Error estimates for physics informed neural networks approximating the Navier-Stokes equations
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Brown University（布朗大学）
我们证明了严格的边界上的不可压缩Navier-斯托克斯方程的近似与（扩展）物理通知神经网络的错误。我们发现，潜在的PDE残差可以任意小的双曲正切神经网络与两个隐藏层。此外，总误差可以根据训练误差、网络大小和正交点的数量来估计。数值实验说明了理论。
2023-02-02 cs.LG cs.NA math.NA
Error estimates of physics-informed neural networks for approximating Boltzmann equation
本文针对PINNs近似全局麦克斯韦分布附近玻尔兹曼方程解的问题开展严格误差分析，解决无界速度域非局部二次项的分析难点，并证明基于微-宏分解神经网络的渐近保持性质。
2025-11-19 cs.NA math.NA
Error Estimates in Physics-Informed Neural Networks to Heat-Wave Fluid-Structure Interactive System
Clemson University（克莱姆森大学）
本研究针对耦合流体-弹性动力学的热波模型，首次给出了物理信息神经网络（PINN）的误差估计，证明泛化误差受训练误差、求积点数和网络规模控制，并辅以数值实验验证。
2026-10-27 cs.NA math.NA
Numerical Approximations of the Allen-Cahn-Ohta-Kawasaki (ACOK) Equation with Modified Physics Informed Neural Networks (PINNs)
物理信息神经网络（PINNs）已被广泛用于数值逼近偏微分方程问题。虽然PINN在产生许多偏微分方程的解方面取得了很好的结果，但研究表明它在相场模型上表现不佳。在本文中，我们部分地解决这个问题，通过引入一个修改的物理通知神经网络。特别地，它们被用来数值逼近具有体积约束的Allen-Cahn-Ohta-Kawasaki（ACOK）方程。
2022-07-11 cs.NA math.NA
Regularity and error estimates in physics-informed neural networks for the Kuramoto-Sivashinsky equation
针对二维/三维Kuramoto-Sivashinsky方程的分析与数值逼近挑战，本研究结合经典分析与PINN框架，首次建立该方程PINN逼近的严格误差估计，并通过数值模拟验证理论误差界。
2025-11-12 cs.NA math.NA
Physics-informed approach for exploratory Hamilton--Jacobi--Bellman equations via policy iterations
针对熵正则化随机控制问题，提出基于物理信息神经网络的无网格策略迭代框架，通过L²误差分析分解误差来源，在高维线性二次调节及非线性系统中验证了方法的可扩展性、准确性和鲁棒性。
2025-11-17 cs.NA math.NA
Reactive Transport Modeling with Physics-Informed Machine Learning for Critical Minerals Applications
University of Houston（休斯顿大学）；Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
本文提出一种物理信息神经网络框架，用于多孔介质中快速双分子反应的反应传输建模，以提升关键矿物提取及相关地质应用的准确性。
2026-03-11 cs.NA math.NA
A certified wavelet-based physics-informed neural network for the solution of parameterized partial differential equations
物理信息神经网络（PINN）经常被用于偏微分方程（PDE）的数值逼近。本文的目标是构建PINNs以及可计算的误差上界，这是特别相关的参数化偏微分方程（PPDE）的模型简化。为此，我们建议使用的自适应小波扩展的损失函数和误差界的残差的扩展系数的加权和。这种方法在这里所示的椭圆PPDE使用标准变分和最佳稳定的超弱制定。数值算例表明，小波误差界具有很好的定量效果。
2022-12-16 cs.NA math.NA
Error Estimates and Physics Informed Augmentation of Neural Networks for Thermally Coupled Incompressible Navier Stokes Equations
物理信息神经网络（PINNs）是求解偏微分方程（偏微分方程）的一种有效方法。PINN通过在给定域上最小化基于物理的损失函数来近似PDE解。尽管PINN的应用范围的问题类，调查的误差估计和收敛性能的PINN，这是很重要的建立背后的理由，他们的良好的经验表现，一直缺乏实质性的进展。本文对热耦合不可压Navier-斯托克斯方程的多物理场问题进行了PINNs的收敛性分析和误差估计。通过Beltrami流的模型问题，它表明，一个小的训练误差意味着一个小的泛化误差。给出了总误差关于训练残差和配置点的后验收敛速度。这对确定合适的训练参数和训练残差阈值，得到良好的热耦合稳态层流PINN预测具有实际意义。然后将这些收敛速度推广到不同的空间几何形状以及层流状态中的不同流动参数。在PINN的PDE残差中加入压力泊松方程形式的压力稳定项。这种物理信息增强被证明是通过数量级的压力场的精度提高相比，没有增强的情况下。将PINNs的结果与稳定化有限元法的结果进行了比较，突出了PINNs的良好性能。
2022-09-10 cs.NA math.NA
A rate of convergence of Physics Informed Neural Networks for the linear second order elliptic PDEs
近年来，物理信息神经网络（PINN）已被证明是一个强大的工具，解决偏微分方程的经验。然而，PINN的数值分析仍然缺失。在本文中，我们证明了PINNs的收敛速度为二阶椭圆型方程与Dirichlet边界条件，通过建立上界的训练样本的数量，深度和宽度的深度神经网络，以达到所需的精度。PINN的误差被分解为近似误差和统计误差，其中近似误差在具有$\mathrm{ReLU}^{3}$网络（具有激活函数$\max\{0,x^3\}$的深度网络）的$C^2$范数中给出，并且统计误差由Rademacher复杂度估计。我们得到了梯度范数的非Lipschitz合成与$\mathrm{ReLU}^{3}$网络的Rademacher复杂性的界，这是一个非常有意义的独立结果.
