Infinite-time concentration in Aggregation--Diffusion equations with a given potential
通常，聚集-扩散由抛物型方程建模，该方程将线性或非线性扩散与福克-普朗克对流项相结合。在非常一般的适当的假设下，我们证明了演化过程的径向解在时间上渐近收敛到代表两种效应之间平衡的稳态。我们的抛物系统是一个能量泛函的梯度流，事实上，我们表明，定态是一个放松的能量的最小值。在这里，我们研究径向解的聚集扩散模型，结合非线性快速扩散与对流项驱动的梯度的潜力，无论是在球和整个空间。我们表明，取决于快速扩散的指数和潜在的，稳定状态的总和给出了一个明确的可积函数，加上狄拉克三角洲在原点包含其余的初始数据的质量。此外，它是松弛能量的全局极小。这种分裂现象是无限时间爆破的一个罕见例子。
2021-10-26 math.AP
On the existence of solutions for a nonlinear stochastic partial differential equation arising as a model of phytoplankton aggregation
在本文中，我们感兴趣的分析研究的非线性随机偏微分方程（SPDE）作为一个模型的浮游植物聚集。这SPDE包括在一个扩散方程的趋化性负责的浮游植物细胞的自吸引力和乘法分支噪声。温和的解决方案的存在性是建立通过弱和紧的论点。
2015-07-24 math.AP
Ground states and phase transitions for an aggregation model with fast diffusion on sphere
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）；National Tsing Hua University（国立清华大学）
本文研究了球面上具有快速扩散的聚集体模型的地面状态与相变，探讨了非局部相互作用强度对相变的影响。
2025-12-20 math.AP
Dynamics of one fold symmetric patches for the aggregation equation and collapse to singular measure
研究了与牛顿位势相联系的二维凝聚方程的一重对称斑的动力学性质。我们重新制定了一个合适的图模型，并证明了亚临界和临界空间中的局部适定性结果。全局存在性得到了只有小的初始数据使用弱阻尼性能隐藏在速度项。这允许分析在爆破时间附近的聚集斑块的集中现象。特别是，我们证明了补丁崩溃的不相交段的集合，我们提供了一个描述的奇异性措施，通过仔细研究的渐近行为的图形。
2018-03-21 math.AP
Fast Diffusion leads to partial mass concentration in Keller-Segel type stationary solutions
我们证明了具有齐次吸引核的聚集-扩散方程的定态解在快扩散区可以发生部分质量集中。更准确地说，我们证明了自由能承认径向全球极小的概率测度，它可能有一部分集中在狄拉克三角洲在一个给定的点的质量。在四次相互作用势的情况下，我们发现的浓度发生在空间维度$N\geq6$的扩散指数的确切范围。然后，我们提供的数值计算表明，在所有尺寸$N\geq3$的质量浓度的发生，均匀的相互作用势与更高的权力。
2021-12-20 math.AP
Asymptotic Behavior for Critical Patlak-Keller-Segel model and an Repulsive-Attractive Aggregation Equation
本文研究了一类扩散-聚集方程的长时间渐近性态。除了3.3节中的结果外，大多数结果都是关于径向解的。本文所用的主要工具是溶液质量浓度的极大值原理型论证和能量法。对于具有临界幂$m=2-2/d$的Patlak-Keller-Segel问题，我们证明了所有具有临界质量的径向解都收敛到一族定态解，而所有具有次临界质量的径向解都代数快速地收敛到一个自相似耗散解.对于非径向的解决方案，我们得到收敛到自相似耗散的解决方案时，质量足够小。我们还将质量比较方法应用到另一个具有排斥-吸引相互作用的聚集模型中，证明了径向解指数快速收敛到稳态解。
2011-12-20 math.AP
Concentration solutions to singularly prescribed Gaussian and geodesic curvatures problem
考虑具有指数Neumann边界条件的Liouville型方程：$$ -Δ\tilde u = \varepsilon^2 K(x) e^{2\tilde u}, \quad x\in D, \qquad \frac{\partial \tilde u}{\partial n} + 1 = \varepsilon κ(x) e^{\tilde u}, \quad x\in\partial D, $$其中$D\subset \mathbb R^2$是单位圆盘，$\varepsilon^2 K(x)$和$\varepsilon κ(x)$分别代表边界的预定高斯曲率和预定测地曲率.证明了当$κ(x) + \sqrt{K(x)+κ(x)^2}$（$x\in\partial D$）具有严格局部极值点时，方程集中解的存在性，这是指数Neumann边值问题的一个全新结果.
