证明了这个猜想时，限制到最短路径度量的节点加权有向图。我们的论点是建设性的，并给出了这些度量的常数因子近似算法。我们注意到，所考虑的情况下是更一般的对称旅行推销员问题的特殊情况下，有最近的改进Christofides的算法比直接模拟。我们的方法的主要思想是首先考虑一个更容易的问题，通过显着放宽一般的连接要求到本地连接条件。对于这个放松的问题，很容易给出一个保证节点加权最短路径度量为3的算法。更令人惊讶的是，我们然后表明，任何算法（无论度量）的放松问题可以变成一个算法的非对称旅行商问题，只失去一个小的常数因子的性能保证。这就留下了一个有趣的任务，即为一般度量的放松问题设计一个“好”的算法。
2015-08-13 cs.DS
On rooted $k$-connectivity problems in quasi-bipartite digraphs
该研究针对有向最小代价有根子集$k$-边连通的更广泛情形，提出了与已有拟二部实例LP算法同近似比的简单组合算法，可覆盖任意T-相交超模集合函数及更宽松的边约束场景。
2023-07-25 cs.DS
Approximating the Weighted Minimum Label $s$-$t$ Cut Problem
在加权（最小）{ \sf Label $s$ - $t$ Cut}问题中，我们给出一个（有向或无向）图$G=(V,E)$，一个具有正标签权重$\{w_\ell\}$的标签集$L = \{\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_q \}$，一个源$s \in V$和一个汇$t \in V$。$G$的每个边缘$e$具有来自$L$的标签$\ell(e)$。不同的边可以具有相同的标签。该问题要求找到最小权重标签子集$L'$，使得移除$L'$中具有标签的所有边缘断开$s$和$t$。未加权的{ \sf标签$s$ - $t$切割}问题（即，每个标签具有单位权重）可以在$O(n^{2/3})$内近似，其中$n$是图$G$的顶点数。然而，如何在$o(n)$内近似加权的{ \sf标签$s$ - $t$切割}问题长期以来是未知的。本文给出了带比率$O(n^{2/3})$的加权{ \sf Label $s$ - $t$ Cut}问题的一个近似算法.该算法的关键点是一个机制，解释标签的重量在边缘的长度和容量。
2020-11-12 cs.DS
Tight bounds for popping algorithms
我们锐化部分拒绝抽样框架下的算法的运行时分析。我们的方法产生改进的界限：集群弹出算法近似所有终端网络的可靠性;周期弹出算法采样根生成树;下沉弹出算法采样无下沉方向。在这三个应用中，我们的边界不仅是紧的顺序，而且常数最优。
2018-12-13 cs.CC cs.DS
Diameter Spanners, Eccentricity Spanners, and Approximating Extremal Distances
图的直径是图的最重要的参数之一，在许多实际应用中被使用。特别是，直径决定了信息在整个数据和通信网络中传播的速度。因此，很自然的问题是，我们可以在多大程度上稀疏一个图，并仍然保证其直径保持在近似$t$内。这个性质被极端距离空间的概念所捕获。给定一个图$G=(V,E)$，如果$H$的直径至多是$t$乘以$G$的直径，则子图$H=(V,E_H)$被定义为$t$ -直径图。我们证明了对于任何$n$ -顶点和$m$ -边有向图$G$，我们可以计算出一个稀疏子图$H$，它是$G$的一个$(1.5)$ -直径图，使得$H$最多包含$\tilde O(n^{1.5})$边.我们还表明，拉伸因子不能提高到$(1.5-ε)$。对于一个直径为常数的图，我们证明了$\frac{5}{3}$ -直径图的存在性，它最多包含$\tilde O(n^\frac{4}{3})$边。我们还证明了这个界是紧的。此外，我们还提出了其他类型的极值距离空间，如$2$ -偏心度空间和$2$ -半径空间，它们都只包含$\tilde O(n)$边，并且可以在$\tilde O(m)$时间内计算.最后，我们研究了动态和容错环境下的极值距离空间。一个有趣的含义，我们的工作是第一个$\tilde O(m)$时间算法计算$2$ -近似的顶点偏心率在一般有向加权图。Backurs等人[STOC 2018]对此问题给出了一个$\tilde O…
2019-02-20 cs.DS
Constant Girth Approximation for Directed Graphs in Subquadratic Time
在本文中，我们提供了一个$\tilde{O}(m\sqrt{n})$时间算法，计算$3$ -乘法近似周长的$n$ -节点$m$ -边有向图的非负边长。这是第一个算法，近似周长的有向图的常数乘法因子快于所有对最短路径（APSP）的时间，即$O(mn)$。此外，对于任何整数$k \ge 1$，我们提供了一个确定性的算法的$O(k\log\log n)$乘法逼近围长在有向图的$\tilde{O}(m^{1+1/k})$时间。结合这两个结果的技术，我们给出了一个算法的$O(k\log k)$ -乘法逼近围长的有向图在$\tilde{O}(m^{1+1/k})$时间。我们的研究结果自然也提供了算法，改进的建设往返spiritual，模拟spiritual在有向图。这些问题以前的最快算法要么在所有对最短路径（APSP）时间内运行，即$O(mn)$，要么是由于Paclanki等人（PRSTV 18）提供了一个随机算法，对于任何整数$k \ge 1$在时间$\tilde{O}(m^{1+1/k})$计算具有高概率的周长的$O(k\log n)$乘法近似。我们的第一个算法构成了第一个子APSP时间算法，用于近似周长恒定精度，我们的第二个算法消除了对随机性的需求，并提高了Paclanki等人的近似因子。（PRSTV 18），我们的第三个算法是第一个时间与质量的权衡，用于获得恒定近似。
