A Maple One-Line Proof of George Andrews's Formula that Says that the Number of Triangles with Integer Sides Whose Perimeter is n Equals {$n^2/12$} -[n/4][(n+2)/4]
还有一个例子，“物理”（即只检查许多特殊情况）给出了一个完全严格的证明，尽管你的“证明入门”教授告诉你！
2012-02-06 math.CO
Acyclic and unicyclic graphs whose minimum skew rank is equal to the minimum skew rank of a diametrical path
实数域上的单图G的最小斜秩是指当{i，j}是G中的边时，（i，j）-元（i不等于j）不为零，否则为零的所有实斜对称矩阵的最小可能秩.本文给出了一个计算连通单圈图的最小斜秩的算法，并对所有连通无圈图和连通单圈图G进行了分类，使G的最小斜秩等于P的最小斜秩，其中P是G的一条直径路。
2011-07-12 math.CO
All Connected Graphs with Maximum Degree at Most 3 whose Energies are Equal to the Number of Vertices
图$G$的能量$E(G)$被定义为其特征值的绝对值之和。设$S_2$是2阶星（或$K_2$），$Q$是由$S_2$通过将两条悬垂边附加到$S_2$的每个端顶点而得到的图。Majstorović等人证明了$S_2$、$Q$和完全二部图$K_{2,2}$、$K_{3,3}$是仅有的最大度为$Δ\leq 3$且能量等于顶点数的4连通图.本文致力于对这一猜想给出一个证实性的证明。
2009-07-08 math.CO
Hermitian adjacency matrix of the second kind for mixed graphs
本文通过Mohar \cite{0001}引入的第二类Hermitian邻接矩阵{（简称$N$ -矩阵）}，对混合图的谱进行了广泛的研究。这个矩阵由混合图的顶点索引，对应于从$u$到$v$的弧的条目等于单位的六次方根$ω=\frac{1+{\bf i}\sqrt{3}}{2}$（其对称条目是$\barω=\frac{1-{\bf i}\sqrt{3}}{2}$）;对应于无向边的条目等于1，否则等于0。本文的主要结果包括：给出了混合图与其基础图共享其$N$ -矩阵的谱的{等价}条件。建立了谱半径的一个精确上界，并确定了相应的极值混合图。被称为双向和三路开关的操作进行了讨论-它们产生一些共谱混合图。我们抽取了所有其$N$ -矩阵秩为$2$的混合图（分别为. 3）。进一步证明了{如果$M_G$是一个秩为$2,$的连通混合图，则$M_G$与它同谱的每个连通混合图都是交换等价的}.然而，这并不适用于一些连通的秩$3$的混合图。我们确定所有的混合图，其特征值的$N$ -矩阵位于范围$(-α,\, α)$为$α\in\left\{\sqrt{2},\,\sqrt{3},\,2\right\}$。
2022-01-05 math.CO
Mixed-Radix Nim
我们提出了外卖游戏，其Sprague-Grundy函数由混合基$β$中堆大小的Nim和给出。设$Δ_β$为此类博弈的集合。给出了$Δ_β$的极小值存在的充要条件，以及$Δ_β$的极大值的递归构造.
2019-01-08 math.CO
Self-converse mixed graphs are extremely rare
关于通常的邻接矩阵，一个混合图与它的逆是共谱的。因此，很容易看出，特征值唯一出现的混合图，直到同构，必须同构于它的逆。因此，人们自然会问，这是否是一种普遍现象。本文从理论上证明了自逆混合图的分数趋于零。
2021-11-05 math.CO
The Hoffman program for mixed graphs
本文研究混合图Hermitian邻接矩阵谱半径的极限点，确定了所有不含负4-圈且谱半径不超过$\sqrt{2+\sqrt{5}}$的混合图，并给出了全部极限点。
2025-08-05 math.CO
Real matrices whose columns have equal modulus coordinates
我们研究$m \times n$矩阵的列的形式是\[\{(a_{1j},\ldots, a_{nj}): \quad a_{1j} = λ_j,\ a_{ij} = \pmλ_j\ , \ λ_j >0 ,\ j=1,2,\ldots,n\}.\]我们明确地构造所有的$a = (a_1,\ldots, a_{\frac{m(m- 1)}{2}}) \in \mathbb{R}^{\frac{m(m-1)}{2}}$矩阵的上述形式，其行有成对点积等于$a$。使用Hardamard矩阵构造西尔维斯特我们分类所有矩阵的上述形式的行有成对点积等于$a$。我们也用我们的结果来重新制定阿达玛猜想。
2023-03-22 math.CO math.FA
A note on bipartite graphs whose [1, k]-domination number equal to their number of vertices
图$G$的顶点集$V$的子集$D$称为$[1,k]$ -控制集，如果来自$V-D$的每个顶点至少与$D$的一个顶点相邻且至多与$k$的顶点相邻.顶点数最少的$[1,k]$ -控制集称为$γ_{[1,k]}$ -集，其顶点数是$G$的$[1,k]$ -控制数$γ_{[1,k]}(G)$.在这个简短的说明中，我们表明，决策问题是否$γ_{[1,k]}(G)=n$是$NP$ -硬的问题，即使是二部图。对于任意整数$n\geq (k+1)(2k+3)$，给出了一个$n$阶满足$γ_{[1,k]}(G)=n$的二部图$G$的简单构造.
