arXiv 2402.136902024-02math.AP

Schrödinger算子的时间分数阶离散扩散方程

Time-fractional discrete diffusion equation for Schrödinger operator

Aparajita Dasgupta, Shyam Swarup Mondal, Michael Ruzhansky, Abhilash Tushir

AI总结：

研究离散Schrödinger算子关联的时间分数阶扩散方程，建立Cauchy问题适定性，并在半经典极限下恢复经典解。

摘要：

本文旨在研究与离散Schrödinger算子 $\mathcal{H}_{\hbar,V}:=-\hbar^{-2}\mathcal{L}_{\hbar}+V$ 相关联的、具有时间依赖扩散系数的一般Caputo型扩散方程的半经典类比，其中 $V$ 是非负乘法算子，$\mathcal{L}_{\hbar}$ 是离散Laplacian，定义在格点 $\hbar\mathbb{Z}^{n}$ 上。我们在相关的Sobolev型空间中建立了具有正则系数的一般Caputo型扩散方程Cauchy问题的适定性。然而，当扩散系数具有分布奇异性时，该问题是极弱适定的。最后，我们在半经典极限 $\hbar\to 0$ 下重新获得了经典解（相应地，极弱解）对于一般Caputo型扩散方程。

英文摘要：

This article aims to investigate the semi-classical analog of the general Caputo-type diffusion equation with time-dependent diffusion coefficient associated with the discrete Schrödinger operator, $\mathcal{H}_{\hbar,V}:=-\hbar^{-2}\mathcal{L}_{\hbar}+V$ on the lattice $\hbar\mathbb{Z}^{n},$ where $V$ is a non-negative multiplication operator and $\mathcal{L}_{\hbar}$ is the discrete Laplacian. We establish the well-posedness of the Cauchy problem for the general Caputo-type diffusion equation with a regular coefficient in the associated Sobolev-type spaces. However, it is very weakly well-posed when the diffusion coefficient has a distributional singularity. Finally, we recapture the classical solution (resp. very weak) for the general Caputo-type diffusion equation in the semi-classical limit $\hbar\to 0$.

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AI总结：

摘要：

英文摘要：

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