Singular Fractional Choquard Equation with a Critical Nonlinearity and a Radon measure
本文讨论了一类具有分数阶Laplacian幂和临界Hardy势的奇异临界Choquard问题的正SOLA（Solutions Obtained as Limits of Approximations）解的存在性.
2020-06-05 math.AP
Fractional Schrödinger-Poisson systems with a general subcritical or critical nonlinearity
考虑了一类具有一般非线性项的分数阶Schrödinger-Poisson系统在亚临界和临界情形下的动力学行为。Ambrosetti-Rabinowitz条件不是必需的。利用摄动方法证明了正解的存在性。此外，我们还研究了参数为零时解的渐近性。
2015-03-30 math.AP
A Necessary and Suffcient Condition for Uniqueness of the Trivial Solution in Semilinear Parabolic Equations
在他们1968年的论文藤田和渡边认为问题的唯一性平凡的解决方案的半线性抛物型方程方面的类有界，非负的解决方案。特别是，他们表明，如果潜在的常微分方程有非唯一的解决方案（通过奥斯古德型条件）{ \em和}的非线性$f$满足一个条件，那么抛物型PDE也继承了非唯一性。这一假设一直保持在地方或隐式或显式在所有随后的工作在文献中有关这个和其他类似的，非唯一性现象的抛物型方程。在本文中，我们提供了一个初步的证明，不需要任何这样的假设$f$上的PDE的非唯一性。我们的结果的一个重要后果是，平凡解的PDE的唯一性是等价于平凡解的唯一性相应的常微分方程，这反过来又是已知的$f$上的Osgood型积分条件。
2017-01-17 math.AP
Fractional double phase Robin problem involving variable order-exponents and Logarithm-type nonlinearity
本文研究了一类新的变指数分形Robin方程解的存在性。此外，我们还讨论了非线性项。特别是，我们认为两种情况下：关键和亚临界的情况下。
2022-02-02 math.AP
Ground states for fractional Kirchhoff equations with critical nonlinearity in low dimension
研究了一类带外势$V$的非线性分数阶Kirchhoff方程基态解的存在性.在对$V$适当的假设下，利用单调技巧和剖面分解，证明了基态的存在性。特别是，非线性不满足Ambrosetti-Rabinowitz型条件或单调性假设。
2016-12-23 math.AP
An elliptic boundary value problem with fractional nonlinearity
研究了一类具有幂非线性项的二阶椭圆型边值问题解的存在唯一性。我们检测到的临界功率分离的存在与不存在的制度。对于存在性结果，我们利用一类特殊的加权索伯列夫空间来补偿问题中自然产生的边界奇异性。
2020-05-19 math.AP
Normalized solutions for the fractional NLS with mass supercritical nonlinearity
在索伯列夫空间$H^s(\mathbb{R}^N)$中研究了具有给定$L^2$ -范数$\int_{\mathbb{R}^N} |u|^2 \, dx =m$的分数阶非线性薛定谔方程$(-Δ)^s u = f(u)$解的存在性.在相当一般的假设下，非线性$f$，我们证明了基态解的存在性和多重性的结果在径向对称的情况下。
2020-11-06 math.AP
Almost sure local wellposedness of energy critical fractional Schrödinger equations with hartree nonlinearity
考虑能量空间下具有Hartree非线性项的能量临界分数阶薛定谔方程的Cauchy问题.使用一种方法的随机化功能的$\mathbb{R}^d$与维纳分解，介绍了由Wavelet。Bényi，T.哦，O。Pocovnicu \cite{beohpo1,beohpo2}，我们证明了柯西问题几乎必然是局部适定的。我们的结果包括Hartree薛定谔方程（$α= 2$）。
2015-04-28 math.AP
A Liouville type theorem for fractional elliptic equation with exponential nonlinearity
本文研究了分数阶椭圆型方程$$ (-Δ)^s u=e^u\mbox{ in }\mathbb R^{N}, $$的稳定解，其中$(-Δ)^s$是具有$0<s<1$的分数阶拉普拉斯算子.我们建立了稳定解的不存在性，条件是$N<10s$。当$s\uparrow 1$ .
