关于加权二项式和 $(1+a)^{-r}\sum_{i=0}^{r}\binom{m}{i}a^{i}$ 的最大值
On the maximum of the weighted binomial sum $(1+a)^{-r}\sum_{i=0}^{r}\binom{m}{i}a^{i}$
AI总结：
本文推广了Glasby和Paseman关于二项式和序列单峰性的结果，研究了加权序列的最大值位置及渐近行为，并引入相关的离散概率分布族。
摘要：
最近，Glasby 和 Paseman 考虑了以下二项式和序列 $\{2^{-r}\sum_{i=0}^{r}\binom{m}{i}\}_{r=0}^{m}$，并证明了该序列是单峰的，且在 $m\in\mathbb{Z}_{\geq0}\setminus\{0,3,6,9,12\}$ 时于 $r=\lfloor\frac{m}{3}\rfloor+1$ 处取得最大值。他们还分析了当 $m$ 趋于无穷时序列最大值的渐近行为。在本工作中，我们通过考虑整数 $a \geq 1$ 的序列 $\{(1+a)^{-r}\sum_{i=0}^{r}\binom{m}{i}a^{i}\}_{r=0}^{m}$ 来推广他们的结果。我们还考虑了由该序列自然产生的一族离散概率分布。
英文摘要：
Recently, Glasby and Paseman considered the following sequence of binomial sums $\{2^{-r}\sum_{i=0}^{r}\binom{m}{i}\}_{r=0}^{m}$ and showed that this sequence is unimodal and attains its maximum value at $r=\lfloor\frac{m}{3}\rfloor+1$ for $m\in\mathbb{Z}_{\geq0}\setminus\{0,3,6,9,12\}$. They also analyzed the asymptotic behavior of the maximum value of the sequence as $m$ approaches infinity. In the present work, we generalize their results by considering the sequence $\{(1+a)^{-r}\sum_{i=0}^{r}\binom{m}{i}a^{i}\}_{r=0}^{m}$ for integers $a \geq 1$. We also consider a family of discrete probability distributions that naturally arises from this sequence.
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