arXiv 2404.045942024-04-06math.AP

有界区域上 Sobolev 临界 Schrödinger 方程的归一化解

Normalized solutions for Sobolev critical Schrödinger equations on bounded domains

Dario Pierotti, Gianmaria Verzini, Junwei Yu

备注：: 24 pages

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AI总结：

本文研究有界区域上具给定 $L^2$ 范数的 Sobolev 临界 Schrödinger 方程，借助改造的 Struwe 单调性技巧分析有界 Palais-Smale 序列，证明一般区域及星形区域中 $L^2$ 球面上山路解的存在性。

摘要：

我们研究有界区域 $Ω\subset\mathbb{R}^N$（$N\ge3$）上 Sobolev 临界 Schrödinger 方程具有给定 $L^2$ 范数的正解的存在性与多重性：\n\\[ -ΔU = λU + U^{2^{*}-1},\qquad U\in H^1_0(Ω),\qquad \int_ΩU^2\\,dx = ρ^{2}, \\]\n其中 $2^*=\frac{2N}{N-2}$。首先，我们考虑维数 $N\ge3$ 下的一般有界区域 $Ω$，仅在维数 $N=3$ 时加入一个涉及其内切半径和第一 Dirichlet 特征值的限制。在这一一般情形中，对于适当阈值 $ρ^{**}>0$，我们证明了当 $ρ$ 属于区间 $(0,ρ^{**})$ 的一个正测度子集时，$L^2$ 球面上存在山路解。随后，在假设 $Ω$ 为星形区域时，我们将前述结果推广到所有 $ρ\in(0,ρ^{**})$。相对于文献中已知的局部极小元，Sobolev 临界情形下山路解的存在性要难以捉摸得多。特别地，我们的证明基于对有界 Palais-Smale 序列的精细分析，而这些序列由我们所发展的对 Struwe 单调性技巧的一种非标准改造给出。

英文摘要：

We study the existence and multiplicity of positive solutions with prescribed $L^2$-norm for the Sobolev critical Schrödinger equation on a bounded domain $Ω\subset\mathbb{R}^N$, $N\ge3$: \[ -ΔU = λU + U^{2^{*}-1},\qquad U\in H^1_0(Ω),\qquad \int_ΩU^2\,dx = ρ^{2}, \] where $2^*=\frac{2N}{N-2}$. First, we consider a general bounded domain $Ω$ in dimension $N\ge3$, with a restriction, only in dimension $N=3$, involving its inradius and first Dirichlet eigenvalue. In this general case we show the existence of a mountain pass solution on the $L^2$-sphere, for $ρ$ belonging to a subset of positive measure of the interval $(0,ρ^{**})$, for a suitable threshold $ρ^{**}>0$. Next, assuming that $Ω$ is star-shaped, we extend the previous result to all values $ρ\in(0,ρ^{**})$. With respect to that of local minimizers, already known in the literature, the existence of mountain pass solutions in the Sobolev critical case is much more elusive. In particular, our proofs are based on the sharp analysis of the bounded Palais-Smale sequences, provided by a nonstandard adaptation of the Struwe monotonicity trick, that we develop.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

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