Borel Families of Games
Alexander Kastner, Clark Lyons
本文用初等方法证明博雷尔博弈族中玩家II有获胜策略的博弈集合具有良好的可测性与完全拉姆齐性质。
我们给出一个初等证明：在一个博雷尔博弈族中，使得玩家II具有获胜策略的博弈集合是贝尔可测的、普遍可测的，并且在 $X = [\mathbb{N}]^{\aleph_0}$ 的情形下是完全拉姆齐的。
We give an elementary proof that in a Borel family of games, the set of games for which player II has a winning strategy is Baire measurable, universally measurable, and completely Ramsey in the case where $X = [\mathbb{N}]^{\aleph_0}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Long Borel Games
证明了长度为$ω^2$的Borel博弈是确定的当且仅当，对于每个可数序数$α$，存在一个精细结构的、可数可迭代的Zermelo集合论扩展模型，其中$α$ -许多迭代幂集在Woodin基数的极限之上.
Borel Reductions and Cub Games in Generalized Descriptive Set Theory
本文研究了在广义描述集合论中，Borel可约性如何将κ的幂集子集关系嵌入到2^κ上的Borel等价关系中。
Borel complexity of families of finite equivalence relations via large cardinals
该研究在假设ω-Erdos基数存在的前提下，判定有限等价类的等价关系理论的Borel完全性，构建了用于界定复杂度和判定完全性的工具，并分类了细化等价关系理论的归约。
Games orbits play and obstructions to Borel reducibility
我们引入了一个新的，博弈论的方法来反分类结果的轨道等价关系。在这个框架内，我们给出了一个简短的概念证明Hjorth的湍流定理。我们还介绍了一个新的动力学标准提供了一个障碍分类的轨道CLI组。我们将这个准则应用于可分无限维希尔伯特空间上可数实数集的相等关系以及酉算子和自伴算子的酉共轭关系。
Infinite Communication Complexity and KW Games
该研究将KW博弈扩展至无限版本，建立了Cantor空间子集为Borel集与无限通信博弈可解性的等价关系，为描述集合论经典结果提供新组合证明，还证明非良基树集与无限奇偶函数均非Borel集。
A formalization of Borel determinacy in Lean
本文在Lean 4中形式化了博雷尔决定性，定义了加莱-斯图尔特游戏并证明了马丁定理，表明所有博雷尔游戏都是决定性的。
Borel Games with Lower-Semi-Continuous Payoffs
证明了具有下半连续支付的两人非零和Borel对策存在子对策完美$\ep$均衡.这个结果补充了Solan和Vieille（2003）的例子3，它表明当收益不是下半连续时，子博弈完美的$\ep$均衡不一定存在。
Highly lopsided information and the Borel hierarchy
在一个双方都有完美信息的博弈中，信息的完美程度是有严格限制的。相比之下，当一个参与者被剥夺了所有信息时，对另一个参与者的信息的限制就消失了，承认了信息的不平衡完美的层次结构。我们转向的问题时，玩家与超完美的信息有一个获胜的策略，我们确切地回答了这个问题的一个特定的家庭不平衡的信息游戏，我们称之为猜测游戏。
On the Borel Inseparability of Game Tree Languages
对策树语言可以看作是图上奇偶对弈的自动机理论对应物。他们见证了交替树自动机的索引层次结构的严格性，以及二叉树上的不动点层次结构。我们考虑一个对策树语言的第一个非平凡的水平，其中夏娃可以迫使0重复从某个时刻开始，和它的对偶，其中亚当可以迫使1重复从某个时刻开始。这两个集（这相当于一个明显的更名）是完整的共解析集类。我们表明，它们不能被任何博雷尔集分离，因此{ \em a fortiori}由任何弱可定义的树集。这解决了L.Santocanale和A.Arnold留下的一个问题，他们已经彻底研究了$μ$ -演算和自动机索引层次中的分离性质。他们表明，分离性失败的一般非确定性自动机类型$Σ^μ_{n} $，从级别$n=3$，而我们的结果解决了失踪的情况$n=2$。
Complete nonmeasurability in regular families
我们证明了对于不可数波兰空间的子集的Borel基的$σ$ -理想$\ci$，如果$\ca$是（在几种意义上）来自$\ci $的子集的“正则”族，则存在$\ca$的子族，其并集是完全不可测的，即其与不在$\ci $中的每个博雷尔集的交集不属于最小的$σ$ -我们的结果推广了\cite{fourpoles}和$\ci.$的结果.
