How the continuum hypothesis could have been a fundamental axiom
Joel David Hamkins
通过历史思想实验，论证连续统假设本可被视为数学乃至微积分不可或缺的基本公理。
我描述了一个简单的历史思想实验，展示我们如何可能将连续统假设视为一条基本公理，一条对数学而言是必要的、甚至对微积分也不可或缺的公理。
I describe a simple historical thought experiment showing how we might have come to view the continuum hypothesis as a fundamental axiom, one necessary for mathematics, indispensable even for calculus.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Proper Forcing Axiom and the Singular Cardinal Hypothesis
我们证明了真力公理蕴含着奇异基数假设。证明是通过插值和使用映射反射原理。
Strong forcing axioms and the continuum problem (following Asperó's and Schindler's proof that $\mathbf{MM}^{++}$ implies Woodin's Axiom $(*)$)
本文基于Asperó和Schindler关于$\mathbf{MM}^{++}$蕴含Woodin公理$(*)$的证明，探讨了连续统问题及其与集合论近期众多进展的联系。
Gregory Trees, The Continuum, And Martin's Axiom
我们继续调查格雷戈里树和康托树财产进行哈特和库南。我们生产的MA模型的连续体任意大，其中有格雷戈里树，并在其中没有格雷戈里树。
Forcing Axioms and the Continuum Hypothesis, part II: Transcending ω_1-sequences of real numbers
本文的目的是证明完全正常强迫的强迫公理与连续统假设不一致。这回答了一个长期存在的希拉问题。此外，可以使用CH构造的相应的完全正常强迫是一棵树，其平方是特殊的对角线。虽然这样的树以前曾被詹森和Kunen根据詹森的钻石原理的假设，这是第一次这样的建设已经进行了使用连续统假设。
A forcing axiom deciding the generalized Souslin Hypothesis
我们从正方形和菱形的结合中推导出一个强制公理，并给出了一些应用，其中主要是超Souslin树的存在。因此，对于每个不可数基数$λ$，如果$λ^{++}$不是哥德尔可构造宇宙中的Mahlo基数，则$2^λ= λ^+$必然存在$λ^+$ -完全$λ^{++}$ -Souslin树。
Martin's Axiom and Weak Kurepa Hypothesis
该研究证明，在Mahlo基数相容的前提下，可构造模型使Martin公理在$ω_2$成立而弱Kurepa假设失败，回答了相关开放问题，并利用c.c.c.力迫扩张确保弱Kurepa假设始终不成立。
The Proper Forcing Axiom, Prikry forcing, and the Singular Cardinals Hypothesis
本文的目的是提出一些结果表明，奇异基数假设遵循的适当的强迫公理。我们要证明的是，一种同时反射的形式来自于集合映射反射原理，这是PFA的一个结果。虽然结果没有表明MRP意味着SCH，但将表明MRP意味着如果SCH首先在kappa处失败，则S_{kappa^+} ^omega = {a < kappa^+：cf（a）= omega}的每个固定子集都反映。它也将证明，MRP总是失败的泛型扩张Prikry强迫。
Martin's Axiom, Large Continuum and Global $Σ^1_n$-Uniformization
本文研究在马丁公理、$2^{\aleph_0}=\aleph_3$、实数的轻语气$Δ^1_3$良序及所有$n\geq 2$的$Σ^1_n$-统一化条件下，构造一个满足这些条件的广义扩展。