2022-03-16 cs.NA math.NA
Physics Informed Neural Networks (PINNs)for approximating nonlinear dispersive PDEs
我们提出了一种新的算法，基于物理信息神经网络（PINNs），有效地近似解的非线性色散偏微分方程，如KdV-Kawahara，Camassa-Holm和Benjamin-Ono方程。利用这些分散偏微分方程的解决方案的稳定性，证明严格的界限所产生的误差。我们给出了几个数值实验来证明PINN可以非常精确地近似解这些色散偏微分方程
2022-05-18 cs.NA math.NA
Higher-Order error estimates for physics-informed neural networks approximating the primitive equations
海洋和大气的大尺度动力学由原始方程（PE）控制。由于非线性和非局域性，一般的PE的数值研究具有挑战性。神经网络已被证明是解决这一挑战的有前途的机器学习工具。在这项工作中，我们采用物理信息的神经网络（PINNs）来近似PE的解决方案，并研究了误差估计。首先，我们建立了高阶正则性的整体解的PE无论是完全粘性和扩散，或只有水平的。这种结果的情况下，只有水平的是新的，需要在PINNs框架下的分析。然后证明了两层双曲正切PINNs的存在性，当PINNs的宽度足够宽时，其训练误差可以任意小，且当训练误差足够小且样本集足够大时，其真实解与其近似解之间的误差可以任意小.特别是，所有的估计都是先验的，我们的分析包括高阶（空间Sobolev范数）误差估计。原型系统的数值结果进一步说明了在训练过程中使用$H^s$规范的优势。
2023-03-17 cs.NA math.NA
Evaluating Error Bound for Physics-Informed Neural Networks on Linear Dynamical Systems
人们对使用物理学知识的神经网络求解微分方程进行了广泛的研究。虽然这种方法在许多情况下被证明是有利的，但主要的批评在于它缺乏分析误差范围。因此，它的可信度低于传统的同行，如有限差分法。本文表明，人们可以数学推导出明确的误差界的物理信息神经网络训练的一类线性微分方程组。更重要的是，评估这样的误差界只需要评估微分方程剩余无穷范数在感兴趣的域。我们的工作表明，网络残差，这是已知的，并用作损失函数，和解决方案的绝对误差，这是通常未知之间的联系。我们的方法是半现象学和独立的知识的实际解决方案或网络的复杂性或架构。利用线性常微分方程组和线性常微分方程组的人工解方法，对误差估计算法进行了实证检验，结果表明，实际误差严格在我们推导的界之内.
