图灵跳跃与极限之间的伽罗瓦连接

结构上跳算子的一个不动点

A fixed point for the jump operator on structures

假设$0^#$存在，我们证明存在一个结构，可以有效地解释自己的跳跃。特别地，我们得到一个结构$\mathcal A$，使得\[ Sp({\mathcal A}) = \{{\bf x}':{\bf x}\in Sp ({\mathcal A})\}, \]，其中$Sp ({\mathcal A})$是计算$\mathcal A$的副本的图灵度的集合。事实证明，比结果本身更有趣的是它意想不到的复杂性。我们证明了高阶算术，这是所有$n$全$n$阶算术的联合，不能证明这样的结构的存在。

Hilbert第十问题算子

The Hilbert's-Tenth-Problem Operator

对于环$R$，希尔伯特第十问题$HTP(R)$是$R$上的多项式方程组，在多个变量中，解在$R$中。我们将$HTP$视为一个算子，将每个素数集合$W$映射到$HTP(\mathbb Z[W^{-1}])$，后者自然被视为$\mathbb Z[X_1,X_2,\ldots]$中的一组多项式。对于$W=\emptyset$，Matiyasevich、Davis、Putnam和Robinson的一个著名结果是跳跃$\emptyset~\!'$是$HTP(\mathbb Z)$的图灵等价。更一般地，$HTP(\mathbb Z[W^{-1}])$总是图灵可约化为$W'$，但不一定等价。我们在这里表明，$W=\emptyset$的情况是异常的：几乎所有的$W$，跳$W'$不是丢番图在$\mathbb Z[W^{-1}]$。我们还表明，$HTP$运营商不保持图灵等价：即使互补集$U$和$\overline{U}$，$HTP(\mathbb Z[U^{-1}])$和$HTP(\mathbb Z[\overline{U}^{-1}])$可以不同的一个完整的跳跃。引人注目的是，逆转也是可能的，与$V<_T W$，但$HTP(\mathbb Z[W^{-1}]) <_T HTP(\mathbb Z[V^{-1}])$。

$\mathbb{Q}$的绝对Galois群的可计算性

Computability for the absolute Galois group of $\mathbb{Q}$

本文在二型Turing计算框架下形式化$\mathbb{Q}$的绝对Galois群的可计算表示，并据此分析其Skolem函数、可定义子集复杂度及可数子群的初等性。

域的一阶理论及其逆伽罗瓦问题

First-order theory of a field and its Inverse Galois Problem

本文证明有限群的逆伽罗瓦问题可图灵归约为域的一阶理论，并给出有效构造一阶语句的方法，同时推广到有限分裂嵌入问题和逆自同构问题。

控制组合问题解的迭代跳跃

Controlling iterated jumps of solutions to combinatorial problems

在Ramsey型层次中，即Ramsey定理，自由集，薄集和彩虹Ramsey定理，只有Ramsey定理已知在逆向数学中崩溃。证明层次结构的严格性的一个很有前途的方法是证明在n层的每个可计算实例都有一个low_n解。特别是，这需要有效地控制图灵跳跃的迭代。在本文中，我们设计了一些变种的Mathias迫使构造解决方案的凝聚力，Erdos-Moser定理和稳定的拉姆齐定理对，同时控制他们的迭代跳跃。为此，我们定义了力迫关系，它与马蒂亚斯力迫不同，具有与它们所强迫的公式相同的定义复杂性。这一分析使我们能够回答两个问题的王伟，即，是否内聚性和埃尔多斯-莫泽定理承认保存的算术层次，并可以被视为一个步骤的决议严格的拉姆齐型层次。

