TS-Reconfiguration of Dominating Sets in circle and circular-arc graphs
研究了基于令牌滑动规则的控制集重构问题。它包括给定图G=（V，E）和G的两个控制集D_s和D_t，判定是否存在序列S=<D_1：=D_s，.，D_l：=D_t>，使得对于任意两个相邻的控制集D_r和D_{r+1}，当r<t时，D_{r+1} =（D_r\ u）U v，其中uv是G的一条边.在最近的一篇论文中，Bonamy等人研究了这个问题，并提出了以下问题：圆弧图上这个问题的复杂性是什么？在圆图上？在本文中，我们回答了这两个问题，证明了该问题是多项式的圆弧图和PSPACE完全的圆图。
2021-02-21 cs.CC cs.DM math.CO
Reconfiguration of Minimum PSD Forcing Sets and Minimum Skew Forcing Sets
本文研究最小 PSD 迫使集与最小斜迫使集的重构图，刻画其在令牌交换和令牌滑动规则下的结构与可实现性，并推广到常见图参数及零迫使变体。
2025-01-07 math.CO
A survey on the parameterized complexity of the independent set and (connected) dominating set reconfiguration problems
图的顶点子集问题定义了输入图的哪些顶点子集是可行解。我们将一个可行的解决方案视为放置在图的顶点上的一组令牌。顶点子集问题的一个重新配置变体询问，给定两个大小为$k$的可行解，是否有可能通过一系列标记滑动（沿着图的边缘）或标记跳跃（在图的任意顶点之间）将一个转换为另一个，使得每个中间集保持大小为$k$的可行解。许多算法问题以重构问题的形式出现：给定初始系统状态的描述和目标状态的描述，是否有可能将系统从初始状态转换为目标状态，同时保持系统的某些属性？这些问题在所谓的组合重构框架下得到了大量的关注。我们考虑三个基本的底层图的顶点子集问题，即独立集，支配集，连通支配集的重构变种。我们调查旧的和最近的工作参数化的复杂性的所有三个问题时，参数化的令牌数$k$。重点将是积极的结果和最常见的技术设计的固定参数易处理的算法。
2022-04-22 cs.CC cs.DM cs.DS
Isomorphisms and properties of TAR reconfiguration graphs for zero forcing and other $X$-set parameters
$X$ -TAR（令牌添加/移除）重新配置图具有满足某个属性$X$的顶点集，如果一个集合是通过添加或移除一个元素从另一个集合获得的，则在两个集合之间具有边。本文考虑基图$G$的点集$X-$的$X$-TAR图，其中$G$的$X$ -集必须满足一定的条件.控制集、幂控制集、迫零集和半正定迫零集都是$X$ -集的例子。对于没有孤立点的图$G$和$G'$，证明了$G$和$G'$具有同构的$X$-TAR重构图当且仅当存在$G'$的顶点的重新标号使得$G$和$G'$具有完全相同的$X$ -集.为了便于分析$X$ -TAR图的同构，引入了$X$ -无关顶点的概念.进一步，给出了迫零TAR图的连通性的相关结果。我们提出了家庭的图，超过已知的连通性参数的下界。
2022-05-19 math.CO
The tape reconfiguration problem and its consequences for dominating set reconfiguration
本文研究支配集重构的令牌滑动变体（TS-DSR），首次给出使其PSPACE完全的显式常数，并证明该问题在有界路径宽图上及特定参数下为XL完全，揭示了其比令牌跳跃变体更难，核心方法基于新提出的磁带重构问题。
2025-05-02 cs.CC cs.DM cs.DS
On Pancyclicity in a Mixed Model for Domination Reconfiguration
Mount Allison University（蒙茅斯阿尔伯特大学）
本文提出一种结合token添加/移除和token滑动的支配重构模型，证明在某些图类中，通过添加少量滑动边可使TARS图成为pancyclic图，尤其在树、完全图和完全multipartite图中成立。
2026-04-13 math.CO
The Realizability of Theta Graphs as Reconfiguration Graphs of Minimum Independent Dominating Sets
本文研究 theta 图作为最小独立支配集重配置图（i-图）的可实现性，完整刻画了可实现与不可实现的 theta 图，并进一步刻画了线图、爪形自由图及3-连通三次二部平面图的 i-图性质。
2023-05-28 math.CO
Maximum Number of Minimum Dominating and Minimum Total Dominating Sets
给定一个控制（或全控制）数γ>=2的连通图，我们求出控制集和全控制集的最大个数m_γ和m_{γ,T}.当γ= 2时给出了一个精确的答案，当γ>=3时给出了下界.