Generic large cardinals as axioms
我们反对Foreman的建议，解决连续统假设和其他经典的独立问题，通过采用通用的大基数公理。
The model-companionship spectrum of set theory, generic absoluteness, and the Continuum problem
我们发现，$Π_2$ -属性的二阶或三阶算术正式在适当的自然签名的强制性明显较弱的概念重叠的标准概念的一致性（假设大基数公理）。在这样的$Π_2$ -属性，我们提到：否定的连续统假设，苏斯林假设，否定怀特海猜想的自由群，不存在的外部自同构的卡尔金代数等.特别是，这给出了一个后验的解释，成功迫使（和迫使公理）在生产模型，这些属性。我们的主要结果涉及通用的绝对性定理二阶算术，Woodin的公理$(*)$和迫使公理罗宾逊的概念模型伴侣（适用于集合论）。我们还简要概述了这些结果以何种方式提供了一个论点，以反驳连续统假设。
The Ultrapower Axiom implies GCH above a supercompact cardinal
我们证明了广义连续统假设在超紧基数假设超幂公理的情况下成立，超幂公理是一个由超紧基数水平上的内模型论激发的抽象比较原理。
Lusin sequences under CH and under Martin's Axiom
假设连续统假设，有一个长度为ω_1的不可分序列，它不包含任何Lusin子序列，而如果假设马丁公理和CH的否定，则每个不可分序列（长度为ω_1）是可数个Lusin子序列的并集。
The Axiom of Choice in Computability Theory and Reverse Mathematics, with a cameo for the Continuum Hypothesis
选择选择公理（简称AC）是通常的数学基础ZFC集合论中最著名的公理。AC在数学中的（非）必要使用已经得到了很好的研究和彻底的分类。现在，在ZF中不可证明的可数AC片段最近被用于Kohlenbach的高阶逆向数学中，以获得紧密相关的紧性和局部全局原理之间的等价性。我们继续这项研究，并表明，NCC，弱选择原则证明在ZF和更弱的系统，足以满足许多这些结果。鉴于逆向数学和可计算性理论之间的密切联系，我们还研究了NCC的实现者，即从其他数据中产生选择函数的泛函。我们的傲慢承担迄今欠发达的研究（选择函数从）AC的计算特性导致有趣的结果。例如，使用Kleene的S1-S9计算方案，我们表明，各种总实现NCC计算Kleene的$\exists^3$，一个功能，产生完整的二阶算术，反之亦然。相比之下，NCC的部分实现者应该要弱得多，但建立这个猜想仍然是难以捉摸的。通过宣泄，我们证明了连续统假设（简称CH）等价于NCC的可数基部分实现者的存在性。后一种实现器不计算Kleene的$\exists^3$，因此严格弱于全实现器。
The proper forcing axiom for $\aleph_1$-sized posets, $ω_1$-linked symmetrically proper forcing, and the size of the continuum
本文证明针对 $\aleph_1$ 规模偏序集的真力迫公理与任意大的连续统相容，并进一步构造模型同时满足 Martin's Maximum 及多种组合原则。
A Formal Proof of the Independence of the Continuum Hypothesis
我们描述了一个正式的证明的独立性的连续统假设（$\mathsf{CH}$）在精益定理证明。我们使用布尔值模型给强制参数的两个方向，使用科恩强迫的一致性$\neg \mathsf{CH}$和$σ$ -封闭强迫的一致性$\mathsf{CH}$。
The logic of sheaves, sheaf forcing and the independence of the Continuum Hypothesis
介绍了逻辑层的结构和设置理论的基础上，这种逻辑强制建设。使用这些工具，它是一个替代的证明独立的连续统假设，简化和统一的经典布尔和直觉的方法，避免了困难的分类机器的拓扑结构为基础的方法。