2020-04-14 cs.DS
Approximating minimum-cost edge-covers of crossing biset-families
$V$的子集的有序对$\hat{S}=(S,S^+)$称为{ \em biset}，如果$S \subseteq S^+$ ; $(V-S^+,V-S)$是$\hat{S}$的余-biset。如果$X \cap Y \neq \emptyset$是两个偏置集$\hat{X},\hat{Y}$相交，如果$X \cap Y \neq \emptyset$和$X^+ \cup Y^+ \neq V$是两个偏置集$\hat{X},\hat{Y}$相交。由$\hat{X} \cap \hat{Y} = (X \cap Y, X^+ \cap Y^+)$和$\hat{X} \cup \hat{Y} = (X \cup Y,X^+ \cup Y^+)$定义了两个偏集$\hat{X},\hat{Y}$的交和并。如果$\hat{X} \cap \hat{Y}, \hat{X} \cup \hat{Y} \in {\cal F}$对于任何交叉（相交）的$\hat{X},\hat{Y} \in {\cal F}$，则双集族${\cal F}$交叉（相交）。一条有向边覆盖一个双集$\hat{S}$，如果它从$S$到$V-S^+$。我们考虑的问题，覆盖交叉biset家庭${\cal F}$的最小成本集的有向边缘。虽然对于相交的${\cal F}$，标准的原始-对偶算法计算出最优解，但相交${\cal F}$…
2012-07-18 cs.DS
Semi-dynamic shortest-path tree algorithms for directed graphs with arbitrary weights
给定具有任意实值权重的有向图$G$，单源最短路径问题（SSSP）要求，给定$G$中的源$s$，找到从$s$到$G$中的每个顶点$v$的最短路径。经典的SSSP算法检测$G$的负循环或在$O(mn)$时间内构造以$s$为根的最短路径树（SPT），其中$m,n$分别为$G$中的边数和顶点数。在许多实际应用中，新的约束条件不时出现，我们需要频繁地更新SPT。给定$G$的SPT $T$，假设修改了某条边上的权重。通过严格的证明，我们证明了著名的正赋权图的{ \sf Ball-String}算法可以适用于求解任意权的有向图的动态SPT问题.令$n_0$为受影响的顶点的数目（即，与$s$或输入和输出SPT中的不同父节点具有不同距离的顶点）和$m_0$与受影响顶点关联的边的数量。适配算法在$O(m_0+n_0 \log n_0)$时间终止，或者检测负循环（仅在递减情况下）或者为更新的图构建新的SPT $T'$。我们通过一个例子表明，输出SPT $T'$可能有超过必要的边缘变化$T$。为了弥补这一点，我们给出了一个通用的方法将$T'$到SPT的最小边缘变化的时间$O(n_0)$提供的$G$有没有零长度的周期。
2019-03-05 cs.DS
Better Algorithms and Bounds for Directed Maximum Leaf Problems
{ \sc有向最大叶子出分支}问题是在给定的有向图中找到具有最大叶子数的出分支（即有根有向生成树）。在本文中，我们改进了已知的参数化算法和组合界的叶数在出分支。我们表明，\begin{itemize} \item every strongly connected digraph $D$ of order $n$ with minimum in-degree at least 3 has an out-branching with at least $(n/4)^{1/3}-1$ leaves; \item if a strongly connected digraph $D$ does not contain an out-branching with $k$ leaves, then the pathwidth of its underlying graph is $O(k\log k)$; \item it can be decided in time $2^{O(k\log^2 k)}\cdot n^{O(1)}$ whether a strongly connected digraph on $n$ vertices has an out-branching with at least $k$ leaves. \end{itemize}所有的改进使用的极值结构后，应用本地搜…
2007-07-07 cs.DM cs.DS
Locating a Tree in a Reticulation-Visible Network in Cubic Time
在这项工作中，我们回答了一个开放的问题，在系统发育网络的研究。系统发育树是有根的二叉树，其中所有的边都指向远离根的方向，而系统发育网络是有根的无环有向图。为了验证进化模型，生物学家经常想知道系统发育网络中是否包含一棵系统发育树。树包含问题是NP完全的，即使是非常有限的网络类，如树兄弟系统发育网络。我们证明了这个问题是可解的立方时间稳定的系统发育网络。对于簇包含问题，给出了一个线性时间算法。
