偏好关系的最佳完全逼近
Best Complete Approximations of Preference Relations
AI总结：
本文研究用完全偏好关系逼近不完全偏好关系，提出基于顶差度量的最佳完全逼近，证明其为极大完备化且具有最大指标，并给出规范完备化的充分条件及闭式解。
摘要：
我们研究了在有限集合上，用完全偏好关系逼近不完全偏好关系 $\succsim$ 的问题。我们的目标是使基于两种偏好（一种不完全，一种完全）的选择在总体上具有尽可能小的差异。为此，我们使用偏好上的顶差度量，并将 $\succsim$ 的最佳完全逼近定义为相对于该度量与 $\succsim$ 最近的完全偏好关系。我们证明了这样的逼近必须是 $\succsim$ 的极大完备化，并且实际上它是 $\succsim$ 的具有最大指标的任意一个完备化。最后，我们利用这些结果为偏好的最佳完全逼近是其规范完备化提供了充分条件。这导致在若干感兴趣的不完全偏好关系的情况下，最佳逼近问题具有闭式解。
英文摘要：
We investigate the problem of approximating an incomplete preference relation $\succsim$ on a finite set by a complete preference relation. We aim to obtain this approximation in such a way that the choices on the basis of two preferences, one incomplete, the other complete, have the smallest possible discrepancy in the aggregate. To this end, we use the top-difference metric on preferences, and define a best complete approximation of $\succsim$ as a complete preference relation nearest to $\succsim$ relative to this metric. We prove that such an approximation must be a maximal completion of $\succsim$, and that it is, in fact, any one completion of $\succsim$ with the largest index. Finally, we use these results to provide a sufficient condition for the best complete approximation of a preference to be its canonical completion. This leads to closed-form solutions to the best approximation problem in the case of several incomplete preference relations of interest.
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