Hochster-Eagon 型定理关于 Serre 的 $(S_n)$ 条件
Hochster-Eagon type theorem for Serre's $(S_n)$ condition
AI总结：
本文推广了Hochster-Eagon定理，证明了在纯同态和纤维环Artinian条件下，Serre的$(S_n)$条件可由Noetherian环B传递至A，并应用于有限群作用下的不变环。
摘要：
设 $(A,\mathfrak m)\rightarrow (B,\mathfrak n)$ 是 Noetherian 交换环之间的纯同态。若 $B/\mathfrak m B$ 是 Artinian 环，则 $\dim A=\dim B$ 且 $\mathop{\mathrm{depth}} A\geq \mathop{\mathrm{depth}} B$。利用此版 Hochster-Eagon 定理，我们证明以下结论：设 $A\rightarrow B$ 是 Noetherian 交换环间的纯同态。假设对每个 $\mathfrak p\in\mathop{\mathrm{Spec}} A$，纤维环 $\kappa(\mathfrak p)\otimes_A B$ 均为 Artinian 环，且 $B$ 满足 Serre 的 $(S_n)$ 条件，则 $A$ 亦满足 Serre 的 $(S_n)$ 条件。特别地，若有限群 $G$ 作用于 $B$ 且其阶 $|G|$ 在 $B$ 中可逆，同时 $B$ 为满足 $(S_n)$ 条件的 Noetherian 环，则不变环 $A=B^G$ 亦满足 $(S_n)$ 条件。
英文摘要：
Let $(A,\mathfrak m)\rightarrow (B,\mathfrak n)$ be a pure homomorphism between Noetherian commutative rings. If $B/\mathfrak m B$ is an Artinian ring, then we have $\dim A=\dim B$ and $\mathop{\mathrm{depth}} A\geq \mathop{\mathrm{depth}} B$. Using this version of Hochster-Eagon theorem, we prove the following: Let $A\rightarrow B$ be a pure homomorphism between Noetherian commutative rings. Assume that the fiber ring $κ(\mathfrak p)\otimes_A B$ is Artinian for each $\mathfrak p\in\mathop{\mathrm{Spec}} A$, and $B$ satisfies Serre's $(S_n)$ condition. Then $A$ also satisfies Serre's $(S_n)$ condition. In particular, if a finite group $G$ acts on $B$ and the order $|G|$ of $G$ is invertible in $B$, and if $B$ is Noetherian with the $(S_n)$ condition, then the ring of invariants $A=B^G$ also satisfies the $(S_n)$ condition.
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