环面矩阵变换的修正收缩目标问题
Modified shrinking target problem for Matrix Transformations of Tori
AI总结：
本文研究环面矩阵变换的修正收缩目标问题，计算乘积型逼近集及以 Lipschitz 移动超矩形为目标的分形集的 Hausdorff 维数，统一收缩目标与定量回归性质。
摘要：
我们计算了如下分形集的 Hausdorff 维数：{x∈T^d：对无穷多个 n∈N，∏_{1≤i≤d}|T_{β_i}^n(x_i)-x_i|<ψ(n)}，其中 T_{β_i} 是 β_i>1 的标准 β_i-变换，ψ 是定义在 N 上的正函数，而 |·| 是环面 T 上的通常度量。此外，我们研究了收缩目标问题的一个修正版本，它统一了环面矩阵变换的收缩目标问题与定量回归性质。设 T 为具有实系数的 d×d 非奇异矩阵。于是，T 确定了 d 维环面 T^d:=R^d/Z^d 的一个自映射。对于任意 1≤i≤d，设 ψ_i 是 N 上的正函数，并令 Ψ(n):=(ψ_1(n),…,ψ_d(n))，其中 n∈N。我们得到了如下分形集的 Hausdorff 维数：{x∈T^d：对无穷多个 n∈N，T^n(x)∈L(f_n(x),Ψ(n))}，其中 L(f_n(x,Ψ(n))) 是一个超矩形，而 {f_n}_{n≥1} 是 T^d 上一列具有统一 Lipschitz 常数的 Lipschitz 向量值函数。
英文摘要：
We calculate the Hausdorff dimension of the fractal set \begin{equation*} \Big\{\mathtt{x}\in \mathbb{T}^d: \prod_{1\leq i\leq d}|T_{β_i}^n(x_i)-x_i| < ψ(n) \text{ for infinitely many } n\in \mathbb{N}\Big\}, \end{equation*} where the $T_{β_i}$ is the standard $β_i$-transformation with $β_i>1$, $ψ$ is a positive function on $\mathbb{N}$ and $|\cdot|$ is the usual metric on the torus $\mathbb{T}$. Moreover, we investigate a modified version of the shrinking target problem, which unifies the shrinking target problems and quantitative recurrence properties for matrix transformations of tori. Let $T$ be a $d\times d$ non-singular matrix with real coefficients. Then, $T$ determines a self-map of the $d$-dimensional torus $\mathbb{T}^d:=\mathbb{R}^d / \mathbb{Z}^d$. For any $1\leq i \leq d$, let $ψ_i$ be a positive function on $\mathbb{N}$ and $Ψ(n):=(ψ_1(n),\dots, ψ_d(n))$ with $n\in \mathbb{N}$. We obtain the Hausdorff dimension of the fractal set \begin{equation*} \big\{\mathtt{x}\in \mathbb{T}^d: T^n(x)\in L(f_n(\mathtt{x}), Ψ(n)) \text{ for infinitely many } n\in \mathbb{N}\big\}, \end{equation*} where $L(f_n(\mathtt{x}, Ψ(n)))$ is a hyperrectangle and $\{f_n\}_{n\geq 1}$ is a sequence of Lipschitz vector-valued functions on $\mathbb{T}^d$ with a uniform Lipschitz constant.
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