On the Length of Monotone Paths in Polyhedra
受单纯形算法迭代次数的限制问题的启发，我们研究了在多面体的定向图（由目标函数定向）中单纯形方法所遵循的单调路径的可能长度。我们考虑了最短和最长单调路径，并估计了多面体的单调直径和高度。我们的分析适用于运输多面体，拟阵多面体，匹配多面体，最短路径多面体，和TSP，等等。我们首先表明，组合立方体有单调和Bland枢轴高度的限制，其尺寸和实际上所有的单调路径zonotopes不大于zonotopes的边缘方向的数量。我们稍后使用它来证明几个多面体具有多项式大小的枢轴高度，对于所有的枢轴规则。相反，我们发现，许多著名的组合多面体有指数长单调路径。令人惊讶的是，对于一些著名的枢纽规则，例如，最大的改进和最陡的边缘，这些相同的多面体具有多项式大小的单纯形路径。
2020-01-27 math.CO math.OC
Tropicalizing the simplex algorithm
我们开发了一个热带模拟单纯形算法的线性规划。特别是，我们得到一个组合算法来执行一个热带枢转的步骤，包括计算降低成本，在O（n（m+n））的时间，其中m是约束的数量和n是维度。
2014-12-21 math.CO math.OC
A double-pivot degenerate-robust simplex algorithm for linear programming
本文提出一种结合双主元策略的退化鲁棒单纯形算法，通过多类LP测试表明其能容忍退化，并在大规模随机问题上比Dantzig算法更高效。
2022-07-13 math.OC
Learning to Pivot as a Smart Expert
本文提出利用全局和局部信息的两种枢轴专家，并通过图卷积神经网络模仿学习，学习出优于传统方法的枢轴规则，以探索单纯形法强多项式界限之谜。
2023-08-31 math.OC
On the facet pivot simplex method for linear programming II: a linear iteration bound
本文提出一种面枢轴单纯形法，证明其能在最坏情况下以 n-d 次迭代解决线性规划，优于顶点枢轴方法，回应了 Hirsch 猜想被否证后的开放问题。
2025-04-20 math.OC
Two New Bounds on the Random-Edge Simplex Algorithm
我们证明了随机边单纯形算法在任意n个顶点的简单d-多胞形上需要期望的至多13 n/sqrt（d）个主元步。这是一般多面体的第一个非平凡的上界。我们还描述了一个精致的分析，可能会产生更好的界限特定类别的多面体。作为一个应用，我们证明了对于组合d-立方体，随机边的性能上的2^d的平凡上界可以通过d中的任何期望的多项式因子来渐进地改进。
2008-07-15 math.CO math.OC
Escaping Degeneracy by Following Shadow Edges
Bowdoin College（博多因学院）；Illinois State University（伊利诺伊州立大学）；Bocconi University（博科尼大学）
本文针对单纯形法的退化问题，提出一种转轴规则，可规避退化并追踪影子边方向，仅需线性数量退化转轴，还改进了0/1多面体上线性规划的退化转轴数量上界。
2026-10-09 cs.DS math.OC
Bounds for the number of basic feasible solutions generated by the simplex method with the largest distance rule
Faculty of Economics, Kyushu University（九州大学经济学部）
本文分析了最大距离规则下的单纯形方法，推导了生成不同基本可行解数目的上界。通过扩展Kitahara和Mizuno的分析框架，引入由约束矩阵列范数决定的几何参数β，无需非退化解假设。
2026-03-23 math.OC
Combinatorial simplex algorithms can solve mean payoff games
组合单纯形算法是单纯形法的一个实例，其中主元仅依赖于组合数据。我们表明，这种算法承认热带模拟，可用于解决平均收益游戏。此外，任何具有强多项式复杂性的组合单纯形算法（这样的算法的存在是开放的）将以这种方式提供求解平均支付博弈的强多项式算法。平均支付博弈是NP和co-NP的，它们是否可以在多项式时间内解决是一个开放的问题。我们的算法依赖于一个热带实施的单纯形法在一个实封闭的领域的哈恩系列。其中一个关键因素是一种新的符号扰动方案，它允许我们将任意平均回报游戏实例提升为哈恩级数上的非退化线性规划。
2014-01-27 math.CO math.OC
The Simplex Algorithm in Dimension Three