Deciding the Continuum Hypothesis with the Inverse Powerset
通过在Zermelo-Fraenkel集合论中增加三个公理，引入了逆幂集的概念.这扩展了Zermelo-Fraenkel集合论与一个新的类型的集，这是出于直观的意义和有趣的应用。我们提出了不同的方法来扩展基数的定义，并表明，一个意味着连续统假设，而另一个意味着否定的连续统假设。我们还将探讨不同基数的空集的概念，它可以被看作是康托无穷集定理的空对应物。
The generalized continuum hypothesis above a strongly compact cardinal
本文证明若κ为强紧基数且GCH在κ之下成立，则GCH整体成立，解答了Woodin的长期开放问题。
Gödel's Program in Set Theory
本文围绕集合论中的哥德尔纲领，介绍了用于判定自然数学命题的公理候选V = Ultimate-L与Sealing方案，并阐述二者的影响及相互关系。
The measuring principle and the continuum hypothesis
本研究通过不添加新实数的力迫构造证明 Measuring 原理成立，并证明其与大连续统相容，从而解答了 Justin Moore 的两个著名问题。
The Keisler-Shelah isomorphism theorem and the continuum hypothesis II
我们继续在[Sh：1215]中开始的关于Keilser-Shelah同构定理和连续统假设之间关系的研究。特别是，我们表明它是一致的，连续统假设失败，并为任何给定的序列$\mathbf m=\langle (\mathbb{M}^{1}_n, \mathbb{M}^{2}_n: n < ω\rangle$的模型的大小最多$\aleph_1$在可数语言，如果该序列满足一个温和的额外的属性，然后为每个非主要超过滤器$\mathcal D$ $ω$，如果超积$\prod\limits_{\mathcal D} \mathbb{M}^{1}_n$和$\prod\limits_{\mathcal D} \mathbb{M}^{2}_n$是基本等价的，那么它们是同构的。
Abraham-Rubin-Shelah Open Colorings and a Large Continuum
我们证明了Abraham-Rubin-Shelah开色公理与一个大连续统是一致的，特别是与$2^{\aleph_0}=\aleph_3$是一致的.这回答了亚伯拉罕-鲁宾-谢拉1985年论文中的一个主要的开放性问题。正如在他们的论文中，我们需要为所谓的颜色预分配构造名称，以便添加必要的齐次集。然而，这些名称是建立在模型满足CH。为了解决这一困难，我们展示了如何构建这样的名称具有非常强的对称性条件。这种对称性允许我们以许多不同的方式组合它们，使用一种称为划分积的新型偏序集，从而获得这个公理的模型，其中$2^{\aleph_0}=\aleph_3$。
Is the dream solution to the continuum hypothesis attainable?
连续统假设（CH）的理想解是这样一种解，即我们根据新发现的集合论的基本原理来解决连续统假设，这是一个缺失的公理，被广泛认为是正确的。这样一个梦想的解决方案确实是一个解决方案，因为我们都将接受新的公理及其后果。然而，在本文中，我认为这样一个理想的CH解决方案是无法实现的。这篇文章改编自我的文章“集合论多元宇宙”，并在其中进行了扩展，该文章将发表在《符号逻辑评论》（见arXiv：1108.4223）中。
The Keisler-Shelah isomorphism theorem and the continuum hypothesis
我们证明了，如果对可数语言中任意两个大小至多连续的初等等价结构$\mathbf{M}, \mathbf{N}$，对于$ω,$上的某个超滤子$\mathcal{U}$，$\mathbf{M}^ω/ \mathcal{U} \simeq \mathbf{N}^ω/ \mathcal{U}$成立，则$CH$成立.在没有$CH$的情况下，我们也给出了关于Keisler和Shelah同构定理的一些一致性结果.