2022-07-03 cs.NA cs.NE math.NA
Residual-based error bound for physics-informed neural networks
针对物理信息神经网络所得解缺乏误差保证的问题，提出一种仅依赖方程结构与残差信息的严格误差界方法及高效算法。
2023-06-06 cs.CE cs.NA math.NA
Neural functional a posteriori error estimates
本文提出一种融入后验误差估计的新损失函数，用于神经网络与神经算子的监督及物理信息训练，通过额外学习物理场在后处理阶段获得严格误差上界，并在椭圆问题上验证了其精度与高效误差上界恢复能力。
2024-02-08 cs.NA math.NA
Error analysis for physics informed neural networks (PINNs) approximating Kolmogorov PDEs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
物理学通过最小化逐点残差来告知神经网络偏微分方程的近似解。我们推导出严格的误差界，所招致的PINNs近似的解决方案的一大类线性抛物型偏微分方程，即Kolmogorov方程，包括热方程和Black-Scholes方程的期权定价，作为例子。我们构造神经网络，其PINN残差（泛化误差）可以尽可能小。我们还证明了总的$L^2$错误可以有界的泛化误差，这反过来又是有界的训练误差，提供了足够数量的随机选择的训练（搭配）点使用。此外，我们证明了PINN的大小和训练样本的数量只与底层维度呈多项式增长，使PINN能够克服这种情况下的维数灾难。这些结果使我们能够提供一个全面的误差分析PINNs近似Kolmogorov偏微分方程。
2021-07-10 cs.LG cs.NA math.NA
Physics-Informed Kernel Function Neural Networks for Solving Partial Differential Equations
提出将由PDE控制方程推导的物理信息核函数作为RBFNN激活函数的PIKFNN，仅用边界/初始数据训练，并通过多类基准问题验证其可行性与准确性。
2023-06-07 cs.NA math.NA
Error Estimation for Physics-informed Neural Networks Approximating Semilinear Wave Equations
Department of Mathematics, Ludwig Maximilians Universität München（慕尼黑大学数学系）；Munich Center for Machine Learning (MCML)（慕尼黑机器学习中心 (MCML)）；Department of Computing and Mathematical Sciences, California Institute of Technology（加州理工学院计算与数学科学系）
本文基于物理信息神经网络对半线性波动方程进行误差估计，通过网络层宽度和训练点数量推导出泛化误差和训练误差的界限，并在H^1([0,T];L^2(Ω))-范数下证明总误差可被任意小化。
2026-03-27 cs.AI cs.NA math.NA
Physics-Informed Deep Learning for Industrial Processes: Time-Discrete VPINNs for heat conduction
Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
本文提出了一种用于热传导问题的变分物理引导神经网络，结合时间离散化与复合损失函数，成功模拟了工业过程中咖啡提取物的冻结动态。
2026-03-05 cs.NA math.NA
Learning the solution operator of a nonlinear parabolic equation using physics informed deep operator network
针对科学工程领域解析难解的微分方程求解时参数变化需重训/重仿真的问题，本研究采用融入物理规律的PI-DeepONet逼近非线性抛物型方程的解算子，实现PDE解的学习。
2023-08-22 cs.NA math.NA
Exactly conservative physics-informed neural networks and deep operator networks for dynamical systems
Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）
本文提出一种基于投影的方法，训练动力系统的精确保守物理信息神经网络与深度算子网络，将候选解映射至不变流形，在多个现实问题中表现远优于非保守方法。
2023-11-23 cs.LG cs.NA math.NA
Numerical analysis of physics-informed neural networks and related models in physics-informed machine learning
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Seminar for Applied Mathematics（应用数学研讨会）；ETH AI Center（苏黎世联邦理工学院人工智能中心）
本文系统综述了物理信息神经网络及其相关模型在偏微分方程数值模拟中的误差分析理论，统一分析逼近、泛化与训练误差，并指出训练误差是影响整体性能的关键瓶颈。
2024-01-30 cs.LG cs.NA math.NA
Physics Informed Neural Networks for Nonlinear Delay Differential Equations
University of Waterloo（滑铁卢大学）；Dr B. R. Ambedkar National Institute of Technology Jalandhar（贾朗达尔 B.R. 安贝卡尔国立理工学院）
提出一种结合可微历史开关、试验解公式和分段配置策略的物理信息神经网络框架，用于求解一般一阶时滞微分方程，实现可扩展且物理一致的近似解。
2026-07-02 cs.NA math.NA
A hybrid physics-informed neural network for nonlinear partial differential equation
近年来发展起来的基于物理知识的机器学习在求解非线性偏微分方程（PDE）方面取得了很大的进展，但是它可能无法对具有间断解的PDE提供合理的近似。在本文中，我们专注于离散时间物理信息神经网络（PINN），并提出了一个混合PINN计划的非线性偏微分方程。在该方法中，通过引入不连续性指标将局部解结构分为光滑和非光滑尺度，然后采用自动微分技术求解光滑尺度，并采用改进的加权本质不振荡（WENO）格式捕捉不连续性.通过粘性和非粘性Burgers方程对该方法进行了测试，结果表明，与原离散时间PINN方法相比，该混合方法即使在较大的时间步长下也能更好地逼近间断解.