本文研究了三元线性规划，即三维简单多面体上的单纯形算法的最坏情况。在我们考虑的主元规则中，“随机边缘”规则产生最好的渐近行为以及最复杂的分析。所有其他规则都变得更容易研究，但也产生更差的结果：它们中的大多数基本上表现出最坏的行为;这包括Kalai的“随机面”规则，没有维数限制，已知是次指数的，以及Zadeh的确定性历史依赖规则，迄今为止还没有发现一般维数的非多项式实例。
2004-08-20 math.CO math.OC
The existence of a strongly polynomial time simplex algorithm for linear programs
在最优化和离散几何中最具挑战性的问题是线性规划是否存在强多项式时间单纯形算法。本文利用我们提出的参数分析技术（arXiv：2006.08104）对这一问题给出了肯定的回答。我们表明，有一个单纯形算法的枢转步骤的数量不超过一个LP问题的变量的数量。
2022-09-30 math.OC
Pivot Rules for Circuit-Augmentation Algorithms in Linear Optimization
回路增广算法是单纯形方法的推广，其中在每一步中，允许沿着一组固定的方向移动，称为回路，这是多面体的边的超集。我们表明，在电路增强框架中，最大的改进和Dantzig枢轴规则是NP难的，已经为0/1-LP。相应地，最速下降主元规则可以在0/1设置中在多项式时间内执行，并且对于0/1-LP，根据该规则达到最优解所需的电路扩充的数量是强多项式的。在单纯形方法中，回路扩充的数目作为步骤数目的代理已经引起了人们的兴趣，并且多面体的回路直径已经被研究作为多面体组合直径的下界。扩展以前的结果，我们表明，对于任何多面体$P$的电路直径是有界的一个多项式的输入位大小的$P$。这与多面体的组合直径的最佳界限相反。有趣的是，我们证明了电路增强框架可以用来对经典单纯形方法本身做出新的结论：特别是，作为我们的电路结果的副产品，我们证明了（i）计算最短的（ii）对于$0/1$多面体，可以使用最陡的改进边来构造强多项式长度的单调路径。
2020-10-22 cs.DM math.CO math.OC
A generalization of the steepest-edge rule and its number of simplex iterations for a nondegenerate LP
在本文中，我们提出了一个$p$ -范数规则，这是最陡边规则的推广，作为单纯形法的主元规则。对于一个非退化线性规划问题，我们证明了最陡边和$p$ -范数规则的单纯形法的迭代次数的上界。其中一个上界由变量数、约束数以及所有基本可行解中的最小和最大正元素的函数给出。
2018-03-14 math.OC
Artificial Free Clone Of Simplex Method For Feasibility
本文提出了一种与单纯形法第一阶段相同的方法，但不需要任何人工变量（或人工约束）。因此，新方法工作在原始变量空间中，但访问与单纯形法相同的枢轴序列。最近，（Inayatullah，Khan，Imtiaz & Khan，New artificial-free Phase 1 Simplex Method，2009）提出了一种类似的方法，在本文中，我们给出了一个反例，表明在一些特殊的退化条件下，他们的方法可能会偏离单纯形路径。因此，在单纯形法中确实不再需要处理人工变量（或人工约束）。
2013-05-06 math.OC
A fast-pivoting algorithm for Whittle's restless bandit index
Universidad Carlos III de Madrid（马德里卡洛斯三世大学）
本文提出了一种快速转动算法，用于计算restless bandit问题的Whittle指数，通过简化单纯形方法和自适应贪婪算法，显著提升了计算效率。
2026-01-21 math.OC
Cycling problems in linear programming
本文给出了线性规划中的一组循环问题。这些问题应该是有用的研究人员开发和测试新的单纯形算法。事实上，这组问题被用来测试最近提出的线性规划的双枢轴单纯形算法。
2021-07-18 math.OC
The Polyhedral Geometry of Pivot Rules and Monotone Paths
受单纯形法性能分析的启发，我们研究了线性规划主元规则族的行为。我们引入规范化权重枢轴规则，这是基本的原因如下：首先，它们是无记忆的，在这个意义上，枢轴是由本地信息编码的树形图。其次，许多最常用的透视规则属于该类，我们表明这个子类对于理解所有透视规则的复杂性至关重要。最后，归一化权重枢轴规则可以以自然连续的方式参数化。我们证明了两个多面体的存在，枢纽规则多面体和cubotopes，捕获的行为规范化的重量枢纽规则多面体和线性规划。我们解释他们的脸结构的多树状。我们计算相干树形图的数量的上界，也就是我们的多面体的顶点。除了优化，我们的结构提供了新的视角，经典的几何组合。我们引入了一个归一化权重主元规则，我们称之为最大斜率主元规则，它推广了阴影顶点主元规则。相应的主元规则多面体和主元规则多面体改进了Billera-Sturmfels的单调路径多面体。此外，我们的多面体的特殊情况下产生置换面体，associahedra，和multiplihedra。为了最大程度地改进主元规则，我们绘制了扫描多面体和多拟阵的连接。