Dichotomy Theorems for Families of Non-Cofinal Essential Complexity
我们证明了对于每一个Borel等价关系$E$，要么$E$是Borel可约的到$\mathbb{E}\_0$，要么与$E$不相容的Borel等价关系族具有共尾本质复杂性.如果$F$是Borel等价关系，$\cal F$是一族非共尾本质复杂度的Borel等价关系，它们一起满足二分法，即对于每个Borel等价关系$E$，$E\in {\cal F}$或$F$是Borel可约为$E$的，则$\cal F$仅由光滑等价关系组成，因此二分法等价于已知定理。
On Winning Conditions of High Borel Complexity in Pushdown Games
最近，O。Serre在[ Games with Winning Conditions of High Borel Complexity，in the Proceedings of the International Conference ICALP 2004，LNCS，Volume 3142，p. 1150-1162 ]中。我们回答在本文中提出的几个问题塞尔在上述引用的文件。本文首先证明了，对于每一个正整数n，在可判定获胜条件的定义中产生的类C_n（A）包含在无二义性上下文无关的omega语言类中，并且它在并和交下都不是闭的.我们还证明，存在下推游戏，配备了这样的可判定的获胜条件，获胜的集合是不确定的上下文自由语言，给出的例子，获胜的集合是不确定的非模糊的上下文自由语言，固有的模糊上下文自由语言，甚至非上下文自由语言。
Blackwell Games
布莱克威尔博弈是不完全信息的无限对策。两个玩家同时采取行动，然后被告知对方的行动。收益由Borel可测函数$f$在可能的移动序列上确定。对策论中的一个标准结果是这种类型的有限对策是确定的。布莱克威尔证明了无限对策是确定的，但仅限于支付函数是开放或$G_δ$集的指示函数的情况。对于完全信息的博弈，任意波莱尔复杂性的博弈的确定性已经被证明。在本文中，我证明了一个$G_{δσ}$集上的Blackwell游戏的确定性，以类似于戴维斯的方式证明了游戏的$G_{δσ}$复杂性的完美信息的确定性。也有大量的文献关于假设AD的后果，这是一个公理，即所有这样的完全信息博弈都是确定的。在本文的最后一节，我制定了一个类似的公理的游戏不完美的信息，并探讨了一些后果，这条公理。
Borel and Hausdorff Hierarchies in Topological Spaces of Choquet Games and Their Effectivization
在波兰空间中完成的经典描述集合论的哪些部分仍然适用于更一般的拓扑空间，可能是T0或T1，但不适用于T2（即不适用于豪斯多夫）？这个问题已经解决了维克多Selivanov在一系列文件集中的代数域。最近，马修·德·布莱希特（Matthew de Brecht）考虑了拟波兰空间，这是一个包含可数基连续域和波兰空间的框架。在本文中，我们提出了替代统一拓扑空间，我们称之为近似空间。在Choquet博弈中，Nonempty玩家在这些空间上有固定策略。近似空间的一个自然真子类与拟波兰空间类重合。我们研究了近似空间中的Borel和Hausdorff差族，重温了其他拓扑空间所做的工作。我们还考虑这些结果的有效性的问题。
A determinacy approach to Borel combinatorics
我们介绍了一种新的方法，涉及无限对策和博雷尔确定性，我们用它来回答几个著名的问题，博雷尔组合。
The combinatorics of Borel covers
在本文中，我们扩展了以前的研究家庭的开覆盖的实数集的选择原则，也包括家庭的可数Borel覆盖。本文的主要研究结果如下：1.有些类对于开覆盖是不同的，对于Borel覆盖是相等的。一些Borel类与其他作者在不同的伪装下研究的类相吻合-第4节。
Forcing, games and families of closed sets
我们提出了一个新的，博弈论，方法的理想化的强迫，在融合游戏。这推广了经典的方法，以袋和米勒强迫。对于可定义的（$\mathbfΠ^1_1$ on $\mathbfΣ^1_1) $ σ $-ideals we show that if a $ σ $-ideal is generated by closed sets, then it is generated by closed sets in all forcing extensions. We also prove an infinite-dimensional version of the Solecki dichotomy for analytic sets. Among examples, we investigate the $ σ $-ideal $ \E $ generated by closed null sets and $ σ$-理想与非分段连续函数相连.