What model companionship can say about the Continuum problem
本文探讨集合论模型伴随概念，指出最自然的模型伴随描述$H_{κ^+}$理论，并论证$2^{\aleph_0}=\aleph_2$是连续统问题唯一可属于模型伴随的解，以极大性原理辩护此模型论方法。
Measuring club sequences, together with the Continuum Hypothesis
我们回答了摩尔的一个问题，通过建立一个力迫扩张满足测量与CH。建设工程的ZFC的任何模型，可以被描述为一个强制迭代可数结构作为侧条件和对称性约束。此外，我们表明，这种结构的一个小的变化产生的测量模型与连续大于第二个不可数基数。
The $ \mathbfΣ^1_2$ counterparts to statements that are equivalent to the Continuum Hypothesis
我们认为自然的$Σ^1_2$可定义的类似物的许多经典的声明已被证明是等价于CH。它表明，这些$Σ^1_2$类似物是等价的，所有的实数是可构造的。我们还证明了两个分区关系的$Σ^1_2$着色，正好举行时，有一个非建设性的真正的。
Countryman Lines and the Continuum Hypothesis
研究与连续统假设一致的阿隆扎扬线类的类似基结果，证明任意两条康特曼线包含同构或反同构不可数子序等陈述与CH一致，还表明弱钻石原理下不存在康特曼线的二元基，证实了谢拉在CH下的猜想。
A Kunen-Like Model with a Critical Failure of the Continuum Hypothesis
本文构造形如 $L[A,U]$ 的类 Kunen 模型，在单个可测基数 $\kappa$ 下保持超滤子简单结构，却令 $2^\kappa=\kappa^{++}$，回答 Goldberg 关于 Ultrapower Axiom 下 CH 失败的问题。
Under the Continuum Hypothesis all nonreflexive Banach space ultrapowers are primary
本文刻划了一类大的准巴拿赫空间。也就是说，它将证明，在连续统假设下，任何无限维非超自反巴拿赫空间的超幂总是主要的。因此，任何无限维非超自反巴拿赫空间都可以等距嵌入到它的准超幂中。
Indestructible Guessing Models and the Continuum
我们介绍了一个更强的版本的$ω_1$猜测模型，我们称之为不可破坏的$ω_1$猜测模型。IGMP原则指出，存在固定的许多不可破坏的$ω_1$猜测模型。这一原则，从PFA，捕捉PFA的许多后果，包括苏斯林假设和奇异基数假设。我们证明了IGMP是一致的连续是任意大的。
Some Representation Theorem for nonreflexive Banach space ultrapowers under the Continuum Hypothesis
本文证明了在连续统假设（CH）下，每个非自反巴拿赫空间超幂空间与Parovicenko空间上的连续有界实值函数空间等距同构.这个表示定理将有助于证明非自反巴拿赫空间超幂的几何和拓扑性质。
Flatness and Nonforking without the Continuum Hypothesis
本研究在不假设连续统假设的前提下研究FN基的结构，通过分析特定超滤子行为、分离替代CH的模型论条件，证明相关性质可在ZFC中恢复，完善了Ng的平坦性与非分叉可定义性结果。
Bar recursion in classical realisability : dependent choice and continuum hypothesis
本文在经典可实现性的背景下讨论了棒递归算子。在Berardi，Bezem & Coquand [1]，T. Streicher在[10]中利用他们的棒递归算子证明了由$λ$ -演算（Scott域，相干空间，. . .),满足依赖选择公理。我们给出了这个结果的证明，使用经典的可实现性的工具。此外，我们还证明了这些可实现性模型满足$\mathbb{R}$的良序性和连续性假设。因此，这些公式是由封闭的$λ_c$ -项实现的。这允许获得程序证明算术公式使用所有这些公理。
A formalization of forcing and the unprovability of the continuum hypothesis
