可积概率中的显著结构，I：最大-独立结构
Remarkable structures in integrable probability, I: max-independence structures
AI总结：
本文系统研究可积概率中的“最大-独立结构”，覆盖 GUE/GOE Tracy-Widom、随机矩阵极端谱、KPZ 聚合物与 Schur 测度，并导出 GUE Tracy-Widom 分布的新等价 CDF 表达式。
摘要：
我们系统地分析了可积概率理论中一种显著结构的出现，我们称之为“最大-独立结构”，即随机变量被构造为一列独立随机变量的最大值。所处理的示例列表包括：GUE 和 GOE Tracy-Widom 分布、随机 Hermite/酉矩阵的极端特征值/特征角（尤其是 GUE 极端特征值这一历史性示例）、具有 Dirac 初始条件的 KPZ 方程的 Hopf-Cole 解（连续随机聚合物）以及对称 Schur 测度。在最后一种情形中，底层随机划分的最大部分是负整数确定性序列的独立同分布随机化的最大值。在 GUE Tracy-Widom 分布的情形中，随机变量的规律使用了 Heurtley 和 Slepian 在圆形光学反射镜背景下引入的长旋转椭球波函数的重新标度；而在 GUE 情形中，这些分布使用 Painlevé IV 方程的 sigma 形式。为了说明这种结构的效用，我们利用示性函数之和的经典 Poisson 逼近，对写成 N 个独立随机变量最大值的 GUE 最大特征值进行重新标度。为此，我们使用 Okamoto-Noumi-Yamada 关于 Painlevé 方程 sigma 形式的理论，该理论由 Forrester-Witte 应用于随机矩阵理论。通过这样做，我们发现了 GUE Tracy-Widom 分布累积分布函数的一个新表达式，并通过 Forrester-Witte 式的操作证明它等价于经典表达式。
英文摘要：
We analyse in a systematic way the occurrences of a remarkable structure in the theory of integrable probability that we call a ``max-independence structure'', when random variables are constructed as a maximum of a sequence of independent random variables. The list of treated examples contains~: the $ GU\!E $ and $ GO\!E $ Tracy-Widom distributions, the extreme eigenvalues/eigenangles of random hermitian/unitary matrices (and in particular the historical example of the $ GU\!E $ extreme eigenvalues), the Hopf-Cole solution to the $ KPZ $ equation with Dirac initial condition (continuum random polymer) and the symmetric Schur measure. % In this last case, the largest part of the underlying random partition is the maximum of an i.i.d randomisation of the deterministic sequence of negative integers. In the case of the $ GU\!E $ Tracy-Widom distribution, the laws of the random variables use a rescaling of the prolate hyperspheroidal wave functions that were introduced by Heurtley and Slepian in the context of circular optical mirrors, and in the case of the $ GU\!E $, the distributions use the sigma-form of the Painlevé $ I\!V $ equation. To illustrate the utility of such a structure, we rescale the largest eigenvalue of the $ GU\!E $ written as a maximum of $N$ independent random variables with the classical Poisson approximation for sums of indicators. We use for this the Okamoto-Noumi-Yamada theory of the sigma-form of the Painlevé equation applied to random matrix theory by Forrester-Witte. By doing so, we find a new expression for the cumulative distribution function of the $ GU\!E $ Tracy-Widom distribution which is shown to be equivalent to the classical one using manipulations à la Forrester-Witte.
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