2020-12-09 math.AP
An aggregation model of cockroaches with fast-or-slow motion dichotomy
提出了一个描述蟑螂社会行为的数学模型，即反应扩散系统。在我们的模型中的一个重要的新方面是，由于过度拥挤效应的分散行为被考虑{作为一个对应的通常研究的聚集}。这种考虑导致了一个有趣的新现象，这在文献中还没有观察到。也就是说，由于聚集向信息素浓度较高的区域和分散避免拥挤的区域之间的竞争，蟑螂聚集更多的信息素的过渡区。此外，我们还考虑了快速反应极限，其中活性和非活性亚群之间的切换率趋于无穷大。利用改进的对偶和能量方法，结合热算子的正则化，证明了反应扩散方程组的弱解收敛于反应交叉扩散方程组的弱解.
2021-11-15 math.AP
On Ambrosetti-Malchiodi-Ni conjecture on two-dimensional smooth bounded domains: clustering concentration layers
我们考虑问题$$ \varepsilon^2 {\mathrm {div}}\big( \nabla_{{\mathfrak a}(y)} u\big)- V(y)u+u^p\, =\, 0, \quad u>0 \quad\mbox{in }Ω, \qquad \nabla_{{\mathfrak a}(y)} u\cdot ν\, =\, 0\quad\mbox{on } \partial Ω, $$的解在曲线上的聚类集中，其中$Ω$是$\mathbb R^2$中具有光滑边界的有界区域，指数$p$大于$1$，$\varepsilon>0$是小参数，$V$是$\barΩ$上的一致正光滑势，$ν$表示$\partial Ω$的外法线.对于$\barΩ$上的两个正光滑函数${\mathfrak a}_1(y), {\mathfrak a}_2(y)$，算子$\nabla_{{\mathfrak a}(y)}$由$$ \nabla_{{\mathfrak a}(y)} u=\Bigg({\mathfrak a}_1(y)\frac{\partial u}{\partial y_1}, \, {\mathfrak a}_2(y)\frac{\partial u}{\partial y_2}\Bigg). $$给出
2021-02-06 math.AP
Partial regularity and $L^3$-norm concentration effects around possible blow-up points for the micropolar fluid equations
本文研究微极流体方程，在速度场附加条件下证明弱解的光滑性，并给出速度场$L^3_x$范数在可能奇异时间附近的集中效应。
2024-06-05 math.AP
Concentration results for solutions of a singularly perturbed elliptic system with variable coefficients
本文主要研究以下带系数的椭圆型方程组：\begin{equation}\notag \left\{\begin{aligned} -ε^2Δu +c(x)u=b(x)|v|^{q-1}v, &\text{ and } -ε^2Δv +c(x)v=a(x) |u|^{p-1}u &&\text{in } Ω\newline u>0, \ v>0 \text{ in } Ω, &\text{ and }\quad\frac{\partial u}{\partialν} = 0 = \frac{\partial v}{\partialν} &&\text{on }\partialΩ \end{aligned} \right. \end{equation}其中\begin{equation}\notag \left\{\begin{aligned} -ε^2Δu +c(x)u=b(x)|v|^{q-1}v, &\text{ and } -ε^2Δv +c(x)v=a(x) |u|^{p-1}u &&\text{in } Ω\newline u>0, \ v>0 \text{ in } Ω, &\text{ and }\quad\frac{\partial u}{\partialν} = 0 = \frac{\partial v}{\partialν} &&\text{on }\partia…
2020-03-09 math.AP
Concentration on Surfaces for a Singularly Perturbed Neumann Problem in Three-Dimensional Domains
考虑如下奇摄动椭圆型问题$$ \varepsilon^2\triangle\tilde{u}-\tilde{u}+\tilde{u}^p=0, \ \tilde{u}>0\quad \mbox{in} \ Ω,\ \ \ \frac{\partial\tilde{u}}{\partial \mathbf{n}}=0 \quad \mbox{on}\ \partialΩ, $$，其中$Ω$是$\mathbb{R}^3$中的有界光滑区域，$\varepsilon$是小参数，$\mathbf{n}$表示$ \partialΩ$的内法线和指数$p>1$ .设$Γ$是一个与$\partialΩ$沿其边界$\partialΓ$成直角相交的超曲面，且满足{ \em非退化条件}.我们建立了一个解决方案的存在$u_\varepsilon$集中沿表面$\tildeΓ$接近$Γ$，指数小的$\varepsilon$在任何积极的距离从表面$\tildeΓ$，只要$\varepsilon$是小的，远离某些{ \em临界数}。聚集表面$\tildeΓ$将坍缩为$Γ$作为$\varepsilon\rightarrow 0$。