2022-01-13 math.CO math.OC
An Exponential Lower Bound for Zadeh's pivot rule
单纯形算法是否存在有效的主元规则是离散最优化中最重要的问题之一。虽然许多自然的、确定性的主元规则都可以产生指数级的运行时间，但随机面规则的运行时间是次指数级的。在很长一段时间里，扎德规则仍然是第一个具有次指数运行时间的确定性主元规则的最突出的候选者。我们提出了一个下界建设，表明扎德的规则，实际上是指数在最坏的情况下。我们的建设是基于一个密切的关系，奇偶博弈的策略改进算法和马尔可夫决策过程的政策迭代算法，我们也得到指数下界Zadeh的规则在这些情况下。
2020-10-30 cs.DS math.CO math.OC
A geometric simplex method in infinite-dimensional spaces
University of Michigan（密歇根大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
本文将单纯形方法的基本几何元素扩展到局部凸拓扑向量空间中的线性规划，并探讨方法收敛于最优解的条件。通过避免传统pivot操作的代数 machinery，扩展了单纯形方法的应用范围，展示了在无穷维空间中的优化问题。
2026-04-09 math.OC
The Random Edge Rule on Three-Dimensional Linear Programs
对于n个约束的三维线性规划，采用随机边主元规则的单纯形算法所取路径的最坏情况期望长度f（n），当n足够大时，有界为1.3445 n ≤ f（n）≤ 1.4943 n.
2003-01-09 math.CO math.OC
(Machine) Learning to Improve the Empirical Performance of Discrete Algorithms
UC Davis Computer Science（加州大学戴维斯分校计算机科学）；UC Davis Mathematics（加州大学戴维斯分校数学）
本文讨论了一个数据驱动的，基于算法的框架，使算法决策或建议，而无需专家知识。我们提高了两个算法的案例研究的性能：选择一个枢纽规则的单纯形方法和选择的所有对最短路径算法。我们训练机器学习方法，以在没有人类专家意见的情况下为给定数据选择最佳算法。我们使用两种类型的技术，神经网络和提升决策树。基于我们的实验，我们得出结论：1）我们的选择框架推荐了各种枢轴规则，这些规则与仅使用固定的默认枢轴规则相比，可以提高整体性能。多年来，专家们将最陡边枢轴规则确定为最受欢迎的枢轴规则。我们的数据分析证实，最陡边的迭代次数不超过4%，而最优选择证实了人类专家的知识，但这次的知识是使用机器学习获得的。在这里，我们的推荐系统在使用梯度提升树时是最好的。2)对于全对最短路径问题，训练的模型有很大的改进，我们的选择平均距离最优选择0.07%。结论似乎不受我们使用的机器学习方法的影响。我们试图对这两个算法问题进行并行分析，但很明显，它们存在内在差异。例如，在所有对最短路径问题中，图密度是一个合理的预测因子，但在单纯形方法中没有类似的单个参数用于决策。
2021-09-29 cs.LG math.CO math.OC
Lower bounds for ranking-based pivot rules
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；FU Berlin（柏林自由大学）；University of Twente（特文特大学）
本文提出基于排名的极值规则的下界，展示了策略改进和策略迭代的超多项式和亚指数下界，适用于不同优化问题的规则类。
2026-08-11 cs.GT math.OC
Learning Warm Starts for the Simplex Method from Measured Solver Cost
Center for Systems Science and Engineering, Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学系统科学与工程中心）
该研究提出CostStart方法，结合监督基预测与基于CPU指令数的策略选择，在25类线性规划上较默认启动减半求解时间，且比两种已发表方法快1.4-2.2倍。
2026-10-16 cs.LG math.OC
Small Shadows of Lattice Polytopes
