关于微分算子的可闭性
On the closability of differential operators
AI总结：
本文研究一般 Radon 测度下方向导数算子的可闭性，完全刻画了从 Lipschitz 空间到 $L^p(μ)$ 可闭的向量场，并给出从 $L^q(μ)$ 到 $L^p(μ)$ 可闭的充要条件及经典微分算子可闭性与测度绝对连续性的关系。
摘要：
我们讨论关于 $\mathbb{R}^d$ 上一般 Radon 测度 $μ$ 的方向导数算子的可闭性；我们的主要定理完全刻画了对于 $1\leq p\leq\infty$，相应算子从 Lipschitz 函数空间 $\mathrm{Lip}(\mathbb{R}^d)$ 到 $L^p(μ)$ 可闭的向量场。我们还讨论了同一算子从 $L^q(μ)$ 到 $L^p(μ)$ 的可闭性，并给出可闭性的充分必要条件，但我们没有得到精确的刻画。作为一个推论，我们得到经典微分算子如梯度、散度和 Jacobi 行列式从 $L^q(μ)$ 到 $L^p(μ)$ 可闭，仅当 $μ$ 关于 Lebesgue 测度绝对连续。最后我们考虑某一类多线性微分算子的可闭性；这些结果随后用度量流重新表述。
英文摘要：
We discuss the closability of directional derivative operators with respect to a general Radon measure $μ$ on $\mathbb{R}^d$; our main theorem completely characterizes the vectorfields for which the corresponding operator is closable from the space of Lipschitz functions $\mathrm{Lip}(\mathbb{R}^d)$ to $L^p(μ)$, for $1\leq p\leq\infty$. We also discuss the closability of the same operators from $L^q(μ)$ to $L^p(μ)$, and give necessary and sufficient conditions for closability, but we do not have an exact characterization. As a corollary we obtain that classical differential operators such as gradient, divergence and Jacobian determinant are closable from $L^q(μ)$ to $L^p(μ)$ only if $μ$ is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. We finally consider the closability of a certain class of multilinear differential operators; these results are then rephrased in terms of metric currents.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
