黎曼ς函数的一个函数性质
One functional property of the $ς$-function of Riemann
AI总结：
本文通过研究由素数计数函数与对数积分之差构造的函数θ(z)的全纯延拓性质，证明其全纯区域与黎曼ς函数无零点区域的关系，并指出若θ(z)在Re z>1/2全纯，则黎曼假设成立。
摘要：
我们证明：若函数 $θ\left( z \right)=\int\limits_{1}^{\infty }{\frac{π\left( t \right)\\,-Li\left( t \right)}{{{t}^{z+1}}}dt}$ 在 $\left\{ \operatorname{Re}z>1 \right\}$ 中全纯，并可全纯延拓到某个单连通区域 $G\subset \left\{ \operatorname{Re}z>\frac{1}{2} \right\}$，则黎曼 $ς\left( z \right)$ 函数在该区域内无零点，即 $ς\left( z \right)\ne 0\\,\\,\\,\forall z\in G.$ 由此推出：若函数 $θ\left( z \right)$ 在 $\operatorname{Re}z>\frac{1}{2}$ 中全纯，则黎曼假设有肯定解。
英文摘要：
We prove that if a function $θ\left( z \right)=\int\limits_{1}^{\infty }{\frac{π\left( t \right)\,-Li\left( t \right)}{{{t}^{z+1}}}dt}\,,$ which is holomorphic in $\left\{ \operatorname{Re}z>1 \right\}$ holomorphically extends to some simply connected domain $G\subset \left\{ \operatorname{Re}z>\frac{1}{2} \right\}$, then the $ς\left( z \right)-$function of Riemann has no zeros in this domain, $ς\left( z \right)\ne 0\,\,\,\forall z\in G.$ As a consequence, it turns out that if the function $θ\left( z \right)$is holomorphic in $\operatorname{Re}z>\frac{1}{2},$ then the Riemann hypothesis has a positive solution.
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