We consider the monomial expansion of the $q$-Whittaker and modified Hall-Littlewood polynomialsarising from specialization of the modified Macdonald polynomial. The two combinatorial formulas for the latter due to Haglund, Haiman, and Loehr and Ayyer, Mandelshtam and Martin give rise to two different parameterizing sets in each case. We produce bijections between the parameterizing sets which preserve the content and major index statistics. We identify the major index with the charge or cocharge of appropriate words and use descriptions of the latter due to Lascoux-Sch$\ddot{\text{u}}$tzenberger and Killpatrick to show that our bijections have the desired properties.
A Sundaram type bijection for $\mathrm{SO}(2k+1)$: vacillating tableaux and pairs consisting of a standard Young tableau and an orthogonal Littlewood-Richardson tableau
Characterization of $\mathfrak{k}$-highest weight and $\widehat{\mathfrak{g}}$-dominant tableaux via $1$-$0$-slack recording tableaux in the quantum Littlewood-Richardson rule and lattice points in flagged hive polytopes
我们定义马赛克，这是自然的双射与克努森-陶难题。我们定义了一个操作的马赛克，这表明他们也在双射与Littlewood-Richardson skew-tableaux。这种建设的另一个后果是，我们获得双射证明的交换性和结合性的环结构定义这些对象之一。特别是，我们得到了一个新的，简单的证明Littlewood-Richardson规则。最后，我们将讨论我们的操作是如何与其他已知的结构，特别是jeu de taquin。
最近引入了一种称为k形的偏序集，为a（k-1）-Schur函数在t=1时扩展为k-Schur函数提供了一个组合规则。这个构造的主要成分是一个双射，我们称之为弱双射，它将一个由（k-1）-表和k-形偏序集中的一条路组成的对与一个k-表联系起来。我们在这里定义了k-tableaux上的电荷概念（推测它给出了Hall-Littlewood多项式到k-Schur函数的展开系数的组合解释），并表明它在标准情况下与弱双射兼容。特别地，我们得到了一个标准的尺寸为n的tableau的通常电荷等于它在k-形偏序集中对应的路的电荷之和，其中k= 2，3. n.
Geometric RSK correspondence, Whittaker functions and symmetrized random polymers
我们证明了A.N. Kirillov（2001）关于其定义域上的自然积测度是体积保持的，并且Givental的GL（n，R）-Whittaker函数积分公式中的被积函数在这种情况下自然产生.除了提供进一步的证据表明，惠特克函数是舒尔多项式在这种设置的自然模拟，我们的研究结果也提供了一个新的“组合”框架的研究随机聚合物。当输入矩阵由随机的反伽马分布权重组成时，由这些权重构造的聚合物分拆函数的概率分布可以用Whittaker函数显式地写出。接下来，我们限制几何RSK映射到对称矩阵，并表明体积保持性质继续举行。我们确定的聚合物分拆函数的概率律与反伽马权重被约束为对称的主对角线，与一个额外的因素上的主对角线。第三个组合映射研究的是三角形阵列的几何RSK映射的一个变种，这再次表明是体积保持。这导致了聚合物模型的概率分布公式，该聚合物模型的路径被限制在对角线以下。我们还证明了本文中Cauchy-Littlewood恒等式的类似物等价于由Bump（1989）和Bump and Friedberg（1990）提出并由Stade（2001，2002）证明的一组Whittaker积分恒等式.我们的方法导致新的“组合”证明和推广这些身份，与一些限制的参数。