由于Kleinschlaun和Onn的工作，已知$d$维晶格多面体$P \subseteq [0,k]^{n}$的图的直径至多为$dk$。然而，在$d$和$k$中，$d$维格多面体$P = \{\mathbf{x}: A\mathbf{x} \leq \mathbf{b}\} \subseteq [0,k]^{n}$的单调直径（单调路径的最短保证长度）是否受多项式约束是一个悬而未决的问题.这个问题在线性最优化中特别有趣，因为单纯形方法跟踪的路径必须是单调的。在这个方向上，我们介绍了部分结果，包括一个单调的$3d$的$k = 2$，$(d-1)m+1$的$d$ -维$(m+1)$ -水平多面体的单调直径界，枢轴规则，这样的单纯形方法是保证采取最多$dnk||A||_{\infty}$非退化的步骤，以解决LP $P$，和一个界的$dk$的路径长度从某些固定的起点。最后，我们提出了一个建设性的方法，直径界的$(3/2)dk$，并描述了如何将这个最终的界限转化为一个算法，解决了线性规划跟踪这样的路径。
2022-04-19 math.CO math.OC
Vandermonde Trajectory Bounds for Linear Companion Systems
快速准确的安全评估和碰撞检测对于高动态自主机器人系统的运动规划和控制至关重要。信息丰富、直观和明确的运动轨迹边界使自主机器人运动的可解释性和时间关键性安全验证成为可能。在本文中，我们考虑反馈线性化的非线性系统的比例和高阶导数（PhD）控制的形式对应的同伴动态。我们引入了一种新的解析凸轨迹界，称为$\textit{Vandermonde simplex}$，高阶同伴系统，这是由系统的位置，速度和其他相关的高阶状态变量的有限加权组合的凸包。我们的范德蒙单纯形的建设是建立在一个新推出的家庭$\textit{Vandermonde basis functions}$，提供了新的见解，了解同伴系统运动相比，经典的指数基函数的基础上表达的解决方案的轨迹的同伴动力学。在数值模拟中，我们证明了范德蒙单纯形提供了更准确的运动预测（例如，估计的运动量的至少一个数量级的改进），用于描述伴随系统的运动轨迹，与标准不变的李雅普诺夫椭球以及基于指数基函数建立的指数单形相比。
2023-02-21 cs.SY eess.SY math.DS
The Minimum Euclidean-Norm Point on a Convex Polytope: Wolfe's Combinatorial Algorithm is Exponential
自1974年Philip Wolfe提出方法以来，该方法求解凸多胞体上的最小欧氏范数点问题的复杂性一直是未知的。该方法是重要的，因为它是作为一个子程序的最实用的算法之一，次模函数最小化。我们提出的第一个例子，沃尔夫的方法需要指数时间。此外，我们改进了以前的结果表明，线性规划减少在强多项式时间的最小范数点问题的单纯形。
2017-11-03 cs.DS math.MG math.OC
Is Zadeh's Least-Entered Pivot Rule Exponential?
本文反驳关于 Zadeh 最少进入枢轴规则具有指数最坏情况复杂度的既有证明，指出其约束、概率解释及 LP 与 MDP 对应关系中的多处缺陷。
2025-10-16 cs.DS math.OC
Super-Linear Sub-Quadratic Worst-Case Computational Complexity Achieved by spdspds Algorithm for Linear Programming Problem
National Institute of Technology Karnataka Surathkal（卡纳塔克国家技术学院苏拉特卡尔分校）
本文提出一种新的迭代算法spdspds，通过改进的对称基本变量与非基本变量交换策略，实现线性规划问题的O(L^{1.5})最坏情况计算复杂度。
2026-06-30 math.OC
Interior point methods are not worse than Simplex
提出“子空间分层最小二乘”内点法，其迭代复杂度受直线复杂度约束且至多为指数级，每次迭代可强多项式时间实现，还开发了强多项式时间高精度矩阵奇异值分解近似算法。
2025-02-19 cs.DS math.OC
The tropical shadow-vertex algorithm solves mean payoff games in polynomial time on average
我们引入了一个算法，解决了平均支付游戏在多项式时间平均，假设游戏的分布满足翻转不变性属性的一组动作与每个状态。该算法是一个热带模拟的阴影顶点单纯形算法，解决了平均支付游戏通过线性可行性问题的热带半环$(\mathbb{R} \cup \{-\infty\}, \max, +)$。在我们的方法的关键成分是，阴影顶点旋转规则可以转移到热带多面体，其计算减少到最优分配问题，通过Plücker关系。
2014-09-11 cs.DS cs.GT math.OC
The Oracle Complexity of Simplex-based Matrix Games
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；University of Toronto（多伦多大学）
本文研究了基于单纯形的矩阵博弈问题，揭示了双侧矩阵向量乘法在预言复杂度下的下界，改进了经典任务的复杂度分析，并与最新算法匹配。
2026-02-08 cs.GT cs.LG math.OC
