On a new class of BDF and IMEX schemes for parabolic type equations
本文针对刚性问题中高阶多步法时间步长受限的难题，基于$t^{n+β}$处泰勒展开构造了一类新的BDF和IMEX格式，通过可调参数$β>1$在高阶下允许更大时间步长，并完成了稳定性与误差分析及数值验证。
2024-05-01 cs.NA math.NA
Implicit and implicit--explicit high-order BDF methods for coupled elliptic--parabolic systems
University of Ioannina（约阿尼纳大学）；Institute of Applied and Computational Mathematics, FORTH（FORTH应用与计算数学研究所）；Lanzhou University（兰州大学）；Wuhan University（武汉大学）
本文提出高阶隐式-显式BDF方法用于耦合椭圆-抛物型系统，通过弱耦合条件分析提升计算效率和精度。
2026-01-05 cs.NA math.NA
Sharp error estimate of variable time-step IMEX BDF2 scheme for parabolic integro-differential equations with initial singularity arising in finance
最近发展起来的DOC核技术在分析变时间步长BDF 2格式的稳定性和收敛性方面取得了很大的成功。然而，这样的分析技术似乎不直接适用于初始奇异性的问题。在对初始奇异解的数值模拟中，为了达到最优收敛，常采用梯度网格等变时间步长格式，但其第一相邻时间步长比可能会很大，从而使所得到的约束条件不满足。本文重新研究了[W. Wang，Y. Chen和H. Fang，\emph{SIAM J. Numer. Anal.}，57（2019），pp. 1289-1317]计算具有初始奇异性的偏积分微分方程（PIDE）。我们在相邻时间步长比$r_{k}: =τ_{k}/τ_{k-1} \; (k\geq 3) < r_{\max} = 4.8645 $的一个较弱的限制条件和对第一个比的一个较弱的要求下得到了尖锐的误差估计，$r_2>0$。这导致了我们对变时间步长IMEX BDF 2格式的分析的有效性，当初始奇异性由一个简单的策略处理时，即，梯度补片$t_k=T(k/N)^γ$。在这种情况下，实现了$\mathcal{O}(N^{-\min\{2,γα\}})$阶的收敛，$N$和$α$分别代表了总的网格点，并指示了精确解的正则性。也就是说，通过服用$γ_{\text{opt}}=2/α$将实现光学会聚。数值例子来证明我们的理论分析。
2022-01-23 cs.NA math.NA
The effect of time discretization on the solution of parabolic PDEs with ANNs
我们通过极限学习机（ELMs）神经网络研究抛物偏微分方程的分辨率，与深度学习神经网络相比，ELMs神经网络具有单个隐藏层，可以以适度的计算成本进行训练。我们的方法通过应用经典的常微分方程技术解决了时间演化问题，并使用基于ELM的配置来解决由此产生的固定椭圆问题。在这个框架下，$θ$ -方法和向后差分公式（BDF）技术被研究在一些线性抛物型偏微分方程的方法的稳定性和精度的挑战问题。数值实验的结果表明，ELM为基础的解决技术结合BDF方法可以提供高精度的解决方案的抛物型偏微分方程。
2022-06-01 cs.NA math.NA
Maximum norm analysis of implicit-explicit backward difference formulas for nonlinear parabolic equations
University of Ioannina（约阿尼纳大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）
本文研究隐式-显式BDF方法在抽象半线性抛物型方程中的最优前验误差估计，针对时间依赖算子在复Banach空间中的应用，提出基于离散最大抛物正则性方法和[7]思想的新方法，应用于四个初始及边界值问题。
2016-06-04 cs.NA math.NA
Matrix-Free Stabilized BDF Schemes for Semilinear Parabolic Equations with Unconditional Maximum Bound Principle Preservation and Energy Stability
Michigan State University（密歇根州立大学）；Beijing University of Technology（北京工业大学）
本文提出了一种无条件保持最大界原理、能量稳定性和无矩阵实现的高阶BDF方案，用于求解半线性抛物方程，通过固定点迭代和点wise截断策略实现高效计算，适用于一般域和混合边界条件。
2026-03-24 cs.NA math.NA
Weighted and shifted BDF2 methods on variable grids
变步长隐-显多步法已在文献[17]中提出，其中研究了常微分方程的零稳定性，但稳定性分析仍然是一个悬而未决的问题。基于线性多步法的思想，本文提出了一种简单的变步长加权移位BDF 2方法，它是BDF 2和Crank-Nicolson格式之间的桥梁.本文的贡献如下：首先证明了加权移位BDF 2的最优相邻时间步长比，大大改进了文献[11，15]中BDF 2的最大时间步长比。此外，还严格证明了无条件稳定性和最优收敛性，弥补了文献[17]中关于偏微分方程理论的空白。最后，通过数值实验对理论结果进行了验证.