2021-12-03 cs.NA math.NA
The modified Physics-Informed Hybrid Parallel Kolmogorov--Arnold and Multilayer Perceptron Architecture with domain decomposition
School of Mathematics, Statistics and Mechanics, Beijing University of Technology（北京工业大学数学、统计与力学学院）
提出改进的混合并行KAN-MLP物理信息神经网络，通过可训练权重优化凸组合以捕获多频成分，并采用重叠区域分解降低全局优化难度，在求解高频多尺度问题时降低训练成本并提高计算效率。
2026-06-12 cs.NA math.NA
Is $L^2$ Physics-Informed Loss Always Suitable for Training Physics-Informed Neural Network?
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Zhejiang Lab（之江实验室）；Peking University（北京大学）
物理信息神经网络（PINN）方法是使用深度学习求解偏微分方程的一种新的有前途的方法。$L^2$物理信息丢失是训练物理信息神经网络的事实标准。在本文中，我们通过研究损失函数和学习解决方案的近似质量之间的关系来挑战这种常见的做法。特别地，我们利用偏微分方程文献中的稳定性概念来研究学习解在损失接近零时的渐近行为。利用这一概念，我们研究了最优控制中一类重要的高维非线性偏微分方程--Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，证明了对于一般的$L^p$ Physics-Informed Loss，只有当$p$足够大时，一类HJB方程才是稳定的.因此，常用的$L^2$损失不适合在这些方程上训练PINN，而$L^{\infty}$损失是更好的选择。基于理论上的见解，我们开发了一种新的PINN训练算法，以最大限度地减少HJB方程的$L^{\infty}$损失，这与对抗训练的精神相似。通过实验验证了该算法的有效性。我们的代码发布在https://github.com/LithiumDA/L_inf-PINN。
2022-12-30 cs.LG cs.NA math.NA
Estimates on the generalization error of Physics Informed Neural Networks (PINNs) for approximating PDEs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
针对 PINNs 求解 PDE 正问题，本文建立抽象框架并利用 PDE 稳定性，给出以训练误差和样本数表示的严格泛化误差上界，且通过非线性 PDE 示例与数值实验验证。
2023-12-06 cs.LG cs.NA math.AP
Helicity-conservative Physics-informed Neural Network Model for Navier-Stokes Equations
本文提出一种基于强形式PDE的螺旋度守恒物理信息神经网络模型，通过设计合适的损失函数实现螺旋度守恒，并与有限元方法比较，证明强形式PDE更适合守恒问题。
2024-04-03 cs.NA math.NA physics.comp-ph
An extended physics informed neural network for preliminary analysis of parametric optimal control problems
SISSA（的里雅斯特国际高等研究院）
本文提出一种扩展的物理信息神经网络方法，通过将物理信息同时融入损失函数、增强输入和网络架构，实现参数化偏微分方程及最优控制问题的快速准确模拟。
2023-06-13 cs.LG cs.NA math.NA
Meshfree Variational Physics Informed Neural Networks (MF-VPINN): an adaptive training strategy
本文提出一种无需全域三角剖分的无网格变分物理信息神经网络，利用后验误差指示器自适应添加测试函数，并比较四种训练策略，数值结果显示其精度优于准均匀网格上的变分物理信息神经网络。
2024-09-19 cs.NA math.NA math.OC
Trainable Spline Representations for Physics-Informed Learning
SISSA（国际高等研究院）；FAST Computing Srl（快速计算公司）
研究提出物理信息样条（PI - 样条）架构用于物理信息学习，通过张量积B - 样条展开对未知场参数化，保留相关训练范式并具多种优势。在多基准问题测试中与标准框架对比，结果显示其在特定场景下是有竞争力且稳定的替代方案。
2026-07-20 cs.LG cs.NA math.NA
What do physics-informed DeepONets learn? Understanding and improving training for scientific computing applications
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
本研究通过评估基函数普适性与谱方法模型降阶潜力，明确物理信息DeepONets的学习内容，提出迁移学习方法改进其在同PDE参数间及不同相关PDE间的训练，实现误差显著降低与基函数有效性提升。
2024-11-27 cs.LG cs.NA math.NA
