On the use of Nonlinear Normal Modes for Nonlinear Reduced Order Modelling
在工程的许多领域，非线性数值分析在支持结构的设计和监测方面发挥着越来越重要的作用。虽然越来越多的计算机资源使这种以前禁止的分析成为可能，但某些用例，如不确定性量化和实时高精度模拟，仍然具有计算挑战性。这激发了降阶建模方法的发展，该方法可以减少依赖于机械原理的模拟的计算量。大多数现有的降阶建模技术涉及到线性基地的投影。这种方法对于线性系是很好地建立的，但是当考虑非线性系统时，它们的应用变得更加困难。针对非线性系统的目标计划是可用的，这涉及到使用多个线性约简基或传统基的丰富。然而，这些方法通常限于弱非线性系统。在这项工作中，非线性正常模式（NNM）被证明是一个可能的可逆减少基础的非线性系统。使用机器学习方法从仅输出的数据中提取NNM，并介绍了一种新的基于NNM的降阶建模方案。一个非线性20自由度（DOF）系统的仿真例子证明了该方法。
2020-06-30 cs.NA math.NA
Residual-Driven Lifting Identification for Nonlinear-Manifold Reduced-Order Models of Parametrized Linear PDEs
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
该研究针对参数化线性偏微分方程，提出残差驱动的非线性流形降阶模型提升识别方法，无需高保真快照即可实现，在平流-扩散等问题上精度优于线性子空间，与快照驱动方法精度相当。
2026-07-31 cs.NA math.NA
Nonlinear Reduced DNN Models for State Estimation
在本文中，我们提出了一种数据驱动的状态估计方案，用于生成参数化PDE族的非线性降阶模型，直接提供数据到状态的映射，用深度神经网络表示。一个主要的组成部分是传感器引起的分解的模型兼容的希尔伯特空间逼近问题相关的度量。它在基于缩减基概念的状态估计器的参数背景数据弱框架中扮演类似的角色。大量的数值试验揭示了几种优化策略，以提高鲁棒性和性能的估计。
2022-04-16 cs.NA math.NA
Local Lagrangian reduced-order modeling for Rayleigh-Taylor instability by solution manifold decomposition
Rayleigh-Taylor不稳定性是一种经典的流体动力学不稳定性，在天体物理学、大气科学和气候学、地球物理学、聚变能等科学和工程领域都有着广泛的应用。解析方法不能用来解释瑞利-泰勒不稳定性的长期行为，因此需要对整个问题进行数值模拟。然而，为了准确地捕捉扰动幅度的增长，对于传统的数值方法，空间和时间离散化都需要非常精细，并且长时间模拟可能变得过于昂贵。在本文中，我们提出了有效的降阶模型技术，以加速在可压缩气体动力学的瑞利-泰勒不稳定性的模拟。我们介绍了一个通用的框架分解的解决方案流形，构建时域分区和时间局部降阶模型的建设与不同的阿特伍德数。我们提出了两种实用的方法，即分解分别使用物理时间和穿透距离。数值结果来检查所提出的方法的性能。
2022-01-18 cs.NA math.NA
Neural-Manifold Primal-Dual Model Order Reduction and Hyper-Reduction for Nonlinear Parametric Variational Inequalities
CERMICS, CNRS, ENPC, Institut Polytechnique de Paris（计算数学与控制系统中心，法国国家科学研究中心，国立路桥学校，巴黎理工学院）；IFP Energies nouvelles（法国新能源研究院）
针对计算力学中非线性参数化变分不等式，提出模型降阶框架，通过POD构建降阶模型，引入神经网络增强，用稀疏求积超降阶，在二维障碍和三维摩擦接触问题上验证，大幅降成本且逼近精确。
2026-10-27 cs.NA math.NA
Dynamical reduced basis methods for Hamiltonian systems
我们考虑模型降阶参数化哈密顿系统描述非耗散现象，如波型和输运主导的问题。这种模型的减少的基础方法的发展受到两个主要因素的挑战：丰富的几何结构编码的物理和稳定性的动态和其本地低秩性质。为了解决这些问题，我们提出了一个非线性结构保持模型减少相空间的时间演变。在动力学低秩近似的精神下，约化动力学通过在每个约化状态下将Hamilton向量场辛投影到近似流形的切空间上来获得。先验误差估计建立在简化流形上的全模型解的投影误差方面。对于时间离散化的减少动态，我们采用分裂技术。简化的基础满足一个发展方程上的流形的辛和正交矩形矩阵具有一个维度等于的大小的完整的模型。我们重铸的问题上的切空间的矩阵流形和发展的内在时间积分的基础上李群技术与显式龙格库塔（RK）计划。所得到的方法收敛与RK积分器的顺序和他们的计算复杂性仅线性依赖于完整模型的尺寸，提供的减少流速的评估具有可比的成本。