2021-08-06 cs.NA math.NA
An efficient second-order energy stable BDF scheme for the space fractional Cahn-Hilliard equation
空间分数阶Cahn-Hilliard相场模型比经典的Cahn-Hilliard相场模型更能准确地描述相变的形成和相变机制。本文对空间分数阶Cahn-Hilliard模型提出了一个时间上二阶能量稳定的格式。该格式在时间上基于二阶向后微分公式，在空间上基于有限差分法。分析了格式的能量稳定性和收敛性，并数值说明了时间和空间上的最佳收敛阶。注意，该方案的系数矩阵是在每个块中具有Toeplitz样结构的$2 \times 2$块矩阵。结合Krylov子空间方法和这种特殊结构的优点，设计了一种预处理技术来有效地求解该系统。数值例子来说明预处理迭代的性能。
2020-11-04 cs.NA math.NA
An efficient two-grid fourth-order compact difference scheme with variable-step BDF2 method for the semilinear parabolic equation
针对半线性抛物方程，本文构建结合变步长BDF2的四阶紧致差分格式，提出基于双三次拉格朗日插值映射的高效两网格算法，证明了格式的可解性与最优误差估计，并通过数值实验验证其有效性与高效性。
2023-10-14 cs.NA math.NA
A parallel-in-time algorithm for high-order BDF methods for diffusion and subdiffusion equations
本文提出了一种近似求解抛物型方程的时间并行算法。特别是，我们应用$k$-步向后微分公式，然后开发一个迭代求解器，通过使用波形松弛技术。每一次迭代都代表一个类牛顿系统，可以通过对角化技术进一步并行求解。本文用母函数法从理论上证明了波形松弛迭代法的收敛性。本文建立的方法扩展了Gander和Wu [Numer.]中单步方法的现有论点。数学、143（2019），pp. 489--527]到六阶的一般BDF方法。由于分数阶微分算子的非局部性，该方法可以进一步应用于时间分数阶次扩散方程，其离散化具有标准BDF方法的共同性质.说明性的数值结果，以补充理论分析。
2021-06-03 cs.NA math.NA
A new class of one-step A-stable and L-stable schemes of high-order accuracy for parabolic type equations
本文受新BDF格式启发，为抛物型方程构造了可调参数的高阶单步格式，实现A-稳定或L-稳定，并提供两种构造技术，均具超收敛性，数值实验验证了有效性。
2025-07-09 cs.NA math.NA
A posteriori error bounds for pseudo-parabolic equations using $C_0$ semigroups
FernUniversität in Hagen（哈根开放大学）
针对伪抛物方程，基于 $C_0$ 半群理论和椭圆重构概念，推导了空间有限元与时间BDF格式的后验误差界，并进行了数值验证。
2026-06-19 cs.NA math.NA
A new discrete energy technique for multi-step backward difference formulas
向后微分公式（BDF）是一类用于刚性微分方程数值积分的隐式方法。值得注意的是，抛物型方程的$A$稳定的BDF 1和BDF 2格式的稳定性和收敛性可以直接用标准的离散能量分析来证明。然而，这种经典的分析方法似乎不能直接应用于$3\leq \mathbf{k}\leq 5$的$\mathbf{k}$格式.为了克服这个困难，一个强大的分析工具的基础上Nevanlinna-Odeh乘数技术[Numer.功能Anal. Optim.，3：377-423，1981]由Lubich等人[IMA J. Numer.肛门，33：1365-1385，2013]。在这项工作中，通过使用所谓的离散正交卷积核技术，我们将恢复经典的能量分析，使$3\leq \mathbf{k}\leq 5$的$\mathbf{k}$格式的稳定性和收敛性可以建立。我们的分析技术的理论优势之一是对初始数据的空间规则性要求较少。
2021-02-09 cs.NA math.NA
Combining maximal regularity and energy estimates for time discretizations of quasilinear parabolic equations
University of Ioannina（伊奥阿尼纳大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）；Universität Tübingen（蒂宾根大学）
本文研究了拟线性抛物型方程的全隐式和线性隐式后向差分公式（BDF）方法，结合最大抛物正则性和能量估计，推导出时间离散近似解及其梯度在最大范数和能量范数下的最优阶误差界。
2016-06-12 cs.NA math.NA
On the stability of IMEX BDF methods for DDEs and PDDEs