2019-11-14 math.AP
Infinitely many non-radial sign-changing solutions for a Fractional Laplacian equation with critical nonlinearity
本文研究了具有纯临界非线性项的分数阶Laplacian问题\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} (-Δ)^{s} u=|u|^{\frac{4s}{N-2s}}u, &\mbox{in}\ \mathbb{R}^N, \\ u\in \mathcal{D}^{s,2}(\mathbb{R}^N), \end{array} \right. \end{equation*}，其中$s\in (0,1)$，$N$是正整数，$N\geq 3$，$(-Δ)^{s}$是分数阶Laplacian算子.我们将证明这个问题有无穷多个非径向变号解。
2014-08-14 math.AP
Fractional Kirchhoff equation with a general critical nonlinearity
本文研究了具有临界非线性项\begin{align*} \left(a+b\int_{\mathbb R^N}|(-Δ)^{\frac{s}{2}}u|^2dx\right)(-Δ)^su+u=f(u)\ \ \mbox{in}\ \ \mathbb R^N, \end{align*}的分数阶Kirchhoff方程，其中$N>2s$和$(-Δ)^s$是具有$0<s<1$的分数阶Laplacian.利用摄动方法，在参数$b$较小时，在不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件的情况下，证明了上述问题解的存在性.进一步得到了解的渐近性态为$b\to 0$。
2017-04-14 math.AP
Signed and sign-changing solutions for a class Kirchhoff-type problem involving the fractional p-Laplacian with critical Hardy nonlinearity
本文研究了一类具有Sobolev和Hardy非线性项的非局部分数p-Laplacian算子的Kirchhoff方程在亚临界和临界增长下三个解的存在性.证明是基于山路定理、Ekeland变分原理和Nehari集上的约束极小化。
2018-11-23 math.AP
Ground state solutions for fractional scalar field equations under a general critical nonlinearity
本文研究了以下问题$$ (- Δ)^αu = g(u) \ \ \mbox{in} \ \ \mathbb{R}^{N}, \ \ u \in H^α(\mathbb R^N) $$基态解的存在性，其中$(-Δ)^α$是分数拉普拉斯算子，$α\in (0,1)$ .我们用$α=1/2$治疗了$N\geq2$和$N=1$两例病例。函数$g$是Berestycki-Lions型的一般非线性函数，允许临界增长：在$N\geq2$情况下为多项式，在$N=1$情况下为指数。
2016-10-14 math.AP
Ground state solution of fractional Schrödinger equations with a general nonlinearity
本文研究了分数阶薛定谔方程：\[ \left\{\begin{gathered} {(- Δ)^s}u + mu = f(u){\text{in}}{\mathbb{R}^N}, \hfill u \in {H^s}({\mathbb{R}^N}),{\text{}}u > 0{\text{on}}{\mathbb{R}^N}, \hfill \\ \end{gathered} \right. \]其中$m>0$，$N>2s$，${(- Δ)^s}$，$s \in (0,1)$是分数阶拉普拉斯算子.利用极小极大的参数，我们得到了一个积极的基态解在一般条件下，$f$，我们相信这是几乎最优的。
2017-08-23 math.AP
Positive weak solutions of a double-phase variable exponent problem with a fractional-Hardy-type singular potential and superlinear nonlinearity
Athabasca University（阿萨巴斯卡大学）
本文研究了包含分数Hardy型奇异势的双相变指数问题，利用山脊定理和强最小原理，证明至少存在一个非平凡正弱解。
2026-10-27 math.AP
Stationary Kirchhoff problems involving a fractional elliptic operator and a critical nonlinearity
研究了一类由分数阶积分微分算子$\mathcal L_K$驱动的具有临界非线性项的定常Kirchhoff问题非负解的存在性和渐近性态.分析的主要特点，以及主要的困难，是基尔霍夫函数$M$可以在零处为零，即问题是退化的。所采用的技术是变分和主要定理延伸在几个方向上以前的结果最近出现在文献中。
2014-10-24 math.AP
Blow-up for a nonlinear PDE with fractional Laplacian and singular quadratic nonlinearity
我们考虑一个抛物型偏微分方程的扩散给出了一个分数拉普拉斯算子和一个二次非线性的“梯度”的解决方案，卷积与一个奇异项b。我们的第一个结果是这个问题的适定性：我们证明了（当地的时间）温和的解决方案的存在性和唯一性。主要结果是关于所述的解决方案，特别是我们找到了充分条件上的初始数据和项b，以确保爆破的解决方案在有限时间。
2020-07-22 math.AP
Existence and stability of standing waves for nonlinear fractional Schrödinger equations with Hartree type nonlinearity
