Did Turing prove the undecidability of the halting problem?
Joel David Hamkins, Theodor Nenu
图灵1936年论文是否证明了停机问题的不可判定性，本文探讨了这一归因的准确性。
我们讨论通常归因于图灵1936年论文《可计算数...》的关于可计算不可判定性的准确性，最终得出一个细致的结论。
We discuss the accuracy of the attribution commonly given to Turing's 1936 paper "On computable numbers..." for the computable undecidability of the halting problem, coming eventually to a nuanced conclusion.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Resource dependent undecidability: computability landscape of distinct Turing theories
用经典资源不可判定的问题，用量子资源也能判定吗？预期的答案是否定的;由于两者都是图灵理论，它们不应该解决停机问题-任何图灵机都无法解决的问题。然而，我们对上述问题提供了肯定的答案。我们提出了一种新颖的逻辑结构，可以为任何一对不同的图灵理论（包括但不限于经典理论和量子理论）制定无穷多个这样的问题。重要的是，还有一类决策问题，比如停机问题，在所有这些理论中都是无法解决的。一旦意识到停机问题的简化随着不同理论中可用于计算的不同资源而变化，这种明显的自相矛盾的情况就得到解决。最后，我们提出了一个多智能体博弈，其中只有经典资源的玩家的胜率是不可判定的，而量子资源提供了一个完美的获胜策略。
A Galois connection between Turing jumps and limits
本文通过图灵跳跃与极限的伴随关系建立伽罗瓦连接，刻画极限可计算函数类，并证明在可计算度量空间上，相对于停机问题的可计算性等价于具有可计算连续模的极限可计算性，且利普希茨连续函数自动满足此性质。
Undecidability of the problem of recognizing axiomatizations for implicative propositional calculi
在本文中，我们考虑命题演算，这是可公理化的直觉蕴涵命题演算的扩展连同肯定前件和替换规则。我们证明了下列问题的不可判定性：给定的有限命题公式集是否构成一个固定的命题演算的适当公理系统。此外，我们证明了同样的以下限制这个问题：是否一个给定的有限集定理的一个固定的命题演算推导出所有定理的演算。这些结果的证明是基于减少的不可判定的停机问题的标签系统介绍后。
The halting problem is decidable on a set of asymptotic probability one
图灵机的停机问题在一个渐近概率为1的集合上是可判定的。具体来说，存在图灵机程序的集合B，使得（i）B具有渐近概率1，使得随着状态数n的增加，所有在B中的n状态程序的比例变为1;（ii）B是多项式时间可判定的;并且（iii）与B相交的停机问题H是多项式时间可判定的。该证明对特定的计算模型是敏感的。
The Undecidability of the Definability of Principal Subcongruences
对每个图灵机T，构造一个代数A '（T），使得A'（T）生成的簇有可定义主子同余当且仅当T停顿，从而证明了有限代数有可定义主子同余的性质是不可判定的.这样做的结果是，没有一个算法可以将有限代数a作为输入来决定该代数是否是基于代数的。
Undecidability of Finite Orbit Recognition in Polynomial Maps
研究证明判定图灵机是否产生最终周期轨迹不可判定，从而推导出多项式动力系统中无限整数元组轨道有限性问题的不可判定性。
Characterisations of Variant Transfinite Computational Models: Infinite Time Turing, Ordinal Time Turing, and Blum-Shub-Smale machines
我们考虑如何在超限机架构的变化有时可以大大改变他们的能力。我们的做法的主题，回答三个开放的问题触及：首先，不同的停机时间的考虑，机器与多个，而不是单头，其次是空间的要求，最后限制规则。我方：1）使用可构造层次中的容许性理论、$Σ_{2}$ -码和$Π_{3}$ -反射性质对具有多个独立头的ITTM的停止时间进行分类;对于具有$\tmop{On}$长度带的有序图灵机也是如此; 2）确定具有长带的超限时间机的哪些容许带长度允许机器寻址它们的每个单元-B提出的问题。Rin; 3）在Blum-Shub-Smale机器的寄存器上使用$\tmop{Liminf}$规则来精确地描述事务处理Blum-Shub-Smale机器的强度和行为-从而建立了一个通用的这样的机器。这与使用“连续性”规则的机器形成对比，因为这种规则不具有普遍性。
Chaitin Ωnumbers and halting problems