2013-08-14 math.CO
Unique paired vs edge-vertex minimum dominating sets in trees
本文证明了树中唯一最小边顶支配集与唯一最小配对支配集的等价性。
2025-11-28 math.CO
The Minimum Dominating Set problem is polynomial for (claw, P8)-free graphs
证明了无（claw，P8）图类的最小控制集问题是多项式问题。
2021-09-24 math.CO
On the number of minimum dominating sets and total dominating sets in forests
本文研究森林中最小支配集与全支配集的数量，证明支配数为γ的森林最多有√5^γ个最小支配集，并构造下界接近该值的树，同时否定 Henning 等人关于最小全支配集数量的猜想。
2022-06-27 math.CO
The $k$-Dominating Graph
给定一个图$G$，定义$G$的$k$ -控制图$D_k(G)$为：其顶点对应于$G$的基数至多为$k$的控制集的图. $D_k(G)$中的两个顶点相邻当且仅当$G$的相应控制集通过增加或删除一个顶点而不同。图$D_k(G)$有助于研究控制集的重构问题。特别地，一个控制集可以通过一系列的单顶点添加和删除被重新配置为另一个，使得当且仅当它们在$D_k(G)$的相同连通分量中时，每个步骤的中间顶点集是控制集。本文给出了$D_k(G)$连通的条件。
2013-03-01 math.CO
A characterization of trees having a minimum vertex cover which is also a minimum total dominating set
图$G = (V, E)$的顶点覆盖是集合$X \subseteq V$，使得$G$的每条边与$X$的至少一个顶点关联。如果由$D$导出的子图没有孤立点，则称控制集$D \subseteq V$是$G$的全控制集. $G$的一个$(γ_t-τ)$ -集是一个最小顶点覆盖，它也是一个最小全控制集。本文给出了具有$(γ_t-τ)$ -集的树的一个构造性刻画。
2017-04-29 math.CO
On the maximum number of minimum dominating sets in forests
Hedetniemi，Hedetniemi，Hutson问是否每棵树的控制数$γ$有最多$2^γ$最小控制集。Bien给出了一个反例，它允许构造具有控制数$γ$和$2.0598^γ$最小控制集的森林.证明了每一个具有控制数$γ$的森林最多有$2.4606^γ$最小控制集，每一个具有独立数$α$的树最多有$2^{α-1}+1$最大独立集.