本文考虑具有Hartree型非线性的非线性分数阶薛定谔方程。利用集中紧性原理研究了相关的约束极小化问题，得到了驻波的存在性。通过对称递减重排，我们还表明，驻波，直到一个翻译和相位，是正对称非增函数。此外，我们还证明了该极小点集是方程初值问题的独立集，即初始值在该极小点集附近的解将始终保持在该极小点集附近。
2012-11-21 math.AP
Existence and concentration of solutions for a fractional Schrodinger equations with sublinear nonlinearity
研究了分数阶椭圆型方程\begin{equation*}(-Δ)^{s}u+λV(x)u=f(u), \quad u\in H^{s}(\mathbb{R}^N), \end{equation*}，其中$(-Δ)^{s}$（$s\in (0\,,\,1)$）表示分数阶拉普拉斯算子，$λ>0$是参数，$V\in C(\mathbb{R}^N)$和$V^{-1}(0)$具有非空内部.在一些温和的假设下，我们建立了非平凡解的存在性。此外，还在设置为$λ\to\infty$的$V^{-1}(0)$上探索溶液的浓度。
2015-02-08 math.AP
On Dirichlet problem for fractional $p$-Laplacian with singular nonlinearity
本文研究了具有临界增长奇异非线性项的分数阶$p$方程\begin{equation*} \quad (-\De_{p})^s u = \la u^{-q} + u^α, u>0 \; \text{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om. \end{equation*}，其中$\Om$是$\mb{R}^n$中的有界区域，具有光滑边界$\partial \Om$，$n > sp, s \in (0,1), \la >0, 0 < q \leq 1 $和$α\le p^*_s-1$ .利用变分方法证明了该问题关于参数$\la$的正解的存在性和多解性。
2016-05-03 math.AP
On the complete synchronization of a time-fractional reaction-diffusion system with the Newton-Leipnik nonlinearity
本文考虑了一个具有Newton-Leipnik混沌系统的非线性的时间分数阶反应扩散系统。通过分析工具和数值结果，我们得到了该模型渐近稳定性的充分条件，并证明了混沌的存在性。我们还提出了一个非线性同步控制器的一对系统，并建立了局部和全局的渐近收敛的轨迹借助于分数稳定性理论和李雅普诺夫方法。
2018-09-22 math.AP
1/2-Laplacian problems with exponential nonlinearity
利用分数阶索伯列夫空间上的Trudinger-Moser不等式，得到了一类具有分数阶扩散和非线性项的一维非局部方程在指数增长性下解的存在性和多解性.
2013-11-09 math.AP
On the Cauchy problem of fractional Schrödinger equation with Hartree type nonlinearity
研究了分数阶薛定谔方程$$ i\partial_tu = (m^2-Δ)^\frac\alpha2 u + F(u) in \mathbb{R}^{1+n}, $$的Cauchy问题，其中$ n \ge 1$，$m \ge 0$，$1 < α< 2$，$F$代表Hartree型非线性：$$F(u) = λ(\frac{ψ(\cdot)}{|\cdot|^γ} * |u|^2)u$$ with $λ= \pm1, 0 <γ< n$，以及$0 \le ψ\in L^\infty(\mathbb R^n)$ .我们证明了某些$α$，$γ$，$λ$，$ψ$的局部和整体解的存在性和唯一性。我们还注意到当$λ= -1$。
2012-11-28 math.AP
Global Cauchy problems for the Klein-Gordon, wave and fractional Schrödinger equations with Hartree nonlinearity on modulation spaces
研究了具有三次卷积（Hartree型）非线性项的Klein-Gordon（HNLKG）、波动（HNLW）和Schrödinger（HNLS）方程的Cauchy问题.在某些调制空间中，在小Cauchy数据下，得到了（HNLKG）和（HNLS）的一些整体适定性和散射性。利用柯西数据在调制空间中得到了一类具有Hartree型非线性项的分数阶薛定谔（fNLSH）方程的整体适定性.局部适定性（HNLW），（fHNLS）和（HNLKG）与调制空间中的粗糙数据。这在某种意义上改进了索伯列夫空间中的已知结果.因此，我们得到了局部和整体的适定性和散射比通常的$L^p-$索伯列夫空间，我们可以包括更广泛的类Hartree型非线性。
2018-10-26 math.AP
Concentrating phenomenon for fractional nonlinear Schrödinger-Poisson system with critical nonlinearity
本文研究了如下分数阶Schrödinger-Poisson方程组\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} \varepsilon^{2s}(-Δ)^su+V(x)u+ϕu=g(u) & \hbox{in $\mathbb{R}^3$,} \varepsilon^{2t}(-Δ)^tϕ=u^2,\,\, u>0& \hbox{in $\mathbb{R}^3$,} \end{array} \right. \end{equation*}，其中$s,t\in(0,1)$，$\varepsilon>0$为小参数.在对势函数$V(x)$和临界非线性项$g(u)$的适当假设下，构造了一族正解$u_{\varepsilon}\in H^s(\mathbb{R}^3)$，它们集中在$V$的全局极小点附近，称为$\varepsilon\rightarrow0$ .