Domain decomposition methods with Physics-informed neural networks for elliptic equations on manifolds
Nanjing Normal University（南京师范大学）；Nanjing University（南京大学）
提出用于紧致黎曼流形上椭圆方程的数值区域分解方法，结合流形的DDM技术与神经网络在高维优势，通过数值实验验证
2026-07-07 cs.NA math.DG math.NA
A Physics-Informed Neural Network Framework For Partial Differential Equations on 3D Surfaces: Time-Dependent Problems
University of Nevada, Las Vegas（内华达大学拉斯维加斯分校）；University of Arkansas（阿肯色大学）；Lehigh University（里海大学）
在本文中，我们展示了一个物理信息的神经网络求解器的时间依赖表面偏微分方程。与传统的数值求解器不同，该方法不需要在曲面上扩展偏微分方程和网格。我们显示了一个简化的表面微分算子的先验估计，使PINN的损失值将是一个指标的表面偏微分方程的残留物。数值实验验证了算法的有效性。
2021-03-19 cs.LG cs.NA math.NA
Kernel-based Operator Learning: Error Analysis, Budget Allocation, and a Physics-Informed Extension
University of Bayreuth（拜罗伊特大学）
研究两阶段采样框架下基于核的算子学习，通过耦合误差分析得出预算分配条件及缩放定律，还引入物理信息扩展，通过惩罚偏微分方程残差增强在线重构步骤，数值实验验证了理论及该策略的有效性。
2026-07-08 cs.LG cs.NA math.NA
Physics-informed neural networks (PINNs) for numerical model error approximation and superresolution
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；School of Civil and Environmental Engineering（土木与环境工程学院）
本文提出使用 physics-informed neural networks (PINNs) 同时进行数值模型误差近似和超分辨率，实验证明集成物理信息损失函数使神经网络在模型误差预测上优于纯数据驱动方法。
2024-11-14 cs.LG cs.NA math.NA
Exact and approximate error bounds for physics-informed neural networks
John A. Paulson School of Engineering and Applied Sciences, Harvard University（哈佛大学约翰·A·保尔森工程与应用科学学院）；Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学）；Instituto de Tecnologías en Detección y Astropartículas (CNEA, CONICET, UNSAM)（核子技术与天体粒子技术研究所（阿根廷核子能源委员会、阿根廷科学与技术研究委员会、圣马丁国立大学联合机构））；CONICET - Universidad de Buenos Aires, Instituto de Física de Buenos Aires (IFIBA)（阿根廷科学与技术研究委员会-布宜诺斯艾利斯大学，布宜诺斯艾利斯物理研究所）；Universidad de Chile（智利大学）
本文针对非线性一阶常微分方程的物理信息神经网络解，提出仅利用残差信息和方程结构计算误差界的通用表达式及近似与精确界计算方法，验证了其无需数值解即可有效提供误差界。
2024-11-21 cs.LG cs.NA math.NA
Error bounds for Physics Informed Neural Networks in Nonlinear Schrödinger equations placed on unbounded domains
针对无界区域上的次临界非线性薛定谔方程，提出新PINNs方法，证明能量与Strichartz范数误差界，并应用于行波、呼吸子与孤子。
2025-06-26 cs.NA math.AP math.NA
Physics-Informed Graph-Mesh Networks for PDEs: A hybrid approach for complex problems
MICS, CentraleSupélec, Université Paris Saclay（巴黎萨克雷大学中央高等电力学院MICS实验室）；Transvalor S.A.（特兰斯瓦尔公司）
针对物理信息神经网络在复杂几何、泛化及自动微分方面的局限，提出融合图神经网络与有限元数值核的混合PDE求解框架，并通过理论分析、消融实验及二三维复杂几何测试验证其泛化能力。
2024-09-25 cs.LG cs.NA math.NA
Certified machine learning: A posteriori error estimation for physics-informed neural networks
Stuttgart Center for Simulation Science（斯图加特模拟科学中心）；University of Stuttgart（斯图加特大学）