Chaitin [G. J. Chaitin，J. Assoc. Comput.马赫，vol.22，pp.329-340，1975]引入Ω数作为随机实数的一个具体例子。实Ω被定义为最优计算机停止的概率，其中最优计算机是用于定义程序大小复杂度概念的通用解码算法。蔡廷表明Ω是随机发现的财产，第一个n位的基地，两个扩展Ω解决停机问题的最佳计算机的所有二进制输入的长度最多n。在本文中，我们从各个方面研究这个属性。我们考虑了Ω的基2展开式与停机问题之间的相对计算能力，通过对这两个问题施加有限大小的限制。已知Ω的二进制展开式与停机问题是图灵等价的。因此，我们考虑以某种方式阐述图灵等价。
Finite final segments of the d.c.e. Turing degrees
本文证明了每个有限分配格同构于d.c.e. Turing度的最终段，并以此推论出在偏序语言下d.c.e.度的EAE理论的不可判定性。
The Diagonal Method and Hypercomputation
对角线方法经常被用来表明图灵机不能解决自己的停机问题。最近有几次尝试表明，这种方法也暴露了其他理论计算模型中的矛盾或任意性，这些理论模型声称能够解决图灵机的停机问题。我们表明，这样的论点是有缺陷的-矛盾只发生在一种类型的机器可以计算自己的对角函数。然后，我们证明了为什么这种情况不会发生的超计算的方法受到攻击，为什么它不太可能发生在任何其他严重的方法。
Betti numbers of finitely presented groups and very rapidly growing functions
定义群$G$的有限表示的长度为所有关系子的长度之和加上生成元的数目。假设$G$具有长度$\leq N$且$b_k(G)$是有限的，那么$k$的第$b_k(G)=$个Betti数秩$H_k(G)$有多大？我们证明了对于每一个$k\geq 3$的$k$第贝蒂数的最大$b_k(N)$是一个非常迅速增长的功能$N$。它增长得更快，以前在数学中遇到的所有函数（逻辑之外），包括不可计算的函数（至少是那些我们已知的函数）。更正式地说，$b_k$成长为第三个忙碌的海狸函数，它测量具有$\leq N$状态的图灵机的最大生产率，这些状态使用用于图灵机的停机问题的预言，使用用于普通图灵机的停机问题的预言。我们还描述了最快的可能增长的序列的有限贝蒂数的一个群。特别是，它不能像第三个忙碌的海狸函数那样快速增长，但可以比第二个忙碌的海狸函数增长得更快，第二个忙碌的海狸函数使用针对通常图灵机的停机问题的预言来测量图灵机的最大生产率。我们描述了一个自然的问题，贝蒂数的非线性提出的群体，使其答案表示为一个函数的增长作为第五繁忙的海狸功能。此外，我们概述了一个建设的一个共同提出的组，其所有的同源群要么${\bf Z}$或平凡，使其贝蒂数形成一个随机的二进制序列。
Hilbert's tenth problem, Gödel's incompleteness, Halting problem, a unifying perspective
本文给出了自然数上一类关系的一个性质$P$，并给出了关于$P$的一个一般定理，由此推论出希尔伯特第十问题、哥德尔不完全性定理和图灵停机问题的不可解性.通过对$P$性质的稍加加强，得到了Tarski的可定义性定理，即真值不是一阶可定义的.性质$P$与“康托对角化”过程一起强调，所有上述定理是一个主题的变化，即自引用和对角化的组合。我们将我们的研究结果与自指悖论，包括形式化的骗子悖论，和不动点定理。我们还讨论了任意环的性质$P$。本文对Hilbert第十问题作了一个综述，并指出了当前主流数学研究的方向，包括递归论、模型论的可定义性、代数几何和数论.
Calculus of Cost Functions
费用函数提供了一个框架，用于构造接近可计算的停机问题下的图灵集。我们对费用函数进行了系统的研究。我们将它们的代数性质与它们的表达能力联系起来。我们证明了加性费用函数类描述了$K$ -平凡集。我们证明了一个费用函数的基础定理，并给出了一个一般的建设可计算的可计算集，接近图灵完备。该作品可追溯到2010年，并于2013年提交给2012年剑桥图灵年产生的长期延迟卷“The Incomputable”。
On the Turing complexity of learning finite families of algebraic structures
在以前的工作中，我们结合了可计算结构理论和算法学习理论来研究哪些代数结构族在极限（直到同构）是可学习的。在本文中，我们测量学习有限族结构所需的计算能力。特别是，我们证明，如果一个家庭的结构是有限的和可学习的，那么任何预言计算的停止集是能够实现这样的学习。另一方面，我们构造了一对结构，这对结构是可学习的，但没有可计算的学习者可以学习它。
Undecidability, Chaos and Universality in Arithmetic Terms
本文研究算术项的表达能力，通过解释希尔伯特第十问题证明单变量算术项是否取零不可判定，并构造了表示任意递归函数的算法，进而展示混沌函数和通用图灵机均可表示为算术项。
Optimal asymptotic bounds on the oracle use in computations from Chaitin's Omega