2019-06-27 math.AP
Multiplicity of solutions for a scalar field equation involving a fractional $p$-Laplacian with general nonlinearity
研究了以下问题$$(-Δ_p)^s u=g(u) \ \ \textrm{ in } \ \ \mathbb{R}^N, \ \ u\in W^{s,p}(\mathbb{R}^N),$$的无穷多个径向对称解的存在性，其中$s\in (0,1)$，$2 \leq p < \infty$，$sp \leq N $，$2 \leq N \in \mathbb{N}$和$(-Δ_p)^s$是分数阶$p$-Laplacian算子.我们处理两种情况$sp=N$和$sp<N.$的非线性$g$是Berestycki-Lions型的关键指数增长，如果$sp=N$和关键多项式增长，如果$sp<N$的功能。我们还证明了基态解的存在性相同的问题。
2021-05-22 math.AP
Semilinear fractional elliptic equations with gradient nonlinearity involving measures
研究了分数阶椭圆方程（E1）$(-Δ)^αu+εg(|\nabla u|)=ν$在$\R^N (N\ge2)$的有界正则区域$Ω$中解的存在性，其中$ε=1$或$-1$，$(-Δ)^α$表示具有$α\in(1/2,1)$的分数阶拉普拉斯算子，$ν$是Radon测度，$g:\R_+\mapsto\R_+$是连续函数.当$g$是次临界时，我们证明了问题（E1）-（E2）弱解的存在性.进一步讨论了当$ν$为Dirac质量、$g(s)=s^p$、$p\geq 1$和$ε=1$时解的渐近性和唯一性.
2013-11-26 math.AP
Singularly perturbed fractional Schrödinger equation involving a general critical nonlinearity
本文研究了如下奇摄动分数阶Schr？dinger问题\begin{align*} \varepsilon^{2s}(-Δ)^su+V(x)u=f(u) \ \ \ \mbox{in} \ \ \ \mathbb{R}^N, \end{align*}解的存在性和集中现象，其中$N>2s$和非线性项$f$具有临界增长.利用变分方法，我们构造了一个集中在$V$的正极小点的孤立分量周围的定域束缚态解作为$\varepsilon\rightarrow 0$。本文的结果改进了X.他和W。Zou（{ \it计算变种偏微分方程}。55-91（2016）），在这个意义上，在本文中，不需要$f(t)/t$上的{ \it Ambrosetti-Rabinowitz}条件和{ \it单调性}条件。
2017-02-08 math.AP
The Nehari manifold method for Fractional Kirchhoff problem involving singular and exponential nonlinearity
本文证明了以下含奇异指数非线性项的分数阶Kirchhoff问题\begin{equation*} \left\{\begin{split} M\left(\|u\|^{\frac{n}{s}}\right)(-Δ)^s_{n/s}u & = μu^{-q}+ u^{r-1}\exp( u^β)\;\text{in}\;\Om, u&>0,\;\text{in}\; \Om, u &= 0,\;\text{in}\; \mb R^n \setminus{\Om}, \end{split} \right. \end{equation*}至少存在两个弱解，其中$\Om$是$\mb R^n$中的光滑有界区域，{ $n\geq 1$ }，$s\in (0,1)$，$μ>0$是实参数，$β<\frac{n}{n-s}$和$q\in (0,1)$ .我们考虑了退化的基尔霍夫情况，并使用Nehari流形技术得到的结果。
2020-08-22 math.AP
Existence, Uniqueness of Positive Solution to a Fractional Laplacians with Singular Nonlinearity
本文证明了在具有零Drichlet边界条件的光滑有界区域上具有奇异非线性项的分数阶Laplacian方程正经典解的存在唯一性。利用上下解的方法，证明了该逼近问题正经典解的存在性。为了得到正则性，我们首先建立了分数拉普拉斯算子的弱解的存在性。由于\cite{XY}，正则性由弱解的有界性得到。
2014-03-13 math.AP
The Choquard logarithmic equation involving fractional Laplacian operator and a nonlinearity with exponential critical growth
本文研究了Choquard对数方程$(-Δ)^{\frac{1}{2}} u + au + λ(\ln|\cdot|\ast |u|^{2})u = f(u) \textrm{ in } \mathbb{R}$，$ a>0 $，$ λ>0 $和一类指数临界增长的非线性方程$f$非平凡解的存在性和多重性.我们证明了一个非平凡的解决方案，在山口水平和一个非平凡的基态解指数临界和亚临界增长。此外，当$ f $有亚临界增长，我们保证存在无穷多个解决方案，通过亏格理论。
2020-12-18 math.AP