2021-05-26 cs.NA math.NA
Localized Reduced Basis Approximation of a Nonlinear Finite Volume Battery Model with Resolved Electrode Geometry
University of Muenster（明斯特大学）
本文提出针对空间解析三维锂离子电池模型的局部降阶方法，通过非一致局部逼近空间和局部经验算子插值处理非线性项，验证了方法的可行性。
2016-06-16 cs.NA math.NA
Operator Inference Aware Quadratic Manifolds with Isotropic Reduced Coordinates for Nonintrusive Model Reduction
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学应用数学科学研究所）；Computational Science Center, National Renewable Energy Laboratory（国家可再生能源实验室计算科学中心）
针对传统二次流形仅优化重构误差、忽略下游降阶模型精度的问题，提出兼顾重构误差与降阶模型预测误差的贪心训练方法，可避免非光滑嵌入，在输运和湍流问题上实现最高两个数量级的精度提升。
2025-07-28 cs.LG cs.NA math.DS
Depth separation for reduced deep networks in nonlinear model reduction: Distilling shock waves in nonlinear hyperbolic problems
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗研究所）
经典的降阶模型是一种使用固定基的低秩近似，旨在实现大规模系统的降维。在这项工作中，我们引入了简化的深度网络，这是经典降阶模型的推广，被公式化为深度神经网络。我们证明深度分离的结果表明，减少深网络近似解的参数化双曲型偏微分方程的近似误差$ε$与$\mathcal{O}(|\log(ε)|)$自由度，即使在非线性设置的解决方案表现出冲击波。我们还表明，经典的降阶模型实现指数差的逼近率，通过建立相关的Kolmogorov $N$ -宽度的下界。
2020-07-28 cs.LG cs.NA math.NA
Manifold Learning and Nonlinear Homogenization
我们描述了一个有效的区域分解为基础的非线性多尺度PDE问题的框架。该框架的灵感来自流形学习技术，并利用最近邻所跨越的切空间来压缩局部解流形。我们的框架被应用到一个半线性椭圆型方程与振荡介质和非线性辐射传输方程，在这两种情况下，观察到显着的改善功效。这种新方法不依赖于详细的分析了解的多尺度偏微分方程，如其渐近极限，因此是更通用的一般多尺度问题。
2021-11-08 cs.NA math.AP math.NA
High-dimensional nonlinear approximation by parametric manifolds in Hölder-Nikol'skii spaces of mixed smoothness
研究了混合光滑的单位立方体$\mathbb{I}^d:=[0,1]^d$上Hölder-Nikol'skii空间$H^α_\infty(\mathbb{I}^d)$中函数的高维参数流形的非线性逼近.近似误差以$L_\infty$范数度量。在此背景下，我们显式地构造了非线性逼近方法，并给出了逼近误差的维数依赖估计，其中维数为$d$，维数为$N$，参数流形的计算复杂性度量.对于$d=2$，我们在空间$L_\infty(\mathbb{I}^2)$中导出了$H^α_\infty(\mathbb{I}^2)$的单位球的非连续流形$N$ -宽度的一个新的右渐近阶.在构造逼近方法时，函数的张量积Faber级数分解及其在稀疏网格上截断的特殊表示起着核心作用。
2021-02-08 cs.NA math.FA math.NA
Generalization of the Neville-Aitken Interpolation Algorithm on Grassmann Manifolds : Applications to Reduced Order Model
