A semi-algebraic model for automatic loop parallelization
本文提出半代数模型以推广经典多面体模型，实现完美嵌套多项式循环的自动并行化，支持依赖分析、调度计算与程序变换。
2024-12-26 cs.DC cs.SC
Computing the First Few Betti Numbers of Semi-algebraic Sets in Single Exponential Time
在本文中，我们描述了一种算法，作为输入的描述的半代数集$S \subset \R^k$，定义了一个布尔公式的形式$P > 0, P < 0, P=0$的原子$P \in {\mathcal P} \subset \R[X_1,...,X_k],$和输出的第一个$\ell+1$贝蒂数的$S$，$b_0(S),...,b_\ell(S).$的算法的复杂性是$(sd)^{k^{O(\ell)}},$其中$s = #({\mathcal P})$和$d = \max_{P\in {\mathcal P}}{\rm deg}(P),$这是单指数的$k$为$\ell$任何固定常数。以前，单指数时间算法仅用于计算欧拉-庞加莱特征，第零和第一个贝蒂数。
2006-03-10 cs.SC math.AG
Computing Cylindrical Algebraic Decomposition via Triangular Decomposition
柱形代数分解是处理半代数集合的重要工具之一，而三角分解是处理可构造集合的重要方法之一。本文对任意有限集$F \subset {\R}[y_1, ..., y_n]$，应用综合三角分解，得到了$n$维复空间的$F$ -不变圆柱分解，并由此得到了$n$维实空间的$F$ -不变柱形代数分解.我们报告的实施这种新的方法来构建柱形代数分解。
2009-03-30 cs.SC
Computing Equilibria of Semi-algebraic Economies Using Triangular Decomposition and Real Solution Classification
本文研究了经济模型中多重均衡存在性的判定问题。我们提出了一个一般的和完整的方法来确定多重的平衡在半代数经济，这可能是表示为半代数系统。该方法是基于三角分解和实解分类，两个强大的代数计算工具。两个应用实例说明了该方法的有效性。
2013-08-23 cs.SC
Efficient algorithms for computing the Euler-Poincaré characteristic of symmetric semi-algebraic sets
设$\mathrm{R}$是实封闭的域，$\mathrm{D} \subset \mathrm{R}$是有序域.考虑了$\mathrm{R}^k$的实代数和半代数子集的广义Euler-Poincaré特征的算法问题，这些子集由$\mathrm{D}$中系数的对称多项式定义.我们给出了计算这类集合的广义Euler-Poincaré特征的算法，假设输入多项式的次数由一个常数限制，其复杂性由$\mathrm{D}$中算术运算的次数来衡量，根据$k$和输入多项式的数目是多项式有界的。这是在对比的最佳复杂性的已知算法的相同的问题，在非对称的情况下，这是单指数。后一个问题的单指数复杂性不太可能得到改善，因为来自离散复杂性理论的硬度结果（$\#\mathbf{P}$ -硬度）。
2017-07-11 cs.SC math.AG
An Incremental Algorithm for Computing Cylindrical Algebraic Decompositions
本文提出了一种计算柱形代数分解的增量算法。该算法包括两个部分：计算一个复杂的圆柱树和细化这个复杂的树到一个圆柱树在现实空间中。增量来自算法的第一部分，其中复杂圆柱树是通过用多项式约束改进先前的复杂圆柱树来构造的。我们已经在Maple中实现了我们的算法。实验表明，该算法优于现有的许多例子取自文献。
2012-10-19 cs.SC
Computing with D-Algebraic Sequences
本文定义了序列的D-代数性，研究了其闭包性质算法，证明算术级数子序列保持ADE阶数，并探讨了全纯与$C^2$-有限序列的差分代数特性。
2025-10-09 cs.NA cs.SC math.AG
On the Complexity of Computing the Topology of Real Algebraic Space Curves