Normalized ground state solutions for the fractional Sobolev critical NLSE with an extra mass supercritical nonlinearity
针对含质量超临界项的分数阶 Sobolev 临界非线性 Schrödinger 方程，本文借助 Soave 的紧性技巧证明归一化基态解存在，并推广了局部与非局部情形的已有结果。
2023-07-28 math.AP
A multiplicity result for a fractional Kirchhoff equation in $\mathbb{R}^{N}$ with a general nonlinearity
本文研究了分数阶Kirchhoff方程\begin{equation*} \left(p+q(1-s) \iint_{\mathbb{R}^{2N}} \frac{|u(x)- u(y)|^{2}}{|x-y|^{N+2s}} \, dx\,dy \right)(-Δ)^{s}u = g(u) \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{equation*}，其中$s\in (0,1)$，$N\geq 2$，$p>0$，$q$为小正参数，$g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$为满足Berestycki-Lions型假设的奇函数.通过使用极小极大参数，我们建立了上述方程的多重性结果，只要$q$足够小。
2017-06-22 math.AP
Fractional Kirchhoff problem with critical indefinite nonlinearity
研究一类具有临界非线性项的分数阶Kirchhoff方程\begin{equation*} M\left(\int_Ω|(-Δ)^{\fracα{2}}u|^2dx\right)(-Δ)^α u= λf(x)|u|^{q-2}u+|u|^{2^*_α-2}u\;\; \text{in}\; Ω,\;u=0\;\textrm{in}\;\mathbb R^n\setminus Ω, \end{equation*}正解的存在性和多解性，其中$Ω\subset \mathbb R^n$是光滑有界区域，$ M(t)=a+\varepsilon t, \; a, \; \varepsilon>0,\; 0<α<1, \; 2α<n<4α$和$ \; 1<q<2$ .这里，$2^*_α={2n}/{(n-2α)}$是分数临界Sobolev指数，$λ$是正参数，系数$f(x)$是允许改变符号的实值连续函数。利用基于Nehari流形技巧思想的变分方法，结合次线性项和超线性项的影响，证明了我们的主要结果。
2017-12-19 math.AP
Multiplicity of positive solutions for a fractional Laplacian equations involving critical nonlinearity
本文讨论了分数阶Laplacian方程\begin{equation*} (-Δ)^{\fracα{2}} u=λf(x)|u|^{q-2}u+|u|^{2^{*}_α-2}u, \quad\text{in}\,\,Ω, u=0,\text{on}\,\,\partialΩ, \end{equation*}正解的多重性，其中$Ω\subset \mathbb{R}^{N}(N\geq 2)$是一个具有光滑边界的有界区域，$0<α<2$，$(-Δ)^{\fracα{2}}$是分数阶Laplacian算子，$f\in C(Ω\times\mathbb{R},\mathbb{R})$可以变号，$λ$是一个正参数.我们将证明存在$λ_{*}>0$使得问题对于每个$λ\in (0\,,\,λ_{*})$至少有两个正解。此外，还研究了溶液的浓度行为。
2015-02-08 math.AP
Unbalanced fractional elliptic problems with exponential nonlinearity: subcritical and critical cases
本文讨论了下列$(p,q)$ -分式方程解的定性分析：\begin{equation*} \begin{array}{rllll} (-Δ)^{s_1}_{p}u+(-Δ)^{s_2}_{q}u+V(x) \big(|u|^{p-2}u+|u|^{q-2}u\big) = K(x)\frac{f(u)}{|x|^\ba} \; \text{ in } \mb R^N, \end{array} \end{equation*} \noi其中$1< q< p$，$0<s_2\leq s_1<1$，$ps_1=N$，$\ba\in[0,N)$，和$V,K:\mb R^N\to\mb R$，$f:\mb R\to \mb R$是满足某些自然假设的连续函数.我们关心的情况下，当$f$有一个亚临界增长和临界框架的指数非线性。利用Schwarz对称化技巧和相关变分方法，证明了分数Sobolev空间上的一个Moser-Trudinger型不等式的非负解的存在性.
2020-11-16 math.AP
Existence result for fractional problems with logarithmic and critical exponential nonlinearities
研究了一类具有对数和临界指数非线性项的非线性分数阶椭圆型方程非平凡解的存在性。这个问题将[5]推广到具有对数非线性的分数阶$N/s$-Laplacian方程。利用分数阶Trudinger-Moser不等式克服了临界指数非线性导致的紧性不足。利用临界点理论，建立了系统解的存在性.