2018-04-11 math.CO
Vertices in all minimum paired-dominating sets of block graphs
设$G=(V,E)$是一个无孤立点的单图.一个集合$S\subseteq V$是一个成对控制集，如果$V-S$中的每个顶点在$S$中至少有一个近邻，并且由$S$导出的子图包含完美匹配.本文给出了一个判定块图中给定顶点是否包含在其所有最小成对控制集中的线性时间算法。
2009-08-20 math.CO
Reconfiguration Using Generalized Token Jumping
本文提出广义令牌跳跃规则，通过限制一次移动的令牌数和最大距离，确定独立集、顶点覆盖和支配集可重构的最小规则，并给出算法及计算复杂性结果。
2024-11-20 cs.DS math.CO
Generalized domination structure in cubic graphs
本文研究了立方图中的广义支配结构，通过特定方法确定最小支配集，并在多项式时间内解决该问题。
2025-12-12 math.CO
Bounds on the Maximum Number of Minimum Dominating Sets
我们用概率方法求控制数为γ的图中控制集的最大个数的下界。我们发现我们可以随机生成一个图，是由几乎所有大小为γ的集合支配的。同时，我们利用一个修正的邻接矩阵，得到了给定大小的集合在n个顶点上不支配图的个数的下界
2013-08-14 math.CO
On the vertices belonging to all, some, none minimum dominating set
我们刻画了顶点属于所有最小控制集，属于某些最小控制集但不是全部，以及不属于最小控制集。我们完善这个特性的一些研究的子类图：弦，无爪，三角形自由。我们还展示了一些图回答一些开放的问题的文献上的最小控制集。
2019-09-06 cs.DM math.CO
On the maximum number of minimum total dominating sets in forests
本文提出关于树的最小全控制集数量的猜想，并证明森林中该数量的上界，包含指数和多项式形式的界。
2019-01-17 math.CO
On Minimum Dominating Sets in cubic and (claw,H)-free graphs
给定一个图$G=(V,E)$，如果每个$v\in V\setminus S$都与$S$的一个元素相邻，则$S\subseteq V$是一个控制集。最小控制集问题要求一个具有最小基数的控制集。众所周知，即使当$G$是无爪图时，它的决策版本也是$NP$ -完全的.当$H$至多有6个顶点时，我们给出了一类无$(claw, H)$图的最小控制集问题的复杂性二分法.在一个中间步骤中，我们证明了最小支配集问题是$NP$ -完全的三次图。
2020-02-27 cs.DM math.CO
On k-Total Dominating Graphs
对于图G，k-全控制图D_{k} ^{t}（G）是其顶点对应于G的基数至多为k的全控制集的图; D_{k} ^{t}（G）的两个顶点相邻当且仅当G的相应全控制集通过增加或删除一个顶点而不同。利用图D_{k} ^{t}（G）研究了全控制集的重构问题：一个全控制集可以通过一系列的单点增删而重构为另一个全控制集，使得每一步的中间点集都是全控制集，当且仅当它们在D_{k} ^{t}（G）的同一个分支中.设d_{0}（G）是最小整数r，使得对于所有大于或等于r的k，D_{k} ^{t}（G）连通.研究了图作为全控制图的可实现性。设k为上全控制数Γ_{t}（G），我们证明了：任何不含孤立点的图都是图G的诱导子图，使得D_{k} ^{t}（G）是连通的.证明了对于任意阶至少为3的连通图G，d_{0}（G）位于Γ_{t}（G）和n（含）之间，刻画了实现任一界的图，并确定了d_{0}（C_{n}）和d_{0}（P_{n}）.