蔡廷数Ω是通用无前缀机器的停机概率，尽管它依赖于无前缀机器的底层枚举，但它总是图灵完备的。事实上，可以观察到，对于每个可计算可列（c.e.）实数，存在一个图灵泛函，通过它欧米茄计算它，并且使得计算给定数的前n位所需的欧米茄的位数（即在参数n上的使用）由可计算函数h（n）= n+o（n）限定。本文讨论了Chaitin的Ω在停止概率的预言计算中的渐近上界。reals）。我们证明了对于任意可计算函数h，使得h（n）-n是非减的，下列两个条件是等价的：（1）h（n）-n是信息量测度，（2）对于任意c. e.实存在一个图灵泛函，通过它，Ω计算实，使用由h限制。我们也给出了一个类似的特性方面的计算c.e.通过证明以下对于任何可计算的非减函数g都是等价的：（1）g是一个信息量测度，（2）对于每个c.e.集合A，Omega用g来计算A。进一步的结果和一些与Solovay函数的联系。
Computer Runtimes and the Length of Proofs: On an Algorithmic Probabilistic Application to Waiting Times in Automatic Theorem Proving
本文对形式公理系统中图灵机的运行时间与证明长度之间的关系进行了实验性的探索。我们比较给定大小的停机图灵机的数量与给定大小的一阶逻辑的可证明定理的数量，以及给定大小的运行时间最长的图灵机的运行时间与给定大小的最难证明定理的证明长度。它建议，定理证明是受到相同的非线性权衡之间的时间和大小的计算机程序，提供了可能性，确定最佳的超时和等待时间的自动定理证明。我为这两个系统提供了一些小的参数选择的统计数据。
Computability of Brjuno-like functions
本文研究了Brjuno型函数的可计算性，通过斜积轨道的加法采样揭示非可计算性的产生机制，并推广了之前关于Yoccoz-Brjuno函数的结果。
Quantum Algorithm for Hilbert's Tenth Problem
我们在量子计算的框架中探索{ \em可计算性}的概念，它在数学和理论计算机科学中占有核心地位。希尔伯特第十问题，这是等价于图灵停机问题，是已知的数学不可计算的量子算法，提出了量子连续变量和量子绝热演化。如果这个算法可以在物理上实现，就像它在原则上是有效的一样--也就是说，如果某些哈密顿量和它的基态可以根据这个提议在物理上构造--量子可计算性将超过丘奇-图灵论文所界定的经典可计算性。因此，有人认为，数学的可计算性及其局限性不仅应该由数学本身决定，而且还应该由物理原理决定。
Learning the undecidable from networked systems
本文提出了一个理论研究的计算超越图灵障碍的涌现行为在分布式系统中。特别是，我们提出了一个算法网络，这是一个数学模型的网络人口的随机生成的可计算系统与一个固定的通信协议。然后，为了解决一个不可判定的问题，我们研究节点（即，图灵机或可计算系统）可以利用元生物选择的力量和信息共享的力量（即，通信）通过网络。形式上，我们表明，有一个普遍的网络拓扑条件，特别是，小直径现象，确保每个节点成为能够解决停机问题的每一个程序的长度上限的对数阶的人口规模。此外，我们表明，这一结果意味着存在一个中心节点能够紧急解决停机问题的最小数量的通信轮。此外，我们引入了一个算法的信息措施的协同网络可计算系统，我们称之为本地算法的协同。然后，我们表明，这样的算法网络可以产生一个任意大的预期本地算法协同值。
Every Computably Enumerable Random Real Is Provably Computably Enumerable Random
我们证明了每一个可计算可列（c.e.）随机实数在皮亚诺算术（PA）中可证明为c. e.随机证明中的一个主要步骤是证明“实数是c. e”的定理。和随机当且仅当它是通用无前缀图灵机的停机概率“可以在PA中得到证明。我们的证明比标准的证明简单，也可用于原定理。我们的正结果可以与可计算函数的情况进行对比，其中并非每个可计算函数在PA中都是可证明可计算的，或者更有趣的是，几乎所有随机有限字符串在PA中都不是可证明随机的。我们还证明了两个否定的结果：a）存在一个通用机，它的通用性在PA中不能得到证明; b）存在一个通用机$U$，使得基于$U$，PA不能证明其停机概率的随机性。本文还包括一个更尖锐的形式的Kraft-Chaitin定理，以及正式证明这一定理的书面与证明助手伊莎贝尔。
As Easy as $\mathbb Q$: Hilbert's Tenth Problem for Subrings of the Rationals and Number Fields
有理数域$\mathbb Q$上的希尔伯特第十问题是数论中不可判定性领域最大的开放问题之一。在本文中，我们构造新的，可计算表示的子环$R$的$\mathbb Q$具有的性质，希尔伯特的第十问题$R$，表示$HTP(R)$，是图灵等价于$HTP(\mathbb Q)$。我们能够对我们构造的环$R$施加几个额外的约束。给定任意可计算非负实数$r \leq 1$，我们构造了这样一个环$R = Z[\frac1p : p \in S]$，其中$S$是一组密度较低的素数$r$ .我们还构造环$R$的例子，决定$R$的成员是图灵等价于决定$HTP(R)$，也相当于决定$HTP(\mathbb Q)$。或者，我们可以使$HTP(R)$具有任意可计算的可计算度，高于$HTP(\mathbb Q)$。最后，我们证明了对于数域的子环和它们的素理想也可以这样做。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。