2021-05-23 math.AP
Existence and stability of standing waves for nonlinear fractional Schrödinger equation with logarithmic nonlinearity
本文考虑非线性分数对数薛定谔方程。利用紧性方法，在适当的泛函框架下构造了相应的Cauchy问题的唯一整体解。我们还证明了存在的基态作为极小的行动的Nehari流形。最后，我们证明了极小点集是初值问题的独立集，也就是说，一个解的初始值在极小点集附近，它将始终保持在极小点集附近。
2017-01-20 math.AP
Quasi-invariance of fractional Gaussian fields nonlinear wave equation with polynomial nonlinearity
在具有任意阶多项式非线性项的散焦非线性波动方程的流动下，证明了高斯测度$μ_s$与Cameron-Martin空间$H^s$的拟不变性，对所有的$s>5/2$，包括分数阶$s$ .这扩展了Oh-Tzvetkov [15]和Gunaratnam-Oh-Tzvetkov-Weber [10]的工作，他们证明了这一结果对于立方非线性和$s$是偶数。的主要贡献是一个修改后的建设的加权适应高阶非线性，和能源估计的衍生物的能源取代部分分部积分法参数在以前的作品。我们还讨论了在[15，10]的引言中提出的无色散模型的（非）拟不变性问题。
2021-03-25 math.AP math.PR
On the fractional Schrödinger-Kirchhoff equations with electromagnetic fields and critical nonlinearity
本文考虑具有电磁场和临界非线性项$\varepsilon^{2s}M([u]_{s,A_\varepsilon}^2)(-Δ)_{A_\varepsilon}^su + V(x)u =$ $|u|^{2_s^\ast-2}u + h(x,|u|^2)u,$ $\ \ x\in \mathbb{R}^N,$的分数阶Schrödinger-Kirchhoff方程，其中$ u(x) \rightarrow 0$为$|x| \rightarrow \infty,$，$(-Δ)_{A_\varepsilon}^s$为具有$0<s<1$的分数阶磁算符，$2_s^\ast = 2N/(N-2s),$ $M : \mathbb{R}^{+}_{0} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$为连续非减函数，$V:\mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}^+_0,$和$A: \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}^N$分别为电势和磁势.通过使用分数形式的浓度紧性原理和变分方法，我们证明了上述问题：（i）至少有一个解，前提是$\varepsilon < \mathcal {E}$ ;（ii）对于任何$m^\ast \in \mathbb{N}$，如果$\varepsilon < \mathcal {E}_{m^\ast}$，则有…
2018-03-15 math.AP
Critical growth fractional systems with exponential nonlinearity
研究一类分数阶椭圆型方程组\begin{equation*} \begin{array}{rl} (-Δ)^{\frac{1}{2}} u &=\frac{p}{p+q}λf(x)|u|^{p-2}u|v|^q + h_1(u,v) e^{u^2+v^2},\;\textrm{in}\; (-1, 1),\\ (-Δ)^{\frac{1}{2}} v &=\frac{q}{p+q}λf(x)|u|^p|v|^{q-2}v + h_2(u,v) e^{u^2+v^2},\;\textrm{in}\; (-1, 1), u,v&>0 \;\textrm{in } \; (-1,1), u&=v=0 \; \text{in} \; \mathbb R\setminus (-1,1). \end{array} \end{equation*}正解的存在性，其中{ $1<p+q<2$ }，$h_1(u,v)=(α{+}2u^2)|u|^{α-2}u|v|^β, h_2(u,v)=(β{+}2v^2) |u|^α|v|^{β-2}v$和${α+β>2}$ .这里$(-Δ)^{\frac{1}{2}}$是分数拉普拉斯算子。通过分析映射和相应的Nehari流形，证明了在适当的范围内，$λ$的多解存在性.我们还研究了具有临界增长指数非线性项的超线性系统正解的存在性。
2015-11-11 math.AP
Stability of solutions for a parabolic problem involving fractional p-Laplacian with logarithmic nonlinearity
本文研究了一类含分数阶$p$ -Laplacian算子且具有对数非线性项\begin{equation*}\label{eq}\left\{ \begin{array}{llc} u_{t}+(-Δ)^{s}_{p}u+|u|^{p-2}u=|u|^{p-2}u\log(|u|) & \text{in}\ & Ω,\;t>0 , u =0 & \text{in} & \mathbb{R}^{N}\backslash Ω,\;t > 0, u(x,0)=u_{0}(x), & \text{in} &Ω, \end{array}\right. \end{equation*}的抛物型方程的狄利克雷问题，其中$Ω\subset \mathbb{R}^N \, ( N\geq 1)$是具有Lipschitz边界和$2\leq p< \infty$的有界区域.局部存在性将通过使用Galerkin近似来实现。通过结合势阱理论和Nehari流形，我们建立了整体解的存在性。然后，借助于微分不等式技巧，我们证明了具有任意负初始能量和适当初值的局部解在有限时间爆破。此外，我们给出了整体解的衰减估计。本文的主要困难是缺少关于分数阶$p$ -Laplacian的对数Sobolev不等式。
2020-06-19 math.AP
Existence and multiplicity of solutions for the fractional $p$-Laplacian Choquard logarithmic equation involving a nonlinearity with exponential critical and subcritical growth