2017-11-15 math.CO
On the circumference, connectivity and dominating cycles
每个具有最小度$δ$和连通度$κ$的4-连通图要么有一个长度至少为$4δ-2κ$的圈，要么有一个控制圈。
2009-06-10 math.CO
Three domination number and connectivity in graphs
在图G中，一个顶点支配自己和它的邻居。V的子集S称为G的控制集，如果V中的每个顶点至少被S中的一个顶点控制。控制数gamma G是控制集的最小基数。一个图G的集合S的子集V称为图G的双控制集，如果V中的每个顶点至少被S中的两个顶点控制。双控制集的最小基数称为G的双控制数。在图G中，一个顶点支配自己和它的邻居。V的子集S称为G的控制集，如果V中的每个顶点至少被S中的一个顶点控制。控制数gamma G是控制集的最小基数。一个图G的子集S称为图G的双控制集，如果V中的每个顶点至少被S中的两个顶点控制。双控制集的最小基数称为G的双控制数。一个连通图G的连通度γ G是指除去G中的顶点后G成为不连通图或平凡图的最小数目。本文引入了图的三控制的概念。得到了图的三个控制数和连通度的一个上界，并刻画了相应的极图。
2015-02-16 math.CO
Location-Domination Type Problems Under the Mycielski Construction
本文研究了Mycielski构造下定位支配集等变体的最小基数问题，给出了一般上下界，并针对星图、路径和环给出了改进或达到已知上界的具体结果。
2023-11-23 math.CO
Super Domination: Graph Classes, Products and Enumeration
支配集问题是组合优化中最著名的问题之一。其定义如下。对于给定的简单图$G=(V,E)$，$G$的控制集是一个子集$S\subseteq V$，使得$ V \setminus S$中的每个顶点至少与$S$中的一个顶点相邻.此外，DSP的问题是找到一个最小尺寸的控制集和相应的最小尺寸，PDMATHAMN的控制数。在这篇文章中，我们研究了DSP的一个变体，即超支配集问题（SDSP），它在过去几年中引起了人们的广泛关注。一个控制集$S$称为$G$的超控制集，如果对每个顶点$u\in \overline{S}=V \setminus S$，存在一个$v\in S$使得$N(v)\cap \overline{S}=\{u\}$ .类似地，SDSP是寻找一个最小尺寸的超控制集，以及相应的最小尺寸，$G$的超控制数。DSP和SDSP的决策变体都被证明是$\mathcal{NP}$ -硬的。在本文中，我们提出了紧界的超控制数的邻域电晕产品，PDMATHAMV-胶合，和Hajós和两个图。此外，我们提出了无限的家庭达到我们的界限图。最后，我们给出了某些图类的最小超控制集的确切个数。特别地，圈的超支配集的数量具有相当令人惊讶的性质，因为它在基于$n\mod4$的集合$\{4,n,2n,\frac{5n^2-10n}{8}\}$的值之间变化。
2022-10-31 math.CO
New results on metric-locating-dominating sets of graphs
一个图的控制集$S$是一个度量定位控制集，如果图的每个顶点与$S$中元素的距离是唯一可区分的，这样一个控制集的最小基数称为度量定位控制数。在本文中，我们进行了一项研究，在一般图和特定族中，将度量定位控制集与其他特殊集：分解集、控制集、定位控制集和双重分解集联系起来。我们首先根据树的度量-位置-控制数与度量维数和控制数之间的关系刻画了树类。然后，我们给出了度量定位控制集到定位控制集和双可解集的不同转化方法。我们的方法产生新的界限上的最小基数的所有这些集，其中一些涉及的参数还没有相关到目前为止。
2016-04-13 math.CO
Characterizations of the graphs with dominating parameters
本文研究图的支配数、全支配数和孤立数等支配参数，并解答了Hamid等人2016年提出的开放问题。
2025-09-25 math.CO
Minimum Roman Dominating Distance Energy of a Graph
本文引入了图$G$的最小罗马控制距离能量$E_{RDd}(G)$的概念，并计算了一些标准图的最小罗马控制距离能量.最后，我们给出了最小罗马控制距离矩阵$A_{RDd}(G).$的特征值的上、下界，并给出了最小罗马控制距离矩阵$E_{RDd}(G).$的上、下界
2022-03-31 cs.IT math.CO math.IT
Maximal bipartite graphs with a unique minimum dominating set
本文研究了具有唯一最小支配集的二部图的最大边数界限，提出了紧的边数上界猜想，并在γ=2和n=3γ情况下证明了该界限成立，同时探讨了完美支配与极图构造的关系。
2025-11-03 math.CO
A Degree Condition for Dominating Cycles in $t$-tough Graphs with $t>1$
设$G$是一个$t$ -坚韧图，其序为$n$，最小度为$δ$，且有$t>1$ .证明了如果$δ\ge(n-2)/3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈.
2012-01-07 math.CO
Perfect dominating sets in the Cartesian products of prime cycles
研究了$C_{2n+1}^n$的最小控制集的结构，$C_{2n+1}^n$是大小为$2n+1$的循环的$n$拷贝的笛卡儿积，其中$2n+1$是素数.
