Erasure codes与Turán超立方体问题

Daisies 和 Hypercubes 的 Turán 密度

Turán Densities for Daisies and Hypercubes

本文推翻了 $r$-daisy 的 Turán 密度随 $r$ 趋于无穷而趋于零的猜想，并调整构造进一步推翻了关于超立方体 Turán 密度的民间猜想，证明了其渐近密度的更紧上界。

超立方体中的顶点Turán问题

Vertex Turán problems in the hypercube

令$\mathcal{Q}_n$是$n$维超立方体：顶点集为$\{0,1\}^n$且顶点之间的边恰好在一个坐标上不同的图。对于$1\leq d\leq n$和$F\subseteq \{0,1\}^d$，如果每个嵌入$i:\{0,1\}^d\to \{0,1\}^n$满足$i(F)\not\subseteq S$，则我们说$S\subseteq \{0,1\}^n$是\emph{$F$-free}。我们考虑的问题有多大的$S\subseteq \{0,1\}^n$可以，如果它是$F$免费的。特别地，我们推广了这一领域的主要先验结果，对于$F=\{0,1\}^2$，由于E.A. Kostochka，并证明了近极值集结构的局部稳定性结果。我们还表明，所需的密度，以保证嵌入式副本的至少一个家庭的禁止配置可能会显着低于所需的，以确保嵌入式副本的家庭的任何个别成员。最后，我们证明了如果$n$足够大，正密度的$n$维超立方体的任何子集都将包含来自某个嵌入的$n$维子立方体的指数级多个点.

关于可嵌入超立方体一层中的图及其极值数

On graphs embeddable in a layer of a hypercube and their extremal numbers

研究超立方体中可嵌入一层的图及其极值数，用边着色刻画分层图，证明多数非平凡细分有零图兰密度，存在周长为\(8\)的非分层立方体图有正图兰密度，还给出\(ex(Q_n, C_{10})\)的下界，揭示其与其他零图兰密度圈的不同。

$C_{10}$在超立方体中具有正的图兰密度

$C_{10}$ has positive Turán density in the hypercube

研究超立方体$Q_n$中不含$C_{10}$副本的子图最大边数，受前人工作启发，通过特定构造证明对于任意自然数$n$，$\text{ex}(Q_n, C_{10}) > 0.036 \cdot e(Q_n)$，得出$C_{10}$在超立方体中有正图兰密度的结论。

超立方体中 $C_{10}$ 的 Turán 密度

On the Turán Density of $C_{10}$ in the Hypercube

该研究针对超立方体图，通过估计不含 $C_{10}$ 的子图中 $C_6$ 的副本数并结合子立方体平均论证，得到 $\u03c0_{\square}(C_{10})$ 的上界不超过 0.36577。

关于超立方体中的一个覆盖问题

On a covering problem in the hypercube

在本文中，我们解决了一个特殊的变化的超立方体的图兰问题。Alon，Krech and Szabó（2007）问：“在n维超立方体Qn中，对于l < d < n，Q_l的最小集合S的大小是多少，使得每个Q_d至少包含一个S的成员？同样，他们问了一个类似的拉姆齐类型的问题：“我们可以用多少种颜色来给Q_n中的Q_l的副本着色，使得每个Q_d包含每种颜色的Q_l？“我们给出了这些问题的上界和下界，并为某些特定情况提供了上述集合S的构造。

Extremal problems on the hypercube and the codegree Turán density of complete $r$-graphs

Let $G$ be a finite abelian group, and $r$ be a multiple of its exponent. The generalized Erdős-Ginzburg-Ziv constant $s_r(G)$ is the smallest integer $s$ such that every sequence of length $s$ over $G$ has a zero-sum subsequence of length $r$. We show that $s_{2m}(\mathbb{Z}_2^d) \leq C_m 2^{d/m} + O(1)$ when $d\rightarrow\infty$, and $s_{2m}(\mathbb{Z}_2^d) \geq 2^{d/m} + 2m-1$ when $d=km$. We use results on $s_r(G)$ to prove new bounds for the codegree Turán density of complete $r$-graphs.

关于超立方体的 Turán 数

On the Turán number of the hypercube

本文研究超立方体 Q_d 的 Turán 数，取得 ex(n,Q_d) 的首次幂次改进，并将技术推广到更广泛图类，同时改进无彩虹环正常边着色图的边数上界并证明近乎彩虹环结果的紧性。

Bounds for the b-chromatic number of powers of hypercubes

The b-chromatic number $b(G)$ of a graph $G$ is the maximum $k$ for which $G$ has a proper vertex coloring using $k$ colors such that each color class contains at least one vertex adjacent to a vertex of every other color class. In this paper, we mainly investigate on one of the open problems given in [P. Francis, S. Francis Raj, On b-coloring of powers of hypercubes, Discrete Appl. Math. 225 (2017) 74-86.]. As a consequence, we have obtained an upper bound for the b-chromatic number of some powers of hypercubes. This turns out to be an improvement of the already existing bound in [P. Francis,…

与自增强渗流相关的立方体拆解问题

A cube dismantling problem related to bootstrap percolation

本文研究了立方体拆解问题，提出贪心算法用于检测解，并证明完美解对应拉丁超立方。在三维中，发现至少n个完美解，并构造了无限族非完美解。结果解决了Barát等人提出的猜想。

关于超立方体保对称子集的高重数超平面覆盖与多项式覆盖

On higher multiplicity hyperplane and polynomial covers for symmetry preserving subsets of the hypercube

本文研究超立方体保对称子集的高重数超平面覆盖问题，证明求解对应的多项式覆盖问题即可获得紧致界，并指出该方法在处理更广的块对称集时已达极限。

退化Turán问题中的度幂

On degree powers in the degenerate Turán problem

本文针对退化Turán问题，基于前人方法得到$ex_{p}(n, \mathcal{F})$的稳定性结果，证明$n$足够大时极值图含指定完全二分图，推导二分图$F$的已知结果并得到多类$F$的新精确结果。

欧几里得空间和笛卡尔幂中图的拉姆齐问题

Ramsey problems for graphs in Euclidean spaces and Cartesian powers

本文研究了欧几里得空间和笛卡尔幂中图的拉姆齐问题，提出了新的函数χ_H(R^n)，并探讨了其在不同图结构下的性质及应用。