本文得到了Choquard对数方程$(-Δ)_{p}^{s}u + |u|^{p-2}u + (\ln|\cdot|\ast |u|^{p})|u|^{p-2}u = f(u) \textrm{ \ in \ } \mathbb{R}^N $非平凡解的存在性和多重性，其中$ N=sp $，$ s\in (0, 1) $，$ p>2 $，$ a>0 $，$ λ>0 $和$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $是具有指数临界和亚临界增长的连续非线性方程.我们保证在山口水平和临界和亚临界增长下的非平凡基态解的存在性。此外，当$ f $有次临界增长时，我们利用亏格理论证明了无穷多个解的存在性。
2020-12-23 math.AP
A fractional Kirchhoff problem involving a singular term and a critical nonlinearity
本文考虑如下临界非局部问题$$ \left\{\begin{array}{ll} M\left(\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^{2N}}\frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{N+2s}}dxdy\right)(-Δ)^s u = \displaystyle\fracλ{u^γ}+u^{2^*_s-1}&\quad\mbox{in } Ω,\\ u>0&\quad\mbox{in } Ω,\\ u=0&\quad\mbox{in } \mathbb{R}^N\setminusΩ, \end{array}\right. $$其中$Ω$是$\mathbb R^N$的开有界子集，具有连续边界，维数$N>2s$具有参数$s\in (0,1)$，$2^*_s=2N/(N-2s)$是分数阶临界Sobolev指数，$λ>0$是实参数，指数$γ\in(0,1)$，$M$模拟Kirchhoff型系数，而$(-Δ)^s$是分数阶Laplace算子.特别是，我们涵盖了微妙的退化的情况下，即当基尔霍夫函数$M$是零在零。通过结合变分方法和适当的截断参数，我们给出了两个解的存在性。
2017-03-22 math.AP
Existence results for problems involving non local operator with an asymmetric weight and with a critical nonlinearity
本文研究有界域中涉及分数阶拉普拉斯算子、非对称权重临界非线性项及扰动的非局部问题，证明了线性扰动下的存在性，并找到了非线性扰动下的非基态解。
2025-06-24 math.AP
Ground states for $p$-fractional Choquard-type equations with critical local nonlinearity and doubly critical nonlocality
本文研究带临界局部非线性与双重临界非局部项的$p$-分数阶Choquard型方程，结合Brezis-Nirenberg方法与新思路，通过山路引理和推广的Lions型定理证明了基态解的存在性。
2023-08-26 math.AP
Eigenvalue for a problem involving the fractional (p,q)-Laplacian operator and nonlinearity with a singular and a supercritical Sobolev growth
本文通过变分法与上下解方法，研究分数阶 (p,q)-Laplacian 奇异椭圆特征值问题，涵盖超临界 Sobolev 增长，并建立解的 L∞ 范数估计。
2023-06-23 math.AP
Three solutions for a fractional elliptic problem with asymmetric critical Choquard nonlinearity
本文研究了分数拉普拉斯算子上的非对称非线性Choquard问题：\begin{equation*} \begin{array}{rl} (-Δ)^s u &= \displaystyle-λ|u|^{q-2}u + au + b\left( \int\limits_Ω \frac{(u^{+}(y))^{2^{*}_{μ,s}}}{|x-y|^ μ}\, dy\right) (u^{+})^{2^{*}_{μ,s}-2}u \quad\text{in} \; Ω, u &= 0\quad \text{in} \; \mathbb{R}^{N}\backslashΩ, \end{array} \end{equation*}，其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N}$的有$C^2$边界的开有界区域，$N > 2s$和$s \in (0,1)$ .这里$(-Δ)^s$是分数Laplace算子，$λ> 0$是实参数，$q \in (1, 2)$，$a > 0$和$b> 0$是给定常数，$2^{*}_{μ,s} = \frac{2N-μ}{N-2s}$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和符号$u^{+} = \max \{u, 0\}$意义下的临界指数.利用山路引理和链接定理证明了上述问题至少有三个非平凡解。
2021-07-09 math.AP
A singular elliptic problem involving fractional $p$-Laplacian and a discontinuous critical nonlinearity
在这篇文章中，我们证明了具有奇异性和间断临界非线性项的非线性非局部椭圆型问题解的存在性。\begin{align} \begin{split}\label{main_prob} (-Δ)_p^su&=μg(x,u)+\fracλ{u^γ}+H(u-α)u^{p_s^*-1},~\text{in}~Ω u&>0,~\text{in}~Ω, u&=0,~\text{in}~\mathbb{R}^N\setminusΩ, \end{split} \end{align}其中$Ω\subset\mathbb{R}^N$是具有Lipschitz边界的有界域，$s\in (0,1)$，$2<p<\frac{N}{s}$，$γ\in (0,1)$，$λ,μ>0$，$α\geq 0$是实数，$H$是海维赛德函数，即如果$a\leq 0$则为$H(a)=0$，如果$a>0$则为$H(a)=1$，并且$p_s^*=\frac{Np}{N-sp}$是分数临界Sobolev指数。在对函数$g$适当的假设下，证明了问题解的存在性。此外，我们表明，作为$α\rightarrow0^+$，序列的解决方案的$\eqref{main_prob}$为每个这样的$α$收敛到一个解决方案的问题，$α=0$。