本文研究IMEX-BDF方法求解延迟微分方程的稳定性，针对矩阵不可同时对角化情形，利用数值域给出无条件稳定和步长相关稳定的充分条件，并验证于偏延迟微分方程。
2024-12-16 cs.NA math.NA
A unified approach to maximum-norm a posteriori error estimation for second-order time discretisations of parabolic equations
本文针对线性抛物型方程，提出一种统一的最大范数后验误差分析框架，利用椭圆重构和Green函数的界，分析了Crank-Nicolson等多种二阶时间离散与有限元空间离散结合的误差。
2023-04-04 cs.NA math.NA
Backward Differentiation Formula finite difference schemes for diffusion equations with an obstacle term
本文研究了带障碍项的一维扩散方程的有限差分格式（BDF），格式为$$\min(v_t - a(t,x) v_{xx} + b(t,x) v_x + r(t,x) v, v- φ(t,x))= f(t,x).$$。对于建立在二阶BDF公式上的格式（BDF 2），我们讨论了无条件稳定性，证明了一个$L^2$ -误差估计，并在时间和空间上证明了二阶收敛性。无条件地取决于网格步长的比率。在分析中，障碍方程与Hamilton-Jacobi-Bellman方程的等价性被提及，并且在此背景下测试了Crank-Nicolson方案。用两个具有显式解的带障碍项的抛物型方程学术问题和金融数学中的美式期权问题进行了数值检验。
2020-03-06 cs.NA math.NA
A nonlinear time compactness result and applications to discretization of degenerate parabolic-elliptic PDEs
Université de Franche-Comté（弗朗什-孔泰大学）；Sorbonne Universités, UPMC Univ Paris 06（索邦大学，巴黎第六大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本文提出一个适用于证明强退化抛物问题全离散近似紧致性的离散泛函分析结果，通过补偿紧致性相关结果而非经典空间时间平移估计，处理空间和时间变量的多种数值离散化，尤其适用于变时间步长和多步时间差分方法，如BDF2方案。
2015-04-15 cs.NA math.AP math.FA
Entropy-stable and entropy-dissipative approximations of a fourth-order quantum diffusion equation
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）；Technical University of Berlin（柏林工业大学）
针对描述量子半导体中电子输运的非线性四阶抛物型方程，分析了保持非负性、熵稳定且耗散修正熵泛函的BDF时间半离散格式，并证明了弱解存在性与二阶收敛性。
2012-08-27 cs.NA math.NA
Stability and convergence of second order backward differentiation schemes for parabolic Hamilton-Jacobi-Bellman equations
Université Pierre et Marie Curie（巴黎第六大学）；Université Paris-Diderot（巴黎第七大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文研究了二阶BDF格式在抛物型HJB方程数值近似中的稳定性与收敛性，建立了非单调格式在非线性设置下的稳定性结果，并在特定情况下证明了收敛性，同时包含数值测试验证方法有效性。
2018-02-20 cs.NA math.NA
A second-order bulk--surface splitting for parabolic problems with dynamic boundary conditions
本文提出一种基于偏微分-代数方程重构和延迟项解耦的体-面分裂方法，结合有限元与BDF离散化构造二阶3步格式，证明其收敛性并展示高阶推广潜力。
2023-07-04 cs.NA math.NA
A note on parallel preconditioning for the all-at-once solution of Riesz fractional diffusion equations
