We introduce two constructions to obtain left-invariant Ricci-flat pseudo-Riemannian metrics on nilpotent Lie groups, one based on gradings, the other on filtrations, both depending on the combinatorics of the set of weights.
As an application, we show that every nilpotent Lie algebra of dimension up to $7$ and every nice nilpotent Lie algebra of dimension up to $9$ admit an indefinite Ricci-flat metric.
Chern Holomorphic Sectional Curvature: Canonical Ampleness, Rigidity, and Flatness Counterexamples
Chern Institute of Mathematics and LPMC, Nankai University（南开大学陈省身数学研究所和LPMC）；School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
Neural Network Approximations for Calabi-Yau Metrics
Mandelstam Institute for Theoretical Physics（曼德尔斯塔姆理论物理研究所）；University of the Witwatersrand（威特沃特斯兰德大学）；Universidad de Guanajuato（瓜纳华托大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
On long-time existence for the flow of static metrics with rotational symmetry
B List提出了一种几何流，它的不动点对应于广义相对论静态爱因斯坦方程的解。现在已知这个流是RxM^n上的某个Hamilton-DeTurck流（里奇流通过演化的同态的拉回）。我们研究了SO（n）旋转对称的情况下，列表的流的渐近平坦的条件。我们导致这个问题的考虑有关Bartnik的准本地质量定义，以及作为一个特殊的情况下，耦合Ricci调和映射流。这个问题也发生在SO（n+1）对称性破缺的里奇流中，并在黑洞热力学里奇流的数值研究中出现。当初始数据不允许极小超球面时，我们发现当List流的标量场在原点处满足一个正则性条件时，该流是不朽的。这个正则性条件至少在n=2时成立。否则，在奇点附近，流将允许重新标度，从而收敛到R^n上的SO（n）对称古里奇流。