2021-03-13 math.AP
Sharp Lifespan Dichotomies and Threshold Phenomena for Semilinear Heat Equations Driven by the Logarithmic Laplacian
该研究针对对数拉普拉斯驱动的半线性热方程，建立了适配非积分型对数热核的适定性理论，明确了寿命二分性、阈值现象及幂次非线性项的尖锐爆破速率。
2026-08-28 math.AP
Kirchhoff equations with Choquard exponential type nonlinearity involving the fractional Laplacian
本文讨论了一类非局部问题$$ \left\{ \begin{array}{lr} \quad - M\left(\displaystyle\int_{\mathbb R^n}\int_{\mathbb R^{n}} \frac{|u(x)-u(y)|^{\frac{n}{s}}}{|x-y|^{2n}}~dxdy\right) (-Δ)^{s}_{n/s} u=\left(\displaystyle\int_Ω\frac{G(y,u)}{|x-y|^μ}~dy\right)g(x,u) \; \text{in}\; Ω,\\ \quad \quad u =0\quad\text{in} \quad \mathbb R^n \setminus Ω, \end{array} \right. $$的非负解的存在性，其中$(-Δ)^{s}_{n/s}$是$n/s$ -分式Laplace算子，$n\geq 1$，$s\in(0,1)$使得$n/s\geq 2$，$Ω\subset \mathbb R^n$是具有Lipschitz边界的有界区域，$M:\mathbb R^+\rightarrow \mathbb R^+$和$g:Ω\times\mathbb R\rightarrow \mathbb R$是连续函数，其中$g$的行为类似于$\exp({|u|^{\frac{n}{n-s}}})$…
2019-08-29 math.AP
Multiplicity results of fractional $p$-Laplace equations with sign-changing and singular nonlinearity
本文研究了具有奇异非线性项的分数阶$p$-Laplacian方程\begin{equation*} (P_{\la}) \left\{ \begin{array}{lr} - 2\int_{\mb R^n}\frac{|w(y)-w(x)|^{p-2}(w(y)-w(x))}{|x-y|^{n+ps}}dy = a(x) w^{-q}+ \la b(x) w^r\; \text{in}\; \Om \quad \quad w>0\;\text{in}\;\Om, \quad w = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om, \end{array} \quad \right. \end{equation*}，其中$\Om$是$\mb R^n$中的有界区域，具有光滑边界$\partial \Om$，$n> ps$，$s\in(0,1)$，$\la>0$，$0<q<1$，$q<p-1<r< p_{s}^*-1$，$p_{s}^*=\frac{np}{n-ps}$，$a: \Om\subset\mb R^n \ra \mb R$使得$0< a(x)\in L^{\frac{p^{*}_{s}}{p^{*}_{s}-1+q}}(\Om)$，$b:\Om\subset\mb R^n \ra \mb R$是变号函数使得$b(x)\in L^{\frac{p^{…
2016-04-04 math.AP
Solutions of the fractional Schrödinger equation with sign-changing nonlinearity
我们寻找一个非线性分数阶薛定谔方程$$(-Δ)^{α/ 2}u + V(x)u = f(x,u)-Γ(x)|u|^{q-2}u\hbox{ on }\mathbb{R}^N,$$的解，其中$V$是强制性的，或者$V=V_{per} + V_{loc}$是$x$中的周期性势$V_{per}$和局域势$V_{loc}$的和，$Γ\in L^{\infty}(\mathbb{R}^N)$是$x$中的周期性势，$Γ(x)\geq 0$对于a.e. $x\in\mathbb{R}^N$和$2<q<2^*_α$。如果$f$具有亚临界增长，但高于$Γ(x)|u|^{q-2}u$，则我们发现基态解是Nehari流形上的极小元.此外，我们表明，如果$f$是奇数在$u$和$V$是周期的，这个方程承认无穷多个解决方案，这是两两几何不同。最后，我们得到了在强制势$V$情形下的存在性结果。
2016-11-14 math.AP
A weighted fractional problem involving a singular nonlinearity and a $L^1$ data
在这篇文章中，我们证明了以下问题的唯一熵解的存在性：\begin{equation} \begin{split} (-Δ)_{p,α}^su&= f(x)h(u)+g(x) ~\text{in}~Ω,\\ u&>0~\text{in}~Ω,\\ u&= 0~\text{in}~\mathbb{R}^N\setminusΩ,\nonumber \end{split} \end{equation}其中域$Ω\subset \mathbb{R}^N$是有界的，并包含原点，$ α\in[0,\frac{N-ps}{2})$，$s\in (0,1)$，$2-\frac{s}{N}<p<\infty$，$sp<N$，$g\in L^1(Ω)$，$f\in L^q(Ω)$对于$q>1$和$h$是一个一般奇异函数，奇异性为0。此外，具有权重$α$的分数$p$-Laplacian由下式给出：$$(-Δ)_{p,α}^su(x)=\text{P. V.}\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|u(x)-u(y)|^{p-2}(u(x)-u(y))}{|x-y|^{N+ps}}\frac{dy}{|x|^α|y|^α},~\forall x\in \mathbb{R}^N.$$
2021-08-24 math.AP