Borel and countably determined reducibility in nonstandard domain
我们考虑了非标准域中等价关系（ER）的约简，用Borel约简和可数确定约简（CD）来表示.这揭示了部分类似于那些发现在描述集合论的现象。给出了 *N中Borel集的Borel约化结构和CD集的（部分）CD约化结构.证明了等价类可数的CD ER都是CD-光滑的，但并不是所有的CD ER都是B-光滑的，例如在 *N上有有限差分的ER.类似于波兰空间中的西尔弗二分法，*N上的任何CD ER要么最多有连续多类，要么有无限个两两不等价元素的内部集合。我们对 *N上的一元ER的研究，即，形式为x E y的等式当且仅当|X-Y|属于 *N中给定的可加Borel割，表明这些ER分裂成两个线性族，与可数共尾和可数共初割相关联，每个线性族都按Borel约简线性排序.研究了 *N的超有限子集上的一元ER与有限对称差分的ER之间的关系。
The Measure Game
我们研究的游戏首先介绍了马丁（实际上，我们使用这个游戏的一个轻微的变化）发挥作用的措施类似的巴拿赫-马祖尔游戏的类别。我们首先提出证明这个游戏和措施之间的基本联系，然后使用游戏来证明基本措施理论的结果，如富比尼定理，博雷尔-Cantelli引理，和一般的展开结果的游戏，例如，可测性的$\boldsymbolΣ^1_1$集。我们还利用该游戏给出了Rényi-Lamperti引理强形式的新的、更具建设性的证明，Rényi-Lamperti引理是概率论中的一个重要结果，在数论中有许多应用。我们给出的证明都是直接利用博弈的组合论证，而不依赖于已知的测度论论证。
Games characterizing certain families of functions
该研究推广V. Kiss的成果，得到波兰空间间Baire 1函数的博弈刻画，对等Baire 1函数族给出类似刻画，并给出Baire可测与Lebesgue可测函数的博弈刻画。
The Ramsey property implies no mad families
证明了如果$\N$的无限子集的所有集合都具有Ramsey性质，则不存在无限极大几乎不相交（mad）族.这解决了Mathias \cite{mathias}的一个长期存在的问题。证明利用了一个想法，它有其自然的根源遍历论，拓扑动力学和不变的描述集合论：我们使用，一定的功能相关联的一个所谓的疯狂的家庭是不变的等价关系下$E_0$，因此是常数的“大”集。此外，我们宣布一些额外的结果，疯狂的家庭相对于更复杂的Borel理想。
Games with infinite past
本文研究了具有无限过去阶段的多玩家博弈，探讨了两种均衡概念的等价性，以及在不同博弈类型下均衡存在的条件。
Projective maximal families of orthogonal measures with large continuum
本文研究了$2^ω$（简称m.o.）上的极大正交Borel概率测度族.（1）存在一个实可构造宇宙$L$-可定义的良序，存在一个$Π^1_2$ -可定义的m. o.家族中，没有$\mathbfΣ^1_2$可定义的m.o.。家族和$\mathfrak{b}=\mathfrak{c}=ω_3$（事实上，$\mathfrak{c}$的任何合理值都可以）。(2)存在实数的$Δ^1_3$可定义的良序，存在$Π^1_2$可定义的m. o.家族中，没有$\mathbfΣ^1_2$可定义的m.o.。家族，$\mathfrak{b}=ω_1$和$\mathfrak{c}=ω_2$。
Learning algebraic structures with the help of Borel equivalence relations
该研究探讨代数结构的算法学习，证明结构族可学习等价于其学习域可连续归约为$E_0$，并提出用描述集合论工具校准不可学习族复杂度，分析了多个基准Borel等价关系的学习能力。
Covering properties of $ω$-mad families
我们证明CH意味着存在一个Cohen-indestructible疯狂的家庭，这样的Mathias迫使相关的过滤器增加了主导的reals，而$\mathfrak b=\mathfrak c$是一致的，这一声明的否定所见证的拉弗模型的一致性Borel的猜想。
The determinacy of infinite games with eventual perfect monitoring
n个无限两人零和对策，博雷尔获胜集，其中对手的行动最终被监视，但不一定立即后，他们发挥，是确定的。证明依赖于一个表示的游戏作为一个随机对策与完美的信息，其中的机会作为一个代表的球员和执行随机化，为他们，和马丁定理的确定性，这样的游戏。
Repeated Games with Tail-Measurable Payoffs