2009-03-14 math.CO
Properties of Partial Dominating Sets of Graphs
一个集合$S\subseteq V$是$G$的控制集，如果$V - S$中的每个顶点都与$S$中的至少一个顶点相邻。$G$的控制数$γ(G)$等于控制集$S$在$G$中的最小基数;我们说这样的集$S$是$γ$ -集。对此的概括是Case、Hedetniemi、Laskar和Lipman于2017年提出的部分支配[3，2]。在部分控制中，一个集合$S$是$p$ -控制集，如果它控制$V$中的一部分$p$顶点。p-控制数$γ_{p}(G)$是$G$中$p$ -控制集的最小基数。本文研究了部分控制集的进一步性质，特别是与图的乘积和部分控制集的定位有关的性质。我们还引入了一个$p$ -影响集的概念，作为所有$p$ -支配集的联合，为一个固定的$p$，并研究了它的一些性质。
2019-06-01 math.CO
Maximum matchings and minimum dominating sets in Apollonian networks and extended Tower of Hanoi graphs
阿波罗网络显示出显着的幂律和小世界性质，在大多数现实的网络系统中观察到的。它们的对偶图是推广的Tower of Hanoi图，它是由Tower of Hanoi图通过添加一个特殊的顶点连接到它的所有三个极端顶点而得到的。本文研究了Apollonian网络及其对偶图中的最大匹配和最小控制集，这两个问题在复杂网络的结构可控性等领域有着广泛的应用。对于这两个网络，我们确定它们的匹配数，控制数，最大匹配数，以及最小控制集的数量。
2017-09-13 cs.DM math.CO
Packing and domination parameters in digraphs
给定一个有向图$D=(V,A)$，如果$B$的顶点之间没有弧连接，并且对于任意两个顶点$x,y\in B$，$x$和$y$的内邻集是不相交的，则集合$B\subset V$是$D$中的填充集。集合$S$是$D$中的控制集（开控制集），如果不在$S$中（在$V$中）的每个顶点在$S$中都有内邻。此外，如果由$S$导出的子图没有孤立点，则称控制集$S$为全控制集.本文研究了有向图的最大势填充集和最小势（全开）控制集。证明了有向树的填充和控制的两个最优集达到相同的值，并给出了它的一些应用，给出了所有连通反功能有向图的类似等式，刻画了所有满足这些等式的有向图$D$.此外，对有向图分别给出了填充集和控制集的最大和最小基数的精确界。最后，我们提出了两个开放的问题的解决方案，涉及总的和开放的最小基数控制集，指出在[澳大利亚。J. Combin。39（2007），283- 292]。
2018-05-10 math.CO
Adjoining edges to $G\mathbin{\square}H$ to construct a minimal dominating set of size $γ(G)γ(H)$
对于图$G,H$，可以将$(|V(G)|-γ(G))(|V(H)|-γ(H))$边添加到笛卡儿积$G\mathbin{\square}H$，使得出现大小为$γ(G)γ(H)$的最小支配集$D$。我们假设$D$也是所得图的最小支配集，并表明这意味着Vizing的猜想。
2021-11-16 math.CO
Simultaneously Dominating all Spanning Trees of a Graph
研究了同时支配给定图的所有生成树的问题。我们证明了在2-连通图上，一个顶点子集支配图的所有生成树当且仅当它是一个顶点覆盖。利用这一事实，我们提出了一个精确的算法，找到一个同时控制集的最小尺寸使用的甲骨文找到一个最小的顶点覆盖。该算法可以在多项式时间内运行在几个图形类，如二分图或弦图。我们证明了，没有多项式时间算法，找到一个完美的图上的最小同时控制集，除非P=NP。最后，我们给出了一个求最小同时控制集的2-近似算法。
2020-12-16 cs.DM math.CO
On the $nk-attack Roman Dominating Number of a Graph
本文研究了图的$k$-攻击罗马控制数，特别是2-攻击罗马控制，求出了特定图类的控制数并讨论了其性质及与其他支配概念的联系。
2024-08-27 math.CO