本文提出了一个确定性算法，以找到一个强通用的位置代数空间曲线。本文对已有的代数空间曲线拓扑计算算法进行了改进，并分析了算法的位复杂度。它是$\tilde{\mathcal {O}} (N^{20})$，其中$N=\max\{d,τ\}$、$d, τ$是代数空间曲线的定义多项式的系数的次数界限和比特大小界限。据我们所知，这是现有工作中最好的边界。它至少获得了$N^2$的已有结果。
2019-01-28 cs.DS cs.SC
An Algebraic Approach for Computing Equilibria of a Subclass of Finite Normal Form Games
纳什均衡已成为博弈论中分析决策的重要解概念。本文研究一类一般有限范式对策的Nash平衡点的计算问题。我们定义“理性支付非理性均衡博弈”为具有全部理性支付和全部非理性均衡的博弈。我们提出了一个纯粹的代数方法计算所有的纳什均衡，这些游戏，使用伽罗瓦群的知识。最后给出了一些结果，说明了这类对策的性质，并通过一个例子说明了该方法的有效性。
2010-05-30 cs.GT cs.SC
Computing the Real Isolated Points of an Algebraic Hypersurface
设$\mathbb{R}$为实数域。本文研究了多项式系统的消失集形式的$\mathbb{R}^n$中实代数集的实孤立点的计算问题。该问题对于研究机构的刚度特性在材料设计中具有重要意义。在本文中，我们设计了一个算法来解决这个问题。它是基于临界点的计算，以及路线图回答连接查询在真正的代数集。这导致一个概率算法的复杂性$(nd)^{O(n\log(n))}$计算真正的孤立点的真正代数超曲面的程度$d$。它使我们能够在实践中解决超出最先进水平的情况。
2020-08-24 cs.CG cs.SC
Efficient algorithm for computing the Euler-Poincaré characteristic of a semi-algebraic set defined by few quadratic inequalities
我们提出了一个算法，它采取作为输入的一个封闭的半代数集，$S \subset \R^k$，定义为\[ P_1 \leq 0, ..., P_\ell \leq 0, P_i \in \R[X_1,...,X_k], °(P_i) \leq 2, \]和计算的Euler-Poincaré特征$S$。算法的复杂度为$k^{O(\ell)}$。
2006-05-18 cs.CG cs.SC
The Complexity of Computing all Subfields of an Algebraic Number Field
对于有限可分域扩张K/k，所有子域都可以通过相交K/k的所谓主子域来获得。在这项工作中，我们提出了一种方法来快速计算这些交点。如果子场的数量高，则这导致更快的运行时间和改进的复杂性。
2017-11-20 cs.SC math.NT
Computing representation matrices for the action of Frobenius to cohomology groups
本文研究Frobenius作用于代数簇的上同调群的表示矩阵的计算。具体地说，我们将给出一个计算正特征完满域上任意代数簇的矩阵的算法，并估计其复杂性。此外，我们提出了一个具体的有效的方法，它适用于完整的交叉口。
2017-04-26 cs.SC math.AG
Generating Loop Invariants by Computing Vanishing Ideals of Sample Points
循环不变量在证明程序正确性方面起着非常重要的作用。在本文中，我们解决的问题，生成多项式循环程序的不变量。提出了一种通过计算样本点的消失理想来生成多项式循环程序的多项式方程不变量的新方法。我们应用有理函数插值，提前终止技术的基础上，生成具有符号初值的循环程序的不变量。我们的方法避免了一阶量词消去和柱形代数分解（CAD）。提出了一种生成多项式不变量的算法，并举例说明了该算法。此外，我们证明了一组循环程序的符号初始值，我们的算法可以产生多项式不变量与度高达15。
2011-11-03 cs.SC
Computing the volume of compact semi-algebraic sets
该研究提出一种计算紧基本半代数集$n$维体积的算法，利用有理积分周期、Picard-Fuchs微分方程等技术，精度参数$p$下运行时间基本线性，改进了此前的指数级复杂度界。
