作用于子空间的线性群的关系复杂度
The relational complexity of linear groups acting on subspaces
AI总结：
本文研究线性群作用于子空间时的关系复杂度，精确确定任意域上 PSL 与 PGL 之间群在一维子空间上的值，并推广到有限域半线性群及一般 $m$-空间作用。
摘要：
$\mathrm{Sym}(Ω)$ 的子群 $G$ 的关系复杂度，衡量了 $G$ 在各个 $k$ 下于 $Ω^k$ 上的轨道确定 $G$ 原始作用的方式。已知的关系复杂度精确值很少。本文确定了对于任意域 $\mathbb{F}$，所有介于 $\mathrm{PSL}_{n}(\mathbb{F})$ 与 $\mathrm{PGL}_{n}(\mathbb{F})$ 之间、作用于 $\mathbb{F}^n$ 的一维子空间集合上的群的精确关系复杂度。我们还界定了所有介于 $\mathrm{PSL}_{n}(q)$ 与 $\mathrm{P}Γ\mathrm{L}_{n}(q)$ 之间的群的关系复杂度，并将这些结果推广到 $m \ge 1$ 时在 $m$-空间上的作用。
英文摘要：
The relational complexity of a subgroup $G$ of $\mathrm{Sym}(Ω)$ is a measure of the way in which the orbits of $G$ on $Ω^k$ for various $k$ determine the original action of $G$. Very few precise values of relational complexity are known. This paper determines the exact relational complexity of all groups lying between $\mathrm{PSL}_{n}(\mathbb{F})$ and $\mathrm{PGL}_{n}(\mathbb{F})$, for an arbitrary field $\mathbb{F}$, acting on the set of $1$-dimensional subspaces of $\mathbb{F}^n$. We also bound the relational complexity of all groups lying between $\mathrm{PSL}_{n}(q)$ and $\mathrm{P}Γ\mathrm{L}_{n}(q)$, and generalise these results to the action on $m$-spaces for $m \ge 1$.
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