On Redundant Locating-Dominating Sets
图G中的定位支配集是表示“检测器”的顶点的子集，其可以定位“入侵者”，假定每个检测器覆盖其封闭邻域并且可以将其自身的位置与其邻居区分开。我们探索了一个容错的变种定位支配集称为冗余定位支配集，它可以容忍一个检测器故障（离线或被删除）。特别地，我们刻画了冗余定位控制集，证明了确定冗余定位控制集的最小基数问题是NP-完全的。我们还确定了紧界的最小密度的冗余定位控制集在几类图，包括道路，循环，梯子，k-叉树，和无限的六边形和三角形网格。我们发现严格的下限和上界的大小最小冗余定位支配集的顺序$n$的所有树木，并描述了家庭的树木，实现这两个极值，随着多项式时间算法分类树最小极值或没有。
2022-09-09 cs.DM math.CO
Proper connection number and connected dominating sets
连通图$G$的真连通数$pc(G)$定义为给其边着色所需的最小颜色数，使得$G$的每对不同顶点至少由$G$中的一条路连接，使得该路的任何两个相邻边都不被相同着色，这样的路称为真路。本文证明了对于直径为2且最小度至少为2的连通图，其真连通数为2。然后，我们对每一个阶为$n$且度为$δ$的连通图给出了一个上界$\frac{3n}{δ+ 1}-1$.我们还证明了对于每一个连通图$G$，最小度至少为$2$，适当的连接数$pc(G)$的上界是$pc(G[D])+2$，其中$D$是$G$的连通双向（两步）控制集。对于许多特殊的图类，$pc(G)\leq 4$或$pc(G)=2$的形式的界是这个结果的简单推论，这些图包括连通区间图、星形无三重图、圆弧图、阈值图和链图，所有这些图的最小度至少为$2$。通过对区间图和圆弧图的结构分析，得到了区间图和圆弧图的真连通数的一个精确上界3。
2015-01-23 math.CO
On the semitotal dominating sets of graphs
无孤立点图$G$中的顶点集$D$是$G$的一个完全控制集，如果$D$是$G$的一个控制集，且$D$中的每个顶点到$D$的另一个顶点的距离都在$2$之内. $G$的完全控制数是$G$的一个完全控制集的最小基数，记为$γ_{t2}(G)$ .本文在计算了特定图的全控制数之后，对某些图的任意大小的全控制集的个数进行了统计。
2021-07-03 math.CO
Domination Value in $P_2 \square P_n$ and $P_2 \square C_n$
一个集合$D \subseteq V(G)$是一个图$G$的一个\emph{dominating set}，如果$G$的每个不在$D$中的顶点都至少与$D$中的一个顶点相邻。$G$的一个\emph{minimum dominating set}，也称为一个$γ(G)$ -集，是$G$的一个最小基数的控制集。对于每个顶点$v \in V(G)$，我们定义$v$的\emph{domination value}为$v$所属的$γ(G)$ -集的数目。本文找到了$P_2 \square P_n$和$P_2 \square C_n$的最小控制集的总数并刻画了控制值。
2012-03-01 math.CO
New Results on Vertices that Belong to Every Minimum Locating-Dominating Code
University of Turku（图尔库大学）
本文研究了图中所有最小定位支配码必含的顶点，证明其数量上限及比值，并展示该比值可达2/5，同时确定路径图中不同最小定位支配码的数量。
2026-04-27 cs.DM math.CO
On total dominating sets in graphs
图$G(V,E)$中的顶点集$S$称为控制集，如果每个顶点$v\in V$都是$S$的元素或与$S$的元素相邻.图$G(V,E)$的顶点集$S$称为全控制集，如果每个顶点$v\in V$都与图$S$的一个元素相邻.图$G$的控制数记为$γ(G)$，它是图$G$中控制集的最小基数.图$G$的全控制数记为$γ_t(G)$，它是图$G$的全控制集的最小基数. Cockayne等人在$\cite{coc}$中给出了$γ_t(G)$的一个上界：对任何不含孤立点和最大度$Δ(G)$和$n$点的图$G$，有$γ_t(G)\leq n-Δ(G)+1$ .在这里，我们的特点二分图和树，达到这个上界。进一步给出了$γ_t(G)$的另一个上、下界.对于循环完全图，我们还确定了$γ_t(G)$的值。
