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棱镜 $F$-晶体与 Lubin-Tate $(\varphi_q,\Gamma)$-模

Prismatic $F$-crystals and Lubin-Tate $(φ_q,Γ)$-modules

Samuel Marks

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AI总结：

本文引入$L$-典型棱镜并证明其上的Laurent $F$-晶体等价于一般纤维上的局部系，恢复Kisin-Ren等价并给出相对$(\varphi_q,\Gamma)$-模的概念。

摘要：

设 $L/\mathbb{Q}_p$ 为有限扩张。我们引入 $L$-典型棱镜，这是棱镜的一种温和推广。遵循 Bhatt、Scholze 和 Wu 的思想，我们证明形式概形 $X$ 在 $\mathrm{Spf}\mathcal{O}_L$ 上的 $L$-典型棱镜位点上的某些向量丛（称为 Laurent $F$-晶体）等价于其一般纤维 $X_\eta$ 上的 $\mathcal{O}_L$-线性局部系。我们还给出了比较定理，用于通过相应的 Laurent $F$-晶体的上同调来计算局部系的平展上同调。在 $X = \mathrm{Spf}\mathcal{O}_K$（其中 $K/L$ 为 $p$-进域）的情形下，我们证明这恢复了 Kisin-Ren 关于 Lubin-Tate $(\varphi_q,\Gamma)$-模与 $G_K$ 的 $\mathcal{O}_L$-线性表示之间的等价性，以及 Kupferer 和 Venjakob 关于通过 $(\varphi_q,\Gamma)$-模的 Herr 复形计算 Galois 上同调的结果。因此，我们可以将 $L$-典型棱镜位点上的 Laurent $F$-晶体视为提供了相对 $(\varphi_q,\Gamma)$-模的合适概念。

英文摘要：

Let $L/\mathbb{Q}_p$ be a finite extension. We introduce $L$-typical prisms, a mild generalization of prisms. Following ideas of Bhatt, Scholze, and Wu, we show that certain vector bundles, called Laurent $F$-crystals, on the $L$-typical prismatic site of a formal scheme $X$ over $\mathrm{Spf}\mathcal{O}_L$ are equivalent to $\mathcal{O}_L$-linear local systems on the generic fiber $X_η$. We also give comparison theorems for computing the étale cohomology of a local system in terms of the cohomology of its corresponding Laurent $F$-crystal. In the case $X = \mathrm{Spf}\mathcal{O}_K$ for $K/L$ a $p$-adic field, we show that this recovers the Kisin-Ren equivalence between Lubin-Tate $(φ_q,Γ)$-modules and $\mathcal{O}_L$-linear representations of $G_K$ and the results of Kupferer and Venjakob for computing Galois cohomology in terms of Herr complexes of $(φ_q,Γ)$-modules. We can thus regard Laurent $F$-crystals on the $L$-typical prismatic site as providing a suitable notion of relative $(φ_q,Γ)$-modules.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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