我们研究多人Blackwell游戏，这是重复的游戏，其中每个玩家的收益是一个有界的和Borel-可测函数的无限流的行动中发挥的球员在游戏中。这些博弈是大卫·盖尔和弗兰克·斯图尔特（1953）研究的两人完全信息博弈的延伸。近年来，人们发现了许多研究Blackwell对策的新思想。在本文中，我们给出了一个概述，这些想法证明，在四种不同的方式，Blackwell游戏有限数量的球员，有限的行动集，和尾部可测量的回报承认$\varepsilon$ -平衡，所有$\varepsilon>0$。
Borel selection of dominating hyperplanes
研究在标准均匀化定理不直接适用的情况下，是否存在Borel可测方式选择支配仿射泛函，并证明在半解析正则性假设下确实存在。
Categorical concepts and their generalization by means of game theory (german: Kategorien-Konzepte und ihre spieltheoretische Verallgemeinerung)
本文讨论了表征数学对象大小的不同概念。博弈论的调查和推广的两个大小的概念，这都可以制定在拓扑方面，提供了：所谓的"Baire类别"和"$σ$-类别"。这主要是通过使用确定性公理的（广义）巴拿赫-马祖尔博弈来完成的（AC和AD的不一致性在开始时就反映出来了，并且选择了AC的较弱形式进行证明）。证明了Cantor-Bendixson和Heine-Borel的相应形式以及一些可定义性结果。这样的尺寸概念是由f.i.在测度论和积分论中，集合论和拓扑学经常导致"future"数学精确公式。在测度与积分理论中，对于"测度空间" $(Ω, \underline{A}, μ)$-即$Ω$是非空集，$\underline{A}$是$σ$-$Ω$上的代数，$μ$是$(Ω,\underline{A})$上的测度-以及$Ω$的元素的性质$E \subset Ω$，性质$E$在集合$A\in\underline{A}$ "$μ$-几乎处处"中有效，如果$E$在$A$中为真，则直到"$μ$-空集合"-即$\exists N\in\underline{A}{ } (μ(N)=0 \wedge A\cap N^\complement \subset E)$。这是至关重要的制定唯一性声明的措施和积分理论，因为它的定理通常只适用于"小"（$μ$-空）集。关键词：选择公理AC，确定性公理AD，Baire范畴定理，Bai…
Primeless proofs of the Menger and Rothberger games
本文在格上扩展 Menger 与 Rothberger 博弈研究，去掉不必要的假设，利用 Stone 对偶性恢复稠密开族的博弈刻画，给出偏序集上 Ufin 的博弈刻画，并构造几乎不相交族反例，得到最小规模下界。
Ultrafilters, Transversals, and the Hat Game
本文构造了一个 ZF+DC 模型，证明帽子游戏存在最优解并不蕴含非主超滤子或 Vitali 集的存在，并将结论推广到任意有限颜色及更一般的 Borel 二部图着色问题。
Endpoint Koopman Spectral Computation: $L^1$ Residual Bounds, $L^\infty$ Instability, and Point-Spectral SCI Calibration Families
从可解性复杂度指数(SCI)角度研究端点Koopman谱计算，给出$L^1$残差上界、揭示$L^\infty$不稳定性并构造Cantor空间上的点谱校准族。
Edge sliding and ergodic hyperfinite decomposition
本文利用边滑动和饱和不交Borel族给出了Hjorth代价定理的概念上的简单证明：如果可数的p. m. p.遍历等价关系$E$是树的且有代价$n \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$，则它是由a.e.自由群$\mathbb{F}_n$对$n$生成器的自由p. m. p.作用。更重要的是，我们的技术给出了一个显着加强这一定理：$\mathbb{F}_n$的行动可以安排，使每个$n$发电机单独行动遍历。第一个生成元的遍历作用的存在性直接来自于塔克-德罗布的一个强有力的定理，然而，它的证明使用了概率论中最近的一个重要结果作为黑箱。我们给一个建设性的和纯粹的描述集理论证明的一个较弱版本的Tucker-Drob定理，这是足够的许多应用，包括我们加强Hjorth定理。我们的证明使用了新的工具，如渐近手段图，包装不相交的Borel家庭，和有限化的非超有限图的连通分量的成本阈值。
A Concise Proof of the $L_0$ Dichotomy
本文基于Bernshteyn提出的图论框架，通过σ-理想和奇走条件，给出$L_0$二元性更简短的证明，利用反射定理替代原超限构造。
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