2013-02-20 math.AP
The regularity of the boundary of a multidimensional aggregation patch
设$d \geq 2$和$N(y)$是$R^d$中拉普拉斯方程的基本解我们考虑具有初始数据$ρ(x,0) = χ_{D_0}$的聚集方程$$ \frac{\partial ρ}{\partial t} + \operatorname{div}(ρv) =0, v = -\nabla N * ρ$$，其中$χ_{D_0}$是有界域$D_0 \subset R^d.$的指示函数我们现在固定$0 < γ< 1$，并将$D_0$视为有界$C^{1+γ}$域（具有$C^{1+γ}$类的光滑边界的域）。然后我们有定理：如果$D_0$是一个$C^{1 + γ}$域，则上述初值问题的解由$$ρ(x,t) = \frac{1}{1 -t} χ_{D_t}(x), \quad x \in R^d, \quad 0 \le t < 1$$给出，其中$D_t$是所有$0 \leq t < 1$的$C^{1 + γ}$域。
2016-08-27 math.AP
Sharp boundary concentration for a two-dimensional nonlinear Neumann problem
研究二维非线性Neumann问题在指数趋于无穷时正解族的渐近行为，证明能量量子化，刻画边界集中，并给出局部渐近轮廓与$L^{\infty}$-范数的尖锐收敛结果。
2024-07-29 math.AP
Concentration Phenomenon of Semiclassical States to Reaction-Diffusion Systems
本文考虑了$2M$中的$2M$ -分量反应扩散系统：\begin{align*} \left\{ \begin{aligned} \partial_t u &=\eps^2 Δ_x u-u-V(x)v + \partial_v H(u, v),\\ \partial_t v &=-\eps^2 Δ_x v+v + V(x)u - \partial_u H(u, v), \end{aligned} \right. \end{align*}（其中$M \geq 1$，$N \geq 1$，$\eps>0$为小参数），$V \in C^1(\R^N, \, \R)$，$H \in C^1(\R^M \times \R^M, \, \R)$，$(u, v): \R \times \R^N \to \R^M \times \R^M$的半经典态的集中现象.在较弱的假设下，证明了存在集中在$V$局部极小点附近的半经典态。该方法是变分的，主要是基于一个新的链接型的论点，迭代技术和内部估计的非线性抛物型方程。
2022-12-27 math.AP
Partial Balayage and a Generalization of the Divisible Sandpile Model
在最近的工作L。Levine和Y. Peres，观察到晶格上颗粒聚集的三种模型-可分沙堆，转子-路由器聚集和内部扩散限制聚集-共享一个共同的缩放极限，因为晶格间距趋于零，如果它们以相同的初始质量配置开始。很容易观察到，这个标度极限与将这个初始质量组态的部分平衡量与勒贝格测度的势论运算完全相同。然而，从部分平衡运算的理论中可以清楚地看出，人们可以将质量构形的部分平衡取为比勒贝格测度更一般的度量，而对于Levine和Peres描述的三种聚集模型，人们不能这样做。因此，在本文中，我们推广这些模型之一，可分沙堆模型，主要是在一个有界的设置，并表明，这种推广的自然缩放限制是由一个一般的部分平衡操作。
2016-05-10 math.AP math.PR
Radial solutions to a chemotaxis-consumption model involving prescribed signal concentrations on the boundary
讨论了在边界条件$\frac{\partial u}{\partialν}- u\frac{\partial v}{\partialν}=0$和$v=v_\star$ on $\partialΩ$下的趋化系统\begin{align*} u_t &= Δu - \nabla \cdot (u\nabla v), \\ v_t &= Δv - uv, \end{align*}，其中$Ω\subset\mathbb{R}^n$是球，$v_\star$是给定的正常数.在径向对称和适当正则的初值条件下，对$n=2$得到了有界经典解的整体存在性，而对$n\in \{3,4,5\}$得到了整体弱解.这是通过分析一个能量型不等式，让人想起以前在相关的齐次诺依曼问题中观察到的全局结构。其中新出现的病态边界积分是通过空间局部化的平滑参数来控制的，这些参数揭示了空间原点之外的高阶正则性特征。此外，在相应的固定问题的唯一经典的可解性断言，即使在非径向框架。
2021-03-12 math.AP
The Patlak-Keller-Segel model and its variations: properties of solutions via maximum principle
本文研究了一类扩散-聚集方程解的定性和渐近性态。除了第3节和第6节中的结果外，大多数结果都是关于径向解的。分析中的挑战包括非局部聚集项以及退化的扩散项，生成紧支撑的解决方案。本文中使用的关键工具是最大原理类型的参数，以及估计的质量浓度的解决方案。
2011-11-10 math.AP
Oscillation and concentration in sequences of PDE constrained measures
证明了对于常秩偏微分算子$\mathscr{A}$，由$\mathscr{A}$ -free测度序列生成的广义Young测度可以用与线性增长的$\mathscr{A}$ -拟凸被积的对偶来刻画.
