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arXiv 2402.04810math.DS
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环面上矩阵变换的回归集的豪斯多夫维数

Hausdorff dimension of recurrence sets for matrix transformations of tori

Zhangnan Hu, Bing Li

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AI总结：

本文研究环面上由整数矩阵诱导的变换的回归集的豪斯多夫维数，在矩阵可对角化且特征值为整数时给出了维数公式。

摘要：

设$T\colon\mathbb{T}^d\to \mathbb{T}^d$由$T x=Ax(\bmod 1)$定义，其中$A$是$d\times d$整数矩阵，其特征值满足$1<|\lambda_1|\le|\lambda_2|\le\dots\le|\lambda_d|$。我们研究回归集\\[R(\psi):=\{x\in\mathbb{T}^d\colon T^nx\in B(x,\psi(n)) {\rm ~对无穷多个~}n\}\\]的豪斯多夫维数，其中$\alpha\ge\log|\lambda_d/\lambda_1|$，$\psi$是定义在$\mathbb{N}$上的正递减函数，其在无穷远处的下阶为$\alpha=\liminf\limits_{n\to\infty}\frac{-\log \psi(n)}{n}$。在$A$在$\mathbb{Q}$上可对角化且特征值为整数的情况下，我们得到了维数公式。

英文摘要：

Let $T\colon\mathbb{T}^d\to \mathbb{T}^d$, defined by $T x=Ax(\bmod 1)$, where $A$ is a $d\times d$ integer matrix with eigenvalues $1<|λ_1|\le|λ_2|\le\dots\le|λ_d|$. We investigate the Hausdorff dimension of the recurrence set \[R(ψ):=\{x\in\mathbb{T}^d\colon T^nx\in B(x,ψ(n)) {\rm ~for~infinitely~ many~}n\}\] for $α\ge\log|λ_d/λ_1|$, where $ψ$ is a positive decreasing function defined on $\mathbb{N}$ and its lower order at infinity is $α=\liminf\limits_{n\to\infty}\frac{-\log ψ(n)}{n}$. In the case that $A$ is diagonalizable over $\mathbb{Q}$ with integral eigenvalues, we obtain the dimension formula.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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