枚举度中的马丁猜想

Martin's Conjecture in the Enumeration Degrees

本文研究枚举度上的马丁猜想，证明一致不变函数局部上仅表现为常值、递增或位于跳跃算子之上，并构造出在任何锥上都不等价于一致不变函数的可定义函数。

Bolzano-Weierstrass定理是弱König引理的跳跃

The Bolzano-Weierstrass Theorem is the Jump of Weak König's Lemma

我们分类的计算内容的Bolzano-Weierstrass定理及其变种在Weihrauch格。为此，我们首先介绍了衍生物或跳跃在这个格子的概念，我们表明，它有一些性质类似的图灵跳跃。利用这一概念，我们证明了可计算度量空间的闭选择的导数是该空间的聚点问题。通过特殊化序列的一个相对紧凑的范围，我们得到的Bolzano-Weierstrass定理的一个特征的衍生物的紧凑的选择。特别地，这表明实数上的Bolzano-Weierstrass定理是弱柯尼希引理的跳跃。同样，二元空间上的Bolzano-Weierstrass定理是全知LLPO的小极限原理的跳跃，自然数上的Bolzano-Weierstrass定理可以刻画为LLPO的幂等闭包的跳跃.我们还引入了两个Weihrauch度f和g的合成产品作为f和g以下的任何两个函数的合成的上确界，分别。我们可以把主要结果表示为：Bolzano-Weierstrass定理是弱König引理和单调收敛定理的合成产物.我们还研究了弱极限可计算函数类，它是由弱可计算函数与极限可计算函数复合而得到的函数。我们证明了关于实数的Bolzano-Weierstrass定理对这类是完备的。同样地，实数上的唯一聚点问题对于一类函数是完全的，这类函数是有限可计算的，但需要许多思想上的改变。我们还证明了实数上的Bolzano-Weierstrass定理以及更一般的实数上的无…

Chaitin's Omega and an Algorithmic Phase Transition

We consider the statistical mechanical ensemble of bit string histories that are computed by a universal Turing machine. The role of the energy is played by the program size. We show that this ensemble has a first-order phase transition at a critical temperature, at which the partition function equals Chaitin's halting probability $Ω$. This phase transition has curious properties: the free energy is continuous near the critical temperature, but almost jumps: it converges more slowly to its finite critical value than any computable function. At the critical temperature, the average size of the …

Some computability-theoretic reductions between principles around $\mathsf{ATR}_0$

We study the computational content of various theorems with reverse mathematical strength around Arithmetical Transfinite Recursion ($\mathsf{ATR}_0$) from the point of view of computability-theoretic reducibilities, in particular Weihrauch reducibility. Our first main result states that it is equally hard to construct an embedding between two given well-orderings, as it is to construct a Turing jump hierarchy on a given well-ordering. This answers a question of Marcone. We obtain a similar result for Fraïssé's conjecture restricted to well-orderings. We then turn our attention to König's dual…

闭选择与一致低基定理

Closed Choice and a Uniform Low Basis Theorem

我们研究不同空间的闭选择原理。给定不构成解的信息，封闭选择决定解。我们表明，封闭的选择，可以在一个统一的框架内使用Weihrauch约简表征几种模型的超计算。可归约为单点空间、自然数、康托空间和贝尔空间的闭选择的函数类分别对应于可计算函数类、可计算函数类、弱可计算函数类和有效博雷尔可测函数类。我们还证明了所有这些类对应于类的非确定性可计算的功能与各自的空间作为咨询空间。证明了欧几里得空间上的闭选择可以看作是“局部紧选择”，它是自然数上的闭选择与Cantor空间上的闭选择的乘积.证明了紧选择的商定理，证明了单值函数在一定意义下可以被紧选择整除。另一个结果是独立选择定理，它提供了一个统一的证明，许多选择原则是封闭的组合。最后，我们还研究了与之相关的低可计算函数类，它包括弱可计算函数类和可计算函数类。作为一个主要结果，我们证明了一个统一版本的低基定理，该定理指出，康托空间（和欧几里得空间）上的封闭选择是低可计算的。最后，我们对图灵跳跃操作及其初始拓扑进行了一些相关的观察。

概率可计算性与选择

Probabilistic Computability and Choice

我们研究的计算能力的随机计算的无限对象，如实数。特别是，我们介绍了拉斯维加斯可计算多值函数的概念，这是一个函数，可以计算的概率图灵机，接收随机二进制序列作为辅助输入。机器可以利用这个随机序列，但它总是必须产生一个正确的结果，或者如果随机建议不成功，则在有限时间后停止计算。在正概率的情况下，随机建议必须成功。利用概率选择原理和弱弱Kynnig引理刻画了Weihrauch格上的Las Vegas可计算函数类.除其他事项外，我们证明了一个独立选择定理，这意味着拉斯维加斯可计算函数是封闭的组合。在一个案例研究中，我们表明，纳什均衡是拉斯维加斯可计算的，而零的连续函数的符号变化不能计算拉斯维加斯的机器。然而，我们发现，后者的问题承认随机算法较弱的故障识别机制。最后一个结果可以解释为中值定理可约化为弱弱Kynig引理的跳跃，而不是弱弱Kynig引理本身.这些例子也证明了拉斯维加斯可计算函数形成了可计算函数类的一个适当的超类和非确定性可计算函数类的一个适当的子类。我们还研究了特定下界对成功概率的影响，这导致了严格的类层次结构。特别是，概率放大的经典技术在无限对象的计算中失败了。我们还研究了对底层概率空间的依赖性。