2019-12-09 math.CO
Graphs with few trivial characteristic ideals
给出了至多具有三个平凡特征理想的图的一个刻划。这意味着临界群最多有3个不变因子等于1的正则图的完全刻画和Smith群最多有3个不变因子等于1的图的刻画。给出了Smith群至多有3个不变因子等于1的图的一种可供选择的简单刻画方法，以及Smith群至多有4个不变因子等于1的图族的最小禁止图列表.
2020-04-01 math.CO
Equitable Partitions into Matchings and Coverings in Mixed Graphs
匹配和覆盖是图论中的中心问题。这两者之间的密切关系是许多基本算法和多面体结果的关键。对于混合图，提出了匹配森林的概念，作为匹配和分支的一般推广。本文提出了混合边覆盖的概念，并将匹配覆盖框架推广到混合图。虽然算法和多面体的结果扩展相当容易，分区问题是相当困难的混合情况下。我们解决的问题，划分一个混合图匹配森林或混合边覆盖，使所有部分是平等的一些标准，如边/弧数或总大小。此外，我们提供了最好的多准则均衡。
2019-10-16 cs.DM math.CO math.OC
A Family of Dense Mixed Graphs of Diameter $2$
如果一个混合图的阶数接近Moore界，则称它是稠密的;如果没有一个混合图具有相同的参数和更大的阶数，则称它是最优的。我们提出了一个结构，提供了稠密的混合图的无向度$q$，有向度$\frac{q-1}{2}$和顺序$2q^2$，为$q$是一个奇素数权力。由于具有这些参数的混合图的Moore界等于$\frac{9q^2-4q+3}{4}$，因此这些混合图的缺陷是$({\frac{q-2}{2}})^2-\frac{1}{4}$。特别地，我们得到了一个已知的阶为$18$、无向度为$3$和有向度为$1$的混合Moore图（称为Bosák图）和一个新的阶为$50$、无向度为$5$和有向度为$2$的混合图，并证明了它是最优的.
2015-11-19 math.CO
Spectral characterization of mixed extensions of small graphs
图$G$的一个混合扩张是由图$G$通过将图$G$的每个顶点替换为团或角而得到的图$H$，其中来自图$G$的不同顶点的图$H$的顶点相邻当且仅当原始顶点在$G$中相邻.如果$G$的顶点不超过三个，则$H$的邻接本征值除了最多三个之外都等于$0$或$-1$。本文考虑了图的逆问题，并确定了至多有三个特征值不等于$0$和$-1$的图的类$\cal G$.忽略孤立点，我们发现$\cal G$是由至多三个顶点上的图的所有混合扩张以及路径$P_4$和$P_5$的某些特定混合扩张组成的.
2018-03-01 math.CO
Total mixed domination in graphs
对于一个图$G=(V,E)$，如果$V \cup E$的每个元素与$S$的每个元素相邻或关联，并且$G$的全混合控制数$γ_{tm}(G)$是$G$的全混合控制集的最小基数，则称一个子集$ S\subseteq V \cup E$为$G$的全混合控制集.本文首次研究了连通图的全混合控制数，给出了图及其线图的阶数、全控制数等参数的紧界.然后讨论了图的全混合控制数与直径的关系。我们的下一步工作是研究树中的这个数。证明了一个图的全混合控制数等于由该图得到的图的全控制数。最后给出了一些特殊图的全混合控制数。
2018-10-20 math.CO
On Metric Dimensions of Hypercubes
公制（Resp.）图$G$的边度量或混合度量）维数，是唯一识别所有不同顶点对（分别为边，或顶点和边）。本文给出了关于超立方体图的两个意想不到的结果。首先，我们证明了对于每个整数$d$，$Q_d$的度量维数和边度量维数只相差一个.具体地，如果$d$是奇数，则$Q_d$的度量和边缘度量维度相等。其次，我们证明了超立方体$Q_d$的度量维数和混合度量维数对于每个$d \ge 3$都是相等的。最后，我们证明了当$d$足够大时，$Q_d$的这三种度量维数是相等的.