我们在精益3定理证明器中使用布尔值模型描述了强制的形式化，包括强制的基本定理和一阶逻辑与布尔值可靠性定理的深度嵌入。作为我们的框架的应用程序，我们专门我们的建设，定期开放的康托空间$2^{ω_2 \times ω}$的布尔代数，并正式验证失败的连续假设在由此产生的模型。
A Cheerful Introduction to Forcing and the Continuum Hypothesis
这是一个介绍集合论方法的强制，包括它的应用证明独立的连续统假设从泽梅洛-弗兰克尔公理的集合论。除了对集合论和数理逻辑有一定的了解之外，我不预设任何特定的数学背景--特别是，不预设任何代数，尽管它可能很有用。我们的目标是有一个文件，使这一材料可访问的数学研究生在所有领域，哲学家有兴趣在集合论和数理逻辑，但没有其他数学背景。
Reflection and Recurrence
本文研究结构性反射原则与递归公理对 ZFC 的扩展，提出其极大一致组合 Laver-generic Maximum（LGM），将连续统确定为 aleph_2 并整合多种已知独立陈述。
Chance and the Continuum Hypothesis
本文提出并捍卫一个论点，连续统假设是假的，基于考虑客观机会和一个老定理，由于巴拿赫和库拉托夫斯基。更具体地说，我认为，概率归纳方法standardised在科学中使用的前提是，每一个命题的结果，一个偶然的过程有一定的机会在0和1之间。我也主张赞成标准的观点，即机会是可数的加法。由于可以随机选择连续统上的一个点，例如使用轮盘赌轮或通过翻转可计数的无限个公平硬币，因此，考虑到ZFC的公理，在可计数的无限和连续统的基数之间存在许多不同的基数。
The Generalized Continuum Hypothesis revisited
我们认为，我们解决了希尔伯特的第一个问题，积极（重新制定后，只是为了避免已知的一致性结果），并给出了一些应用。令lambda的修正kappa幂，记作lambda^{[kappa]}，是lambda的子集族的最小基数，每个子集的基数为kappa，使得基数为kappa的lambda的任何其他子集都包含在该族的<kappa成员的并集中。主定理说，几乎总是这个修正的功率等于λ。我们的主要结果是修正的GCH定理：假设我们固定一个不可数的强极限基数mu（即，mu>aleph_0，（对于所有θ <mu）（2 θ <mu）），例如mu=beth_omega。然后，对于每个lambda >= mu，对于某个kappa<mu，我们有：（a）kappa <= theta < mu => lambda^{[theta]}= lambda和（b）有一个lambda子集的族P，每个lambda子集的基数< mu，使得每个基数mu的lambda子集等于P的< kappa成员的并集。
Selection properties of the split interval and the Continuum Hypothesis
证明了从可度量化可分空间$X$到GO-空间$Y$的每个usco多重映射$Φ:X\to Y$都有$F_σ$ -可测选择.另一方面，对于分割区间$\ddot{\mathbb I}$和它的平方在单位平方${\mathbb I}^2$上的投影$P:\ddot{\mathbb I}^2\to{\mathbb I}^2$，usco多重映射$P^{-1}:{\mathbb I}^2\multimap\ddot{\mathbb I}^2$具有Borel（$F_σ$ -可测量的）选择当且仅当连续统假设成立。这个CH-例子表明，已知的结果Borel选择usco映射到可分割的紧空间不能扩展到更广泛的一类紧空间。
Machine learning and the Continuum Hypothesis
本文评论了机器学习与集合论的联系，指出其集合论机制与Kuratowski关于集合有限幂分解的结果相关，并证明了单位区间上不存在Borel可测的单调压缩函数。
Less than continuum many translates of a compact nullset may cover any infinite profinite group
我们证明了如下公理与集合论公理是一致的：每一个无限投射有限群G都有一个Haar测度为零的闭子集X，使得X的小于连续统的许多平移覆盖G.这回答了一个问题的Elekes和托特和他们的工作解决了问题的所有无限紧拓扑群。
Interpolation in Linear Logic and Related Systems
本文证明了带交换的完整Lambek演算及经典与直觉线性逻辑等存在连续统多个具有演绎插值性质的公理扩张，并指出它们虽不具备Craig插值性质，但均满足受守卫形式的Craig插值。