2008-10-26 math.CO
The 3-rainbow index and connected dominating sets
边有色图中的树称为彩虹树，如果树的两条边不具有相同的颜色。$G$的边着色称为3-彩虹，如果对于$G$中的任意三个顶点，存在一个连接它们的彩虹树. $G$的3-彩虹指数$rx_3(G)$被定义为$G$的3-彩虹着色中所需的颜色的最小数量。这一概念由Chartrand等人提出，可以被看作是彩虹连接的一种概括。本文利用连通三向控制集和3-控制集研究了3-彩虹指标。我们证明了对于$n$上的每个连通图$G$，其最小度至少为$δ$（$3\leqδ\leq5$），$rx_{3}(G)\leq \frac{3n}{δ+1}+4$，并且其界紧到一个加法常数;而对于$n$上的每个连通图$G$，其最小度至少为$δ$（$δ\geq3$），我们得到$rx_{3}(G)\leq n\frac{ln(δ+1)}{δ+1}(1+o_δ(1))+5$ .此外，我们还对一些特殊的图类，包括阈值图、链图和区间图，得到了3-彩虹指数的一些紧上界。
2014-04-14 math.CO
Resolving dominating partitions in graphs
连通图$G$的顶点集的一个划分$Π=\{S_1,\ldots,S_k\}$称为$G$的一个\emph{resolving partition}，如果对于每对顶点$u$和$v$，$d(u,S_j)\neq d(v,S_j)$，对于某些部分$S_j$ . \emph{partition dimension} $β_p(G)$是$G$的解析划分的最小基数。如果对于$G$的每个顶点$v$，$d(v,S_j)=1$，对于$Π$的某个部分$S_j$，则解析划分$Π$称为\emph{resolving dominating}。\emph{dominating partition dimension} $η_p(G)$是$G$的分解支配划分的最小基数。在本文中，我们表明，除其他结果外，$β_p(G) \le η_p(G) \le β_p(G)+1$。我们还刻画了所有满足以下条件之一的$n\ge7$阶连通图：$η_p(G)= n$，$η_p(G)= n-1$，$η_p(G)= n-2$和$β_p(G) = n-2$。最后，我们提出了一些严格的Nordhaus-Gaddum界的分区维数$β_p(G)$和支配分区维数$η_p(G)$。
2018-11-12 math.CO
On the number of isolate dominating sets of certain graphs
设$G=(V,E)$是一个单图. $G$的支配集是子集$S\subseteq V$，使得不在$S$中的每个顶点与$S$中的至少一个顶点相邻。$G$的最小控制集的基数，记为$γ(G)$，是$G$的控制数。如果诱导子图$G[S]$至少有一个孤立点，则称$S$是$G$的孤立控制集.孤立控制数$γ_0(G)$是$G$的孤立控制集的最小基数。本文对几类特殊图的孤立控制集的个数进行了统计。
2021-01-12 math.CO
Domination structure in 3-connected graphs
本文从最近的角度研究了3-连通图的结构。它规定了3-连通图的最小控制集。同时，我们计算了结构的个数，得到了结构的上界。利用它，在多项式时间内确定了3-连通图的最小控制集。
2019-10-01 math.CO
$w$-Dominating Set Problem on Graphs of Bounded Treewidth
设$G=(V,E)$是一个图。令$w$为正整数。$w$ -支配集是顶点子集$S$，使得对于所有$v\in V$，$v\in S$或其在$S$中至少具有$w$邻居。$w$ -支配集问题是寻找最小的$w$ -支配集. $L$ -最大$w$ -支配集问题是寻找基数最大为$L$的顶点子集$S$，使$|S|+|\{v\in V\setminus S~|~|N(v)\cap S|\geq w\}|$最大，其中$N(v)=\{u|uv\in E\}$ .本文给出了树宽有界图上的$w$ -支配集问题和$L$ -Max $w$ -支配集问题的多项式时间算法.