在参数发展偏微分方程的框架下，给出了Grassmann流形上的插值。Grassmann流形上的插值点是对应于所选参数值的可用解的POD基所张成的子空间。将著名的Neville-Aitken算法推广到Grassmann流形上，通过两点的测地线重心递归地进行插值。通过三个独立的CFD应用程序，即：Von Karman涡脱落街道，盖驱动的空腔与流入和旋转固体引起的流动的性能说明所提出的方法。所得到的数值模拟在结果的精度和时间计算方面都是相关的。
2019-07-05 cs.NA math-ph math.MP
Non-linear manifold ROM with Convolutional Autoencoders and Reduced Over-Collocation method
SISSA（国际高等研究学院）
感兴趣的模型的非仿射参数依赖性，非线性和对流主导的制度可能会导致一个缓慢的Kolmogorov n-宽度衰减，这排除了实现有效的降阶模型的基础上线性子空间近似。在可能的解决方案中，有纯粹的数据驱动方法，利用自动编码器及其变体来学习动力系统的潜在表示，然后用另一种架构及时发展它。尽管它们在标准线性技术失败的许多应用中取得了成功，但必须做更多的工作来提高结果的可解释性，特别是在训练范围之外，而不是在以丰富数据为特征的制度中。更不用说在预测阶段没有利用任何关于模型物理学的知识。为了克服这些缺点，我们实现了Carlberg等人[37]引入的非线性流形方法，通过减少过度搭配和减少解码器的师生培训实现了超约简。我们测试的方法上的二维非线性守恒律和二维浅水模型，并比较得到的结果与一个纯粹的数据驱动的方法，动态演变的时间与长期-短期记忆网络。
2022-03-01 cs.LG cs.NA math.NA
A hyperreduced reduced basis element method for reduced-order modeling of component-based nonlinear systems
本文提出一种超降缩减基单元法，通过逐组件训练构建原型组件库，并利用Brezzi-Rappaz-Raviart定理指导的在线自适应方案选择各组件超降保真度，实现大规模非线性组件系统的高效降阶建模。
2025-01-03 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Model order reduction methods for geometrically nonlinear structures: a review of nonlinear techniques
本文综述了几何非线性结构模型降阶的非线性方法，重点介绍了基于不变流形理论的降阶方法。非线性方法与基于线性的技术的不同之处在于它们使用非线性映射而不是添加新的向量来扩大投影基。不变流形首先被引入到振动理论中的非线性模态（NNM）的背景下，并已初步计算从模态基础，使用图形表示或范式的方法来计算映射和约化动力学。这些发展首先回顾了历史的角度来看，其中的主要应用首先面向结构模型，可以表示感谢偏微分方程（PDE）。然后，它们被替换在更一般的上下文中的参数化的不变流形，允许统一的方法。然后讨论了用有限元法离散结构的具体情况。隐式凝聚，产生到应力流形上的投影，和模态导数，在二次流形的框架中使用，首先进行审查。最后，最近的发展允许直接计算的降阶模型（ROM）依赖于不变流形理论进行了详细说明。应用的例子和扩展的方法来处理进一步的并发症进行审查。最后，突出了开放的问题和未来的方向。
2021-07-11 cs.NA math.DS math.NA
Riemannian stochastic variance reduced gradient on Grassmann manifold
The University of Electro-Communications（电气通信大学）；Tokyo University of Science（东京理科大学）
本文提出了一种在紧凑流形搜索空间中扩展欧几里得随机方差缩减梯度算法的黎曼扩展方法，针对格拉斯曼流形进行研究，解决了多个梯度的平均、加法和减法问题，并在不同步长下分析了算法的收敛性。
2017-04-09 cs.LG cs.NA math.NA
Persistence of invariant manifolds for nonlinear PDEs
本文证明在稳定性与光滑性条件下，非线性PDE半群的不变流形在C1扰动下持续，推广至无限维希尔伯特流形，并应用于Navier-Stokes方程及惯性流形持久性。
1998-07-17 cs.NA math.AP math.DS