2019-12-19 math.AP
Geometric Structure of Mass Concentration Sets for Pressureless Euler Alignment Systems
本文研究了具有光滑重尾相互作用核$ϕ$和单向速度$\mathbf{u} = (u, 0, \ldots, 0)$的Euler Alignment系统的极限动力学。我们证明了熵函数$e_0 = \partial_1 u_0 + ϕ*ρ_0$和极限“浓度集”之间的惊人对应关系，即，极限密度测度的奇异部分的支持。在一个典型的场景中，一个群经历了向$C^1$超曲面的并集的聚合：在限制流映射下的$e_0$的零集的图像。这种对应关系也使我们能够作出有关的限制动力学，包括一个尖锐的上界的浓度集的尺寸，仅取决于$e_0$的光滑度的精细性能的声明。为了方便和情境化我们的极限密度测度的分析，我们还包括一个简要讨论的适定性，植绒，和稳定性的欧拉对齐系统，其中大部分是新的。
2020-08-03 math.AP
Learning interacting particle systems: diffusion parameter estimation for aggregation equations
本文研究了具有牛顿凝聚和布朗扩散的相互作用粒子系统的参数估计。具体地说，我们构造了一个估计器$\widehatν$与部分观测数据来逼近扩散参数$ν$，并获得了估计误差。此外，我们将这一结果推广到一般的聚集方程与有界Lipschitz相互作用领域。
2018-10-10 math.AP math.PR
A non-concentration estimate for partially rectangular billiards
本文研究了具有部分矩形边界的平面域上的准模。我们证明了，对于任何$ε_0>0$，一个$Ø(λ^{-ε_0})$准模必须有$L^2$质量的“翅膀”界定以下的$λ^{-2-δ}$任何$δ>0$。证明使用作者最近的工作0-Gevrey光滑域近似准模$C^{1,1}$域。对$C^{2,α}$域进行了改进。
2013-09-13 math.AP math.SP
Boundary concentrations on segments
本文考虑了奇异摄动Neumann问题\begin{eqnarray*} \ve^2 Δu -u +u^p = 0 \, \quad u>0 \quad {\mbox {in}} \quad Ω, \quad {\partial u \over \partial ν}=0 \quad {\mbox {on}} \quad \partial Ω, \end{eqnarray*}，其中$p>2$和$Ω$是$\R^2$中的光滑有界区域.我们构造了一类新的解，它由大量的尖峰集中在边界的{ \bf segment}上，该边界包含中曲率函数的局部极小值点，并且在端点处具有相同的中曲率。我们发现一个连续极限的ODE系统管理的相互作用的尖峰，并表明，中曲率函数作为{ \em摩擦力}。
2015-05-30 math.AP math.DG
Long-time dynamics for a simple aggregation equation on the sphere
我们给出了一个完整的研究的一个简单的模型的单位向量对齐的渐近行为，无论是在粒子的水平，这对应于一个系统的耦合微分方程，并在连续介质的水平下，在球体上的聚集方程的形式。我们证明了无条件收敛到一个对齐的渐近状态。在微分系统和偏微分方程的对称初始数据的情况下，我们提供了精确的收敛速度。
2018-10-16 math-ph math.AP math.MP