Measures that violate the Generalized Continuum Hypothesis
研究了在正则基数上存在简单P_λ-点超滤子的条件，并证明了其与多个基数的等价关系，同时改进了致密性强度下界并探讨了相关数学结构的保测性及滤子游戏的变化。
An alternative foundation and the generalized continuum hypothesis
在本文中，我介绍了一个新的和直观的一阶基本理论（其中的概念集不是原始的），并使用它来证明一个无限集的幂集不存在。特别地，集合不可数性的证明本质上是指定集合不存在的证明。在某种意义上，不可数性被证明是一种不完全性。此外，选择公理被证明是一个简单的定理。鉴于所有实数的集合的不存在性，或者更一般地，度量空间的完备化的不保证存在性，拓扑概念在“扩张”的上下文中被重新引入。测度论也相应地被重新表述。
On supercompactness and the continuum function
给定一个基数$κ$，对于某个正则基数$λ\geqκ$，它是$λ$ -超紧的，并假设$\GCH$，我们证明了可以强迫连续函数与满足$\forallα,β\in\dom(F)$ $α<\cf(F(α))$和$α<β$ $\implies$ $F(α)\leq F(β)$的任何函数$F:[κ,λ]\cap\REG\to\CARD$一致，同时保持$κ$的$λ$ -超紧性不受一个可能最弱一致性强度的假设的影响，即，从假设存在具有临界点$κ$的初等嵌入$j:V\to M$使得$M^λ\subseteq M$和$j(κ)>F(λ)$。我们的论点将Woodin的手术修改通用过滤器的技术扩展到一个新的情况：当修改在$j$范围内进行时，Woodin的关键引理适用，而我们的论点使用一个新的关键引理来处理在鬼坐标上$j$范围外进行的修改。这项工作回答了Friedman和Honzik [FH 2012]的一个问题。我们还讨论了几个相关的开放问题。
Independence of the Continuum Hypothesis: an Intuitive Introduction
连续统假设的独立性是广泛影响的结果：它解决了关于N和R这两个最熟悉的数学结构的性质的基本问题;它引入了已经成为集合论主要工具的强迫方法;它对数学基础以及句法与语义的作用有着广泛的影响。尽管它有广泛的影响，但它并没有被广泛地教授。一个主要原因是缺乏非专业人士可以理解的论述，因为证明中使用的数学结构和技术在集合论之外是不熟悉的。这份手稿的目的是采取一个步骤，通过提供一个先进的本科数学家和理论计算机科学家可以访问的水平的博览会，同时涵盖了证明的所有技术上具有挑战性的部分，以解决这一差距。
Reflexive subgroups of the Baer-Specker group and Martin's axiom
在最近的两篇论文（math.LO/0003164和math.LO/0003165）中，我们回答了埃克洛夫和麦克勒在书中提出的一个问题（第455页，问题12），这个问题是在diamondsuit_{aleph_1}的集合论假设下提出的，这个假设在集合论的许多模型中都成立，分别是特殊的连续统假设（CH）。对象是可数主理想整环R上的自反模，R不是域。根据H.Bass，R-模G是自反的，如果赋值映射s：G -> G^{**}是同构。这里G^*=Hom（G，R）表示G的对偶模.我们证明了无限秩自反R-模G的存在性，并且G不与G+R重合，这为上述问题提供了（甚至本质上不可分解的）反例。CH是找到“nasty”自反模的必要条件吗？在本文的最后一部分，我们将证明（假设超紧基数的存在），大自反模总是有大的和项。因此，至少本质上不可分解需要一个额外的集合论假设。然而，如本文第一部分所示，假设不一定是CH。我们将使用马丁公理找到具有上述分解的自反模，它们是贝尔-斯派克模R^omega的子模。
Quantum phenomenology and the Continuum Problem
提出了一种基于连续统假设独立性的量子力学新方法。在一维情形下，证明了中间势集的性质与量子唯象相一致。
Steel's Programme: Evidential Framework, the Core and Ultimate-L
我们解决钢的计划，以确定一个“首选”的宇宙的集合论和最好的公理扩展ZFC使用他的多元宇宙公理MV和“核心假设”。在第一部分中，我们研究了MV的证据框架，特别是使用大基数和“世界”通过强迫“代表"ZFC的替代扩展。第二部分讨论了MV_T（T为ZFC+大基数）的核的存在性及其可能的性质。在最后一部分中，我们讨论了核心是Ultimate-L的假设，并考察了核心大学主义者是否以及如何基于这一事实证明V=Ultimate-L是ZFC的最佳（和最终）扩展。为此，我们考虑到几种策略，并根据MV的证据框架评估其前景。
