arXiv 2303.084512023-03math.PR

带有分布漂移的稳定过程驱动SDE的热核估计

Heat kernel estimates for stable-driven SDEs with distributional drift

Mathis Fitoussi

AI总结：

本文研究了带有Besov分布漂移的α-稳定过程驱动的SDE，通过光滑化和Duhamel展开结合Besov空间性质，证明了鞅解密度在特定条件下具有双侧热核界和梯度估计。

摘要：

我们考虑形式SDE dX_t = b(t, X_t)dt + dZ_t, X_0 = x ∈ R^d, (E) 其中 b ∈ L^r([0, T], B^β_{p,q}(R^d, R^d)) 是时间非齐次Besov漂移，Z_t 是对称d维α-稳定过程，α ∈ (1, 2)，其谱测度关于球面上的Lebesgue测度绝对连续。上述L^r和B^β_{p,q}分别表示Lebesgue空间和Besov空间。我们证明，当 β > (1-α+α/r+d/p)/2 时，与(E)的形式生成元相关的鞅解允许存在密度，该密度具有双侧热核界以及关于后向变量的梯度估计。我们的证明依赖于对奇异漂移的适当光滑化以使用Duhamel展开。随后，我们使用归一化方法结合Besov空间性质（热刻画、对偶性和乘积法则）来推导估计。

英文摘要：

We consider the formal SDE dX t = b(t, X t)dt + dZ t , X 0 = x $\in$ R d , (E) where b $\in$ L r ([0, T ], B $β$ p,q (R d , R d)) is a time-inhomogeneous Besov drift and Z t is a symmetric d-dimensional $α$-stable process, $α$ $\in$ (1, 2), whose spectral measure is absolutely continuous w.r.t. the Lebesgue measure on the sphere. Above, L r and B $β$ p,q respectively denote Lebesgue and Besov spaces. We show that, when $β$ > (1--$α$+ $α$/r + d/p)/2 , the martingale solution associated with the formal generator of (E) admits a density which enjoys two-sided heat kernel bounds as well as gradient estimates w.r.t. the backward variable. Our proof relies on a suitable mollification of the singular drift aimed at using Duhamel expansion. We then use a normalization method combined with Besov space properties (thermic characterization, duality and product rules) to derive estimates.

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AI总结：

摘要：

英文摘要：

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