2019-04-26 cs.SC
Algebraic and Arithmetic Attributes of Hypergeometric Functions in SageMath
CNRS（法国国家科学研究中心；波尔多大学）；IMB, Université de Bordeaux（维也纳大学数学学院）；University of Vienna, Faculty of Mathematics
本文介绍了在SageMath中实现超几何函数的代数与算术属性算法，包括代数性判断、赋值计算及最小多项式生成。
2026-02-04 cs.SC math.NT
Computing Puiseux Series for Algebraic Surfaces
University of Illinois at Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
本文提出了一种算法方法，用于计算代数曲面的Puiseux级数展开，该方法从曲面与坐标平面的交点出发，通过多面体方法计算法向量锥，并利用初始形式系统得到孤立解，从而确定级数展开的初始项。
2012-05-03 cs.NA cs.SC math.AG
Calcium: computing in exact real and complex fields
Calcium是一个适合精确代数和符号计算的实数和复数的C库。数被表示为字段$\mathbb{Q}(a_1,\ldots,a_n)$的元素，其中扩展数$a_k$可以是代数的或超越的。该系统结合了有效的现场操作与自动发现和认证的代数关系，从而在一个实用的计算模型的$\mathbb{R}$和$\mathbb{C}$，其中平等是严格可判定的一大类的数字。
2020-11-03 cs.MS cs.SC
Bounding the Betti numbers and computing the Euler-Poincaré characteristic of semi-algebraic sets defined by partly quadratic systems of polynomials
设$\R$是实闭域，$ {\mathcal Q} \subset \R[Y_1,...,Y_\ell,X_1,...,X_k], $有$ °_{Y}(Q) \leq 2, °_{X}(Q) \leq d, Q \in {\mathcal Q}, #({\mathcal Q})=m,$，$ {\mathcal P} \subset \R[X_1,...,X_k] $有$°_{X}(P) \leq d, P \in {\mathcal P}, #({\mathcal P})=s$，$S \subset \R^{\ell+k}$是由布尔公式定义的半代数集，无否定，有原子$P=0, P \geq 0, P \leq 0, P \in {\mathcal P} \cup {\mathcal Q}$ .证明了$S$的贝蒂数之和是由\[ \ell^2 (O(s+\ell+m)\ell d)^{k+2m}. \]有界的。这是以前关于分别由$d$和2次多项式定义的闭半代数集的贝蒂数的有界结果的一般推广。我们还描述了一个算法，用于计算欧拉-庞加莱特性的这样的集合，推广类似的算法之前已知的。该算法的复杂度以$(\ell s m d)^{O(m(m+k))}$为界。
2008-06-24 cs.SC math.AG math.AT
An Effective Framework for Constructing Exponent Lattice Basis of Nonzero Algebraic Numbers
计算代数数的指数格的基是计算数论中的一个基本问题，它在许多领域都有应用。解决该问题的著名算法\cite{ge1993algorithms,kauers2005algorithms}的主要代价是计算由给定代数数生成的扩展域的本原元。当扩展域的次数很大时，问题似乎难以由实现算法的工具来解决。本文引入了一类特殊的指数格基。基的一个重要特征是它可以归纳构造，这使得我们在计算基时可以对给定的代数数逐一处理。在此基础上，提出了一种构造指数格基的有效框架。通过先计算一个所谓的预基，然后求解一些线性丢番图方程，可以有效地构造基。给出了一种新的乘法独立性证明和一些代数数降阶技巧，以提高计算速度。新算法已在Mathematica上实现，并通过实例验证了其有效性。此外，该算法被应用于程序验证寻找线性循环的不变量。
2019-05-08 cs.SC