A long chain of P-points
本文引入P点的$δ$ -类属序列的概念。在连续统假设下，证明了对于每个$δ< ω_{2}$，P点的任何$δ$ -类属序列都可以扩展为一个$ω_{2}$ -类属序列.这表明，连续统假设意味着存在一个长度为${\mathfrak{c}}^{+}$的P-点链，关于Rudin-Keisler和Tukey约简。证明可以很容易地适应，以获得这样一个链的长度${\mathfrak{c}}^{+}$下一个更一般的假设，如马丁的公理。这些结果回答了Andreas Blass的一个老问题。
Topology, Metric Spaces and the Generalized Continuum Hypothesis
这篇论文的目的是用Baire范畴来解释集合的基数，即在集合本身变得可以忽略之前，可以从集合中删除多少个闭无处稠密集。.为了做到这一点，引入了自然树理论结构，如Baire拓扑，并将Baire范畴定理扩展为一个陈述，即具有基数$\aleph$的闭合基并且没有孤立点或离散点的Hausdorff拓扑空间的$\aleph$ -顺序完全二叉树表示不是$<\aleph+1$ -基数$\aleph\ge\aleph_{0}$的许多无处稠密子集的并集，其中$\aleph$ -序列完备拓扑空间是这样的空间，其中每个函数$f:\aleph\rightarrow\{0.1\}$使得$(\forall x)(x\in f\rightarrow x\in\in X)\rightarrow(f\in X)$。它表明，如果$\aleph<\left|X\right|\le2^{\aleph}$为$\left|X\right|$的集合$X$的基数，那么它是可能的，以迫使$\left|X\right|-\aleph\times\left|X\right|\ne\emptyset$通过删除一个稠密序列的$\aleph$特别选择的闭集，而如果任何稠密序列的$\aleph+1$闭集被删除，然后$\left|X\right|-(\aleph+1)\times\left|X\right|=\emptyset$。这就产生了基数的…
Cauchy's continuum
柯西的总和定理的1821年一直是主题的竞争对手的解释，因为罗宾逊提出了一个新的阅读在20世纪60年代。有些人声称柯西在1853年通过引入一致收敛性修正了他的定理的假设，而一致收敛的传统公式需要一对自变量。同时，柯西假设是用一个变量x而不是一对变量来表述的，并且要求误差项r_n = r_n（x）在所有x值处都为零，包括柯西明确指定的由1/n产生的无穷小值。如果一个人希望理解柯西在1853年对和定理假设的修改/澄清，他必须抛弃自动逼近极限。
On squares of spaces and Fsigma-sets
我们证明了连续统假设意味着存在Lindelof空间X使得X x X是两个可度量化子空间的并但X不是可度量化的.这给出了Balogh，Gruenhage和Tkachuk问题的一致解决方案。主要引理是假设连续统假设，存在实数X和Y的不相交集合，使得X是Borel集中在Y上，（即，对于任何博雷尔集B，如果Y包含在B中，则X-B是可数的），但（X x X -对角线）在（X x X）U（Y x Y）中相对于F σ。
A note on the Akemann-Doner and Farah-Wofsey constructions
我们从Akemann-Doner构造一个只有可分交换$C^*$ -子代数的不可分$C^*$ -代数$A$中去掉了连续统假设的假设。我们还推广了Farah和Wofsey的一个结果，在无交换提升的Calkin代数上构造了$\aleph_1$交换投影.这从Anderson的结果的一个版本中去除了连续统假设的假设。这两个结果都是基于Luzin的几乎不相交的家庭建设。
Epic math battle of history: Grothendieck vs Nikodym
本文通过定义σ-中心力迫概念，构造出具有格罗滕迪克性质却无尼科迪姆性质的布尔代数，证明其存在与连续统假设否定一致，且可简化塔拉格兰德在连续统假设下的构造。
The Calkin algebra has outer automorphisms
在连续统假设下，证明了Calkin代数有2个^{aleph_1}外自同构.
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