2021-02-22 math.CO
More on minors of Hermitian (quasi-)Laplacian matrix of the second kind for mixed graphs
混合图$M_{G}$是由无向单图$G$通过给$G$的某些边定向而得到的图，其中$G$通常被称为$M_{G}$的底层图。本文引入了第二类$M_{G}$的两类关联矩阵，并讨论了无根混合树和单圈混合图的这两类矩阵的行列式。应用这些结果，我们刻画了第二类$M_{G}$的Hermitian（拟）Laplacian矩阵的各种子式的显式表达式.给出了第二类Hermitian（拟）Laplacian矩阵的所有余子式的绝对值等于基础图$G$的生成树个数的两个充分条件.
2022-07-14 math.CO
On Weak Chromatic Polynomials of Mixed Graphs
一个\emph{mixed graph}是一个有向边（称为弧）和无向边的图。如果来自${1,2,...,k}$的颜色被分配给每个顶点，使得如果$uv$是边，则$u$和$v$具有不同的颜色，并且$u$的颜色小于或等于（分别为），则顶点的$k$ -着色是正确的。严格小于）$v$的颜色，如果$uv$是弧。弱者（Resp.）一个混合图的（强）色多项式计算了正确$k$ -染色的个数。利用偏序集的序多项式，建立了弱色多项式的一个互反定理，给出了在负整数上求值的解释。
2013-06-17 math.CO
Mixed metric dimension of graphs
设$G=(V,E)$是一个连通图.如果$d_G(w,x)\ne d_G(w,y)$，则顶点$w\in V$区分两个元素（顶点或边）$x,y\in E\cup V$。连通图$G$中的顶点集$S$是$G$的混合度量生成元，如果$G$的每两个元素（顶点或边）都能被$S$的某个顶点区别. $G$的混合度量生成器的最小基数称为混合度量维数，用$\mathrm{mdim}(G)$表示。本文研究了混合度量生成元的结构，刻画了混合度量维数等于平凡下界和平凡上界的图。我们也给出了一些图族的混合度量维数的结果，并给出了图的围长的一个上界。最后，我们证明了在一般情况下，确定图的混合度量维数的问题是NP-困难的。
2016-11-25 math.CO
On counterexamples to a conjecture of Wills and Ehrhart polynomials whose roots have equal real parts
作为闵可夫斯基凸体定理的一个离散模拟，威尔斯证明了一个中心对称格多面体的埃赫哈特系数与边长为2的立方体的埃赫哈特系数最大化。我们讨论了这个猜想的几个反例，并在积极的一面，我们确定了一个家庭的格多面体，满足要求的不平等。这个家族与最近引入的一类$l$ -自反多面体有关。
2013-09-03 math.CO math.MG
Characterizing finite nilpotent groups associated with a graph theoretic equality
群的幂图是指以群元素为顶点，且其中一个顶点是另一个顶点的正幂时两个顶点相邻的单图。刻画了幂图具有等点连通度和最小度的有限幂零群。
2021-05-27 math.CO math.GR
Regular character-graphs whose eigenvalues are greater than or equal to -2
设$G$是有限群，$\mathrm{Irr}(G)$是$G$的所有复不可约特征标的集合.与$G$相关联的字符图$Δ(G)$是一个图，其顶点集是划分$\mathrm{Irr}(G)$中某些字符的度的素数集，并且对于某些$χ\in\mathrm{Irr}(G)$，如果乘积$pq$划分$χ(1)$，则两个不同的素数$p$和$q$在$Δ(G)$中相邻。Tong-viet提出了一个猜想：如果$Δ(G)$对某个整数$k\geqslant 2$是$k$ -正则的，则$Δ(G)$是完全图或鸡尾酒会图.本文证明了他的猜想对特征值在区间$[-2, \infty )$内的正则特征标图都成立。
2021-09-24 math.CO math.GR