用于求解常微分方程组的$p$ -后退差分公式（BDF）可以产生一种一次性的线性系，其通过并行时间预处理的Krylov子空间求解器来求解（参见McDonald，Pestana和Wathen [SIAM J. Sci.计算：40（2）（2018）：A1012-A1033]和Lin和Ng [arXiv：2002.01108，17页]。然而，这些研究忽略了$p$ -步BDF（$p\geq 2$）不是自启动的，当他们被用来解决时间依赖的偏微分方程。在本文中，我们着重研究了求解Riesz分数阶扩散方程的两步BDF方法，它通常优于梯形法则，但其一次性离散系统是一个带低秩扰动的块三角Toeplitz系统.同时，我们首先给出了一次性全系统的条件数的估计，然后利用已有的工作构造了两个块循环（BC）预条件子。详细讨论了这两种BC预条件子的可逆性和预条件矩阵的特征值分布。这些BC预条件子的有效实现也被提出，特别是处理密集结构的雅可比矩阵的计算。最后，数值实验涉及一维和二维Riesz分数阶扩散方程的报告，以支持我们的理论研究结果。
2021-03-15 cs.NA math.NA
A high-order nodally bound-preserving and mass-conservative method for linear fourth-order elliptic problems and its applications to nonlinear parabolic equations
Eastern Institute of Technology（宁波东方理工学院）
基于变分不等式，提出一种同时满足节点保界和质量守恒的高阶有限元方法，并推广至非线性四阶抛物问题，通过时空高阶离散实现保界保质和能量稳定性。
2026-05-22 cs.NA math.NA
Do we need decay-preserving error estimate for solving parabolic equations with initial singularity?
针对具有弱初始奇异性的抛物型方程，提出保衰减误差估计方法，揭示L1、IE、C-N和BDF2格式收敛速率随模型参数变化的原因，并通过数值实验验证。研究问题：为何不同参数下收敛速率不同；核心方法：引入含指数和代数系数的误差估计；主要贡献：解释传统理论无法解释的现象。
2024-02-05 cs.NA math.NA
Convergence analysis of a parareal algorithm with multistep fine propagator
University of Ioannina（伊奥阿尼纳大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）
针对精细传播子为两步后向差分公式(BDF2)的抛物方程，提出一种带初始校正的 parareal 算法并证明其线性收敛性，数值实验验证了优于现有策略且可推广至高阶 BDF 和非线性问题。
2026-05-27 cs.NA math.NA
A fully discrete LBRFD-IPDG method for linear fourth-order parabolic equations
Guangzhou Maritime University（广州航海学院）；Nanjing Normal University（南京师范大学）；Hunan First Normal University（湖南第一师范学院）
针对带Dirichlet边界条件的线性四阶抛物方程，提出时间隐式LBRFD多步格式结合空间混合IPDG的全离散方法，通过理论分析得到误差阶，数值实验证实稳定性与最优收敛性。
2026-11-06 cs.NA math.NA
Weak Scalability of time parallel Schwarz methods for parabolic optimal control problems
Lund University（隆德大学）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文提出时间并行Schwarz方法用于抛物型最优控制问题，分析其弱可扩展性并验证理论结果。
2026-03-08 cs.NA math.NA math.OC
A semi-generating function approach to the stability of implicit-explicit multistep methods for nonlinear parabolic equations
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；Key Laboratory of Mathematical Modeling and High Performance Computing of Air Vehicles (NUAA), MIIT（航空飞行器数学建模与高性能计算重点实验室（工信部））；The Chinese University of Hong Kong (Shenzhen)（香港中文大学（深圳））；Shenzhen International Center for Industrial and Applied Mathematics, Shenzhen Research Institute of Big Data（深圳市大数据研究院工业与应用数学国际中心）；Guangzhou Nanfang College（广州南方学院）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出半生成函数方法结合全局离散能量分析，用于非线性抛物方程隐式-显式多步方法的稳定性与收敛性分析，通过引入隐式-显式可控性强度指标，评估隐式部分对显式部分的控制程度，并提出新的参数化IEMS方法以保证稳定性。
2026-11-05 cs.NA math.NA