Computing Circuit Polynomials in the Algebraic Rigidity Matroid
本文提出代数刚性拟阵回路多项式的构造树引导消元算法，借助组合结式等技术在 Mathematica 中实现，相较 Gröbner 基计算显著提速。
2023-04-24 cs.CG cs.DM cs.SC
On the Complexity of Computing with Planar Algebraic Curves
本文给出了平面代数曲线计算复杂性的改进界。更具体地，对于任意互质多项式$f$、$g \in \mathbb{Z}[x,y]$和任意多项式$h \in \mathbb{Z}[x,y]$，每个多项式的总次数小于$n$，并且具有绝对值小于$2^τ$的整数系数，我们证明了以下问题中的每一个都可以用由$\tilde{O}(n^6+n^5τ)$限定的多个位操作以确定性方式来解决，其中我们忽略$n$和$τ$中的多对数因子：（1）计算系统$f = g = 0$的所有复解在$\mathbb{C}^2$中的隔离区域，（2）计算$f = g = 0$的解的分离形式，（3）计算$f = g = 0$的所有实值解的$h$的符号，（4）定义为多项式$f$的实值消失集的平面代数曲线$\mathcal{C}$的拓扑计算。我们的边界改善了目前已知的最好的边界的前三个问题的一个因素的$n^2$或更多，并关闭了差距，最后一个问题的最先进的随机复杂性。
2014-07-31 cs.NA cs.SC math.AG
Some Algebraic Properties of a Subclass of Finite Normal Form Games
研究了一类有限范式对策的所有Nash均衡的计算问题。通过对博弈的代数刻画，给出了求解所有纳什均衡的方法。此外，我们提出了一种方法来决定成员的游戏类及其相关结果。附录中，包含一个例子，以显示工作的每一个提出的方法，结束了工作。
2010-01-27 cs.GT cs.SC
Matrix Methods for Solving Algebraic Systems
我们提出了我们的公共领域的软件，在稀疏（或复曲面）消除理论的以下任务，给出了一个良好的约束多项式系统。一、C代码，用于计算混合体积的系统。第二，Maple编码，用于定义过约束系统并构造其稀疏结式的Sylvester型矩阵。第三，C代码的Sylvester型矩阵的稀疏结式和超集的所有公共根的初始良好的约束系统通过计算的特征分解的平方矩阵从结式矩阵获得。最后，我们在计算分子构象的实验。
2014-03-05 cs.MS cs.SC
A probabilistic algorithm to compute the real dimension of a semi-algebraic set
设$\RR$是实闭域（例如实数域），而$\mathscr{S} \subset \RR^n$是半代数集，定义为$\RR^n$中的点集，满足$n$变量中多元多项式的$s$等式和不等式系统，次数至多为$D$，系数在$\RR$中包含的有序环$\ZZ$中。我们考虑计算$\mathscr{S}$的{ \em实维数} $d$的问题。实尺寸是第一个感兴趣的拓扑不变量;它测量在集合中可移动的自由度的数量。因此，计算实维数是计算实代数几何中最重要和最基本的问题之一。在Blum-Shub-Smale计算模型中，该问题是${\rm NP}_{\mathbb{R}}$ -完全的。当前用于计算实维度的算法（概率性或确定性）具有复杂性$(s \, D)^{O(d(n-d))}$，其在最坏情况下变为$(s \, D)^{O(n^2)}$。存在一个概率性或确定性算法来计算具有单指数复杂度的实维数，在最坏情况下的指数中具有优于${O(n^2)}$的因子，这是一个长期存在的公开问题。我们提供了一个肯定的答案，这个问题通过引入一个概率算法计算的实维数的半代数集的复杂性$(s\, D)^{O(n)}$。
2013-09-19 cs.SC
Algebraic Machine Learning: Learning as computing an algebraic decomposition of a task
Champalimaud Research（尚帕利莫德研究院）；Champalimaud Centre for the Unknown（尚帕利莫德未知中心）；Algebraic AI（代数人工智能公司）
提出基于抽象代数的机器学习新范式，将任务编码为代数公理，通过子直积分解获得泛化模型，在标准数据集上性能媲美MLP，并能直接求解哈密顿环等形式化问题。
2025-02-27 cs.AI cs.DM cs.LG
