关于多变量形式幂级数的代数闭包
About the algebraic closure of formal power series in several variables
AI总结：
本文研究多变量形式幂级数分式域的代数闭包，在迭代 Puiseux 级数域中给出重构零化多项式空间的算法，并针对单根多项式推导出根系数的闭式公式。
摘要：
设 $K$ 为特征零的域。我们研究形式幂级数环 $K[[x_1,\ldots,x_r]]$（$r\geq 2$）的分式域的代数闭包。更确切地说，我们将后者视为迭代 Puiseux 级数域 $\mathcal{K}_r$ 的一个子域。一方面，给定代数的 $y_0\in \mathcal{K}_r$，我们给出一个算法，重构出所有在任意高阶下零化 $y_0$ 的多项式空间。另一方面，给定一个具有单根的多项式 $P\in K[[x_1,\ldots,x_r]][y]$，我们利用 $P$ 的系数和 $y_0$ 的一个固定初始部分，推导出根 $y_0$ 的系数的闭式公式。
英文摘要：
Let $K$ be a field of characteristic zero. We deal with the algebraic closure of the field of fractions of the ring of formal power series $K[[x_1,\ldots,x_r]]$, $r\geq 2$. More precisely, we view the latter as a subfield of an iterated Puiseux series field $\mathcal{K}_r$. On the one hand, given $y_0\in \mathcal{K}_r$ which is algebraic, we provide an algorithm that reconstructs the space of all polynomials which annihilates $y_0$ up to a certain order (arbitrarily high). On the other hand, given a polynomial $P\in K[[x_1,\ldots,x_r]][y]$ with simple roots, we derive a closed form formula for the coefficients of a root $y_0$ in terms of the coefficients of $P$ and a fixed initial part of $y_0$.
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