2021-01-08 math.CO
Degree Conditions for Dominating Cycles in 1-tough Graphs
我们证明：（i）若$G$是1-坚韧图，其阶为$n$，最小度为$δ$，且有$δ\ge(n-2)/3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈，除非$G$属于一类容易指定的图，且有$κ(G)=2$和$τ(G)=1$ .第二个结果紧接着第一个结果：（ii）如果$G$是一个3-连通1-坚韧图，$δ\ge(n-2)/3$，那么每个最长的圈在$G$是一个控制圈。
2012-02-13 math.CO
A Size Upper Bound for Dominating Cycles
最近（作者）证明了，如果$q\leδ^2+δ-1$（arXiv：1107.2201v1），则每一个边数为$δ$且度为最小的图都是Hamilton图.本文对控制圈给出了这个结果的精确模拟：如果$G$是一个2连通图，且$q\le8$当$δ=2$，$q\le (3(δ-1)(δ+2)-1)/2$当$δ\ge3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈.结果在各方面都很明显。
2011-12-12 math.CO
The Average Order of Dominating Sets of a Graph
本文主要研究图的控制集的平均阶。我们找到了所有图在$n$顶点上的最大值和最小值的极图，而对于树，我们证明了星最小化控制集的平均阶。证明了无孤立点图的控制集的平均阶至多为$3n/4$，但给出了实际上界为$2n/3$的证据.最后，我们表明，规范化的平均，而密集的$[1/2,1]$，往往$\frac{1}{2}$几乎所有的图。
2020-08-14 math.CO
The complexity of minimum-density locating-dominating set in infinite periodic graphs
University of São Paulo, Institute of Mathematics, Statistics and Computer Science（圣保罗大学数学、统计和计算机科学学院）
该研究证明具有有限周期的无限ℤ-周期图中最小密度定位支配集问题是NP难题，通过周期归约弥合了有限图与无限图相关问题的复杂性研究缺口。
2026-08-05 cs.CC math.CO
On $k$-tuple and $k$-tuple total domination numbers of regular graphs
设$G$是$n$阶连通图，其最小顶点度至少为$k$。如果$G$中的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻，则$G$中的顶点子集$S$是$k$ -元组全支配集。$G$的$k$ -元组全控制集的最小基数是$G$的$k$ -元组全控制数，记为$γ_{\times k,t}(G)$ . Henning和Yeo在\cite{hen}中证明了，如果$G$是不同于Heawood图的三次图，则$γ_{\times 2, t}(G) \leq \frac{5}{6}n$，并且这个界是尖锐的.类似地，$k$元组支配集是$G$，$V (G)$的顶点的子集$S$，使得对于每个顶点$v$，$|N[v] \cap S| \geq k$，其中$N[v] = \{v\}\cup \{u \in V(G) : uv \in E(G)\}$。$G$的$k$ -元组控制数，记作$γ_{\times k}(G)$，是$G$的$k$ -元组控制集的最小基数.本文给出了$r$ -正则图的$(r-1)$ -元组全控制数的一个上界的简单计算方法。并给出了$r$ -正则图的$r$ -元组控制数的一个上界.此外，我们的方法给出了算法，计算控制集与给定的界限，而以前的方法是存在的。
2018-01-20 math.CO