针对物理信息神经网络（PINN）的可靠性问题，本文在常微分方程设定下推导出无需真实解先验知识、可用于训练外输入的严格预测误差后验上界，并通过两个学术问题验证其认证与控制应用价值。
2022-08-02 cs.LG cs.NA math.NA
Estimates on the generalization error of Physics Informed Neural Networks (PINNs) for approximating a class of inverse problems for PDEs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
针对PDE数据同化与唯一延拓反问题，论文建立抽象框架并利用条件稳定性证明PINN泛化误差估计，辅以四类线性PDE示例和数值实验验证。
2023-12-06 cs.LG cs.NA math-ph
Hyper-parameter tuning of physics-informed neural networks: Application to Helmholtz problems
Universidad Adolfo Ibáñez（阿道夫·伊瓦涅斯大学）；Data Observatory Foundation（数据观测站基金会）；Center of Applied Ecology and Sustainability (CAPES)（应用生态与可持续性中心（CAPES））
我们考虑物理信息神经网络（PINN）[Raissi等人，J.~ Comput.物理278（2019）686-707]的前物理问题。为了找到最佳的PINNs配置，我们介绍了一个超参数最优化（HPO）的过程，通过高斯过程为基础的贝叶斯优化。将HPO方法应用于有界域上的Helmholtz方程，并进行了深入的研究，重点研究了：（i）性能，（ii）配置点密度$r$和（iii）频率$κ$，证实了该方法的适用性和必要性。数值实验进行了二维和三维，包括比较有限元法。
2023-01-30 cs.AI cs.NA math.NA
Physics-informed neural networks for Timoshenko system with Thermoelasticity
本文针对结合热弹性与第二声效应的Timoshenko系统，采用PINNs框架推导近似解，发现其能准确捕捉取决于稳定性数$χ$的离散能量渐近行为，并克服了传统数值方法的主要困难。
2024-09-24 cs.NA math.AP math.NA
High Precision Differentiation Techniques for Data-Driven Solution of Nonlinear PDEs by Physics-Informed Neural Networks
University of Calabria（卡拉布里亚大学）
本文考虑了具有给定初始条件的含时偏微分方程。提出了未知解关于时间变量的新的微分技术。结果表明，所提出的技术允许同时生成准确的高阶导数的一组空间点。然后，计算出的导数可以以不同的方式用于数据驱动的解决方案。在Tensorflow背景框架下，通过Python中的著名DeepXDE软件解决方案，针对三个现实生活中的偏微分方程：Burgers方程，Allen-Cahn方程和Schrodinger方程，提出了物理信息神经网络的应用。
2022-10-21 cs.LG cs.NA math.NA
Pointwise Error Estimates for Numerical Physics-Informed Neural Networks
School of Computer Science, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院计算机学院）；CentraleSupélec, Paris Saclay University（巴黎萨克雷大学中央理工-高等电力学院）；Transvalor SA（Transvalor公司）
研究为基于网格的分段线性数值物理感知神经网络开发确定性逐点误差区间，通过兼容场等方法，给出误差估计，还介绍多种变体及误差界推导扩展，通过数值实验评估兼容性和校准。
2026-07-07 cs.NA math-ph math.MP
Physics-informed Neural Networks for Solving Nonlinear Diffusivity and Biot's equations
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；The Danish Hydrocarbon Research and Technology Centre（丹麦碳氢化合物研究与技术中心）
本文介绍了应用物理信息神经网络解决非线性多物理问题的潜力，这是必不可少的许多领域，如生物医学工程，地震预报，地下能源收集。具体来说，我们研究如何扩展的物理信息的神经网络的方法来解决有关的非线性扩散系数和Biot方程的正问题和逆问题。我们探索的准确性的物理信息神经网络与不同的训练样本大小和超参数的选择。各种训练实现之间的随机变化的影响也进行了研究。在相反的情况下，我们还研究了噪声测量的影响。此外，我们解决了选择逆模型的超参数的挑战，并说明了这个挑战是如何链接到超参数选择执行的前一个。
2020-02-19 cs.CE cs.LG cs.NA
Physics Informed Symbolic Networks
TCS Research（塔塔咨询服务公司研究院）