2015-11-11 cs.DS q-bio.PE
Approximation algorithms for Node-weighted Steiner Problems: Digraphs with Additive Prizes and Graphs with Submodular Prizes
在\emph{budgeted rooted node-weighted Steiner tree}问题中，我们给出了一个图$G$与$n$节点，一个预定义的节点$r$，两个权重与每个节点建模成本和奖励。目的是在$G$中找到一棵以$r$为根的树，使得其节点的总成本至多是给定的预算$B$，并且总奖金最大化。在\emph{quota rooted node-weighted Steiner tree}问题中，我们给出了一个实值配额$Q$，而不是预算，我们的目标是最小化成本的树扎根于$r$的总奖金至少是$Q$。对于有向图的情况下，添加剂奖励功能，我们开发了一种技术，诉诸于一个标准的基于流的线性规划松弛计算树与奖金和成本之间的良好权衡，这使我们能够提供非常简单的多项式时间近似算法的预算和配额问题。对于\emph{budgeted}问题，我们的算法实现了双准则$(1+ε, O(\frac{1}{ε^2}n^{2/3}\ln{n}))$ -近似，对于任何$ε\in (0, 1]$。对于\emph{quota}问题，我们的算法保证双准则近似因子为$(2, O(n^{2/3}\ln{n}))$。接下来，通过使用基于流的LP，我们提供了一个令人惊讶的简单的多项式时间$O((1+ε)\sqrt{n} \ln {n})$近似算法的节点加权版本的有向斯坦纳树问题，任何$ε>0$。对于无向图的情况下，单调的子…
2022-11-12 cs.CC cs.DS
Approximating Minimum Cost Connectivity Orientation and Augmentation
我们调查的问题，解决组合连接增强和方向设置。我们给出了一个多项式时间的6-近似算法，找到一个最小成本的子图的无向图$G$，承认一个方向覆盖一个非负交叉$G$ -超模需求函数，由弗兰克定义。一个重要的例子是$(k,\ell)$ -边连通性，它是全局边连通性和根边连通性的一个常见推广。我们的算法是基于一个非标准的应用程序的迭代舍入方法。我们观察到，标准的线性规划与切割约束是不适合的，并使用替代的线性规划与分区和共分区的约束。该证明需要一种新型的分区和共分区不交叉技术。我们还考虑了问题设置时，成本的边缘可以是不同的两个可能的方向。对于$k$边缘连接性的更简单要求，问题已经变得更加困难。Khanna，Naor和Shepherd证明了当$k=1$为整数时，自然线性规划的完整性缺口至多为$4$，并证明了对于所有固定的$k$，它是常数。我们通过证明一个$Ω(|V|)$完整性缺口来反驳这个猜想，即使当$k=2$。
2017-11-16 cs.DM cs.DS math.CO
Approximating Multicut and the Demand Graph
在最小多割问题中，输入是边加权供应图$G=(V,E)$和简单需求图$H=(V,F)$。$G$和$H$之一是有向的（DMulC），或者两者都是无向的（UMULC）。目标是在$G$中移除边的最小权重集，使得对于任何$(s,t) \in F$，在剩余图中没有从$s$到$t$的路径。UMulC允许$O(\log k)$近似，其中$k$是$H$的顶点覆盖大小，而DMulC的最佳已知近似是$\min\{k, \tilde{O}(n^{11/23})\}$。这些近似是通过证明多商品流切间隙上的相应结果而得到的。与这些结果相反，一些特殊情况下的Multicut，如研究充分的多路切割问题，承认一个常数因子近似无向和有向图。从应用程序和抽象的考虑的具体实例的激励下，我们认为的作用，结构的需求图$H$在确定多切的近似性。在无向图中，我们的主要结果是一个$2$ -近似在$n^{O(t)}$时间时，需求图$H$排除了诱导匹配的大小$t$。这给出了激励这项工作的特定需求图的常数因子近似。与无向图相反，我们证明了在有向图中不存在这样的近似算法。假设唯一博弈猜想（UGC），对于一大类固定需求图，DMulC不能近似为比最坏情况下的流切间隙更好的因子。因此，我们证明，对于任何固定的$k$，假设UGC，DMulC与$k$需求对是很难近似到一个因素内比$k$更好。在积极的一面，我们证明了$k$的近似时，需求图排除某些图形…
2016-07-25 cs.CC cs.DM cs.DS
Directed Reachability-Preserving Minimum Edge Cut: Approximation and Planar Hardness
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究有向三终端保持可达性的最小边割问题，提出基于根线性近似的O(√r)近似算法，并证明有向平面版本是NP难的。
2026-06-17 cs.CC cs.DS
On Strongly Connected Digraphs with Bounded Cycle Length
MEG（最小等价图）问题是给定一个有向图，寻找一个小的边子集，使节点之间保持所有的可达关系。这个问题是NP难的。本文证明了对于每个有向圈最多有三条边的图，MEG问题等价于最大二部匹配问题，因而在多项式时间内是可解的。这导致改进了以前最好的近似算法的性能保证的一般问题“近似最小等效有向图”（1995年）。
2002-05-10 cs.CC cs.DS