我们引入物理信息符号网络（PISN），它利用物理信息的损失来获得偏微分方程（PDE）系统的符号解。给出了一种描述符号表达式语言的上下文无关文法，提出了用加权和作为连续逼近来选择产生式规则。我们使用这种近似来定义多层符号网络。我们考虑Kovasznay流（Navier-Stokes）和二维粘性Burger方程，以说明PISN能够在各种最先进的进步中提供与PINN相当的性能：多输出和控制方程，域分解，超网络。此外，我们提出了物理知情的神经符号网络（PINSN），它采用多层感知器（MLP）运营商建模符号网络的残留物。观察到PINSN比标准PINN提供2-3个数量级的性能增益。
2022-12-20 cs.AI cs.LG cs.NA
Quasi-Random Physics-informed Neural Networks
Skolkovo Institute of Science and Technology（斯克尔克沃科学与技术研究所）
本文提出准随机物理信息神经网络，通过低分歧序列采样提升高维PDE求解效率，实验显示其优于传统PINNs和自适应采样方法。
2025-07-10 cs.AI cs.LG cs.NA
Error Analysis of Physics-Informed Neural Networks for Approximating Dynamic PDEs of Second Order in Time
Xiangtan University（湘潭大学）；Northwest University（西北大学）；Purdue University（普渡大学）
研究了一类二阶动力学偏微分方程的物理信息神经网络（PINN）逼近问题，给出了PINN对波动方程、Sine-Gordon方程和线性弹性动力学方程的误差分析.我们的分析表明，前馈神经网络具有两个隐藏层和$\tanh$激活函数，PINN逼近误差的解决方案领域，其时间导数和其梯度场可以有效地限制的训练损失和训练数据点（正交点）的数量。我们的分析进一步提出了新的形式的训练损失函数，其中包含某些残差是至关重要的误差估计，但会缺席的规范PINN损失制定。采用这些新形式的损失函数导致一个变种PINN算法。我们用新的PINN算法对波动方程、Sine-Gordon方程和线性弹性动力学方程进行了大量的数值实验，结果表明该方法能很好地捕获解。
2023-03-22 cs.LG cs.NA math.NA
Error Analysis and Numerical Algorithm for PDE Approximation with Hidden-Layer Concatenated Physics Informed Neural Networks
Xi’an University of Technology（西安理工大学）；Northwest University（西北大学）；Purdue University（普渡大学）
本文提出HLConcPINN方法，结合隐层拼接网络、分块时间推进和物理信息策略逼近抛物型与双曲型偏微分方程，建立误差界并推广了仅限两层和tanh激活的既有理论保证方法。
2024-06-10 cs.LG cs.NA math.NA
Physics-informed features in supervised machine learning
MIDA, Dipartimento di Matematica, Università di Genova（基因瓦大学数学系）
本研究提出物理信息特征方法，利用物理定律和量纲分析构建非线性特征映射，增强模型可解释性，提升回归与分类性能，并支持物理规律发现。
2025-04-23 cs.LG cs.NA math.NA
FB-HyDON: Parameter-Efficient Physics-Informed Operator Learning of Complex PDEs via Hypernetwork and Finite Basis Domain Decomposition
Quantiphi（昆体菲科技）
针对现有神经算子需大量数据、物理信息算子训练复杂且难收敛的问题，提出结合超网络与有限基域分解的FB-HyDON架构，在多个PDE任务上实现性能提升。
2024-09-13 cs.LG cs.NA math.NA
Physics-informed ConvNet: Learning Physical Field from a Shallow Neural Network
Xi'an University of Architecture and Technology（西安建筑科技大学）；Xidian University（西安电子科技大学）
基于大数据的人工智能（AI）支持几乎所有科学和技术的深刻演变。然而，由于不可避免的数据稀缺和噪声，建模和预测多物理系统仍然是一个挑战。通过“教授”领域知识来提高神经网络的泛化能力，并结合物理规律开发新一代模型，已成为机器学习研究的一个很有前途的领域。与“深”的嵌入物理信息的全连接神经网络（PINN）不同，从CNN的角度提出了一种新的浅层物理信息卷积网络（PICN）框架，其中物理场由一个去卷积层和一个卷积层生成.使用预训练的浅卷积层来构造形成物理算子的差场。一个有效的线性插值网络计算的损失函数涉及边界条件和物理约束的不规则的几何域。目前的发展的有效性说明通过一些数值的情况下，涉及非线性物理算子方程的求解（和估计）和恢复的物理信息从噪声观测。PICN在逼近具有多频率分量的物理场方面的潜在优势表明，PICN可能成为物理信息机器学习中的另一种神经网络求解器。
2022-02-07 cs.LG cs.NA math.NA
A Stabilized Physics Informed Neural Networks Method for Wave Equations
本文提出稳定化物理信息神经网络方法（SPINNs），通过用H¹范数替代L²范数处理初边值条件，并结合神经网络学习理论给出非渐近收敛分析，数值实验表明其求解波动方程比经典PINNs更快更准。
2024-03-28 cs.NA math-ph math.MP
