Lectures on Hausdorff and Gromov-Hausdorff Distance Geometry
该课程于2019年秋季在北京大学开设。主要内容包括：（1）一般拓扑学、超空间、度量与伪度量空间、图论。(2)度量空间中的图，最小生成树，Steiner最小树，Gromov最小填充。(3)Hausdorff距离，Vietoris拓扑，极限理论，完备性继承，完全有界性，超空间紧性。(4)Gromov-Hausdorff距离，三角不等式，紧空间等距类的正定性，有界紧空间的反例。(5)可分空间在\ell_\有限空间中的等距像的Gromov-Hausdorff距离，对应，对应的Gromov-Hausdorff距离。(6)Epsilon-isometries和Gromov-Hausdorff距离(7)不可约对应和Gromov-Hausdorff距离(8)格罗莫夫-豪斯多夫收敛，当格罗莫夫-豪斯多夫收敛时度量和拓扑性质的继承. (9)Gromov-T2空间（GH-空间），最优对应，紧度量空间的闭最优对应的存在性，GH-空间是测地的。(10)GH-空间的覆盖数、堆积数、完全有界性、完备性和可分性。(11)用到单形的GH-距离表示的mst-谱，GH-空间中的Steiner问题。(12)到多点单形的GH-距离，到至多相同点数单形的GH-距离。(13)广义Borsuk问题，广义Borsuk问题的GH-距离解，简单图的团覆盖数和色数，它们的对偶，用GH-距离计算这些数。
2020-12-01 math.MG
Density of generic metric spaces in the Gromov--Hausdorff class
本文证明了一般度量空间在所有赋Gromov-Hausdorff距离的度量空间的真类中处处稠密。
2023-02-24 math.MG
A natural compactification of the Gromov-Hausdorff space
本文在（广义）度量空间的等距类族上引入一个伪度量。利用它，我们得到了Gromov-T2空间的一个自然紧化，它与超极限相容.
2021-09-30 math.MG
Steiner Problem in Gromov-Hausdorff Space: the Case of Finite Metric Spaces
证明了有限度量空间的每个有限族，作为Gromov-T2 T2空间的一个子集，都可以用Steiner极小树连通.
2016-04-07 math.MG
Gromov-Hausdorff distance with boundary and its application to Gromov hyperbolic spaces and uniform spaces
本文引入了带边界的Gromov-Hausdorff距离的概念，记为$d_{GHB}$，从而构造了非完备度量空间的收敛框架.证明了一类直径有界的有界$A$ -一致空间是关于$d_{GHB}$的完全度量空间.作为应用，在适当的收敛性概念和假设下，我们证明了Gromov双曲性的稳定性，Gromov双曲空间的粗星形性质，一致化，拟双曲化和边界.
2021-08-08 math.MG
Gromov-Hausdorff Distance Between Segment and Circle
我们计算了欧氏平面上一条线段和一个圆之间的Gromov-Hausdorff距离。为此，我们引入了一些新的概念，如圆空间和度量空间的非线性度。
2021-01-14 math.MG
Realizations of Gromov-Hausdorff Distance
证明了对任意两个紧度量空间，存在一个“最佳”对应，在该对应处达到Gromov-Hausdorff距离.每一个这样的对应关系产生这些空间到一个紧凑的度量空间的等距嵌入，使得初始空间之间的Gromov-Hausdorff距离等于它们的图像之间的Hausdorff距离。此外，最优对应可以用于构造Gromov-T2空间中的最短曲线，其方式与Alexander Ivanov，Nadezhda Nikolaeva和Alexey Tuzhilin在arXiv：1504.03830中所做的完全相同，其中证明了Gromov-T2空间是测地线。请注意，本文中的所有证明都是初等的，只使用了紧性的概念。
2016-03-29 math.MG
Path Connectivity of Spheres in the Gromov-Hausdorff Class
本文主要研究了所有度量空间和所有有界度量空间类上的Gromov-Hausdorff距离的几何性质。主要关注的是传递连接问题。描述了所有度量空间的Gromov-Hausdorff类的通连通分支，并在几种特殊情况下证明了球面的通连通性.
2022-04-05 math.MG
Pointed Gromov-Hausdorff Distance between $l^p$-Wedge Sums and Isometric Embeddings of $l^\infty$
本文研究$l^p$-楔和的有向格罗莫夫-豪斯多夫距离并给出双侧估计，还证明了$l^\fty$可等距嵌入到非空度量空间构成的格罗莫夫-豪斯多夫空间中。
2026-10-12 math.MG
Geodesic in the Gromov-Hausdorff class for which the real line is an interior point
本文在Gromov-Hausdorff类中构造了一条测地线，其内点包含带自然度量的实数直线，解决了该空间中的测地线存在性问题。
2025-10-26 math.MG
Steiner Ratio and Steiner-Gromov Ratio of Gromov-Hausdorff Space
本文研究由紧致度量空间的等距类构成的度量空间$\cal M$，并赋予其Gromov-Hausdorff度量.我们证明了对于一般有限度量空间的一个足够小的邻域中的任何有限子集$M$，如果$M$由具有相同点数的有限度量空间组成，则连接$M$的$\cal M$中的每棵Steiner极小树都是$M$的极小填充.因此，我们证明了$\cal M$的Steiner比和Gromov-Steiner比都等于$1/2$ .
2016-05-03 math.MG
Classical and continuous Gromov-Hausdorff distances
本文研究了格罗莫夫-豪斯多尔距离的连续性要求，证明了下半连续性时得到经典距离，而上半连续性仅在空间总界或有界紧致时与经典距离一致。
2026-03-27 math.MG
Isometry Group of Gromov--Hausdorff Space
本文研究Gromov-T2 T2空间的等距群，即紧致度量空间的度量空间，被认为是等距的，并被赋予Gromov-Hausdorff度量。主要目标是证明乔治·洛瑟（George Lowther，2015）的定理：格罗莫夫-T2空间的等距群是平凡的。不幸的是，作者本人没有发表一个准确的文本2年通过出版草案（这是充满了优秀的想法混合未经证实和错误的陈述）在https://mathoverflow.net/博客（见参考书目中的确切参考）。
2018-06-08 math.MG
Gromov-Hausdorff distances between normed spaces
本文研究实赋范空间间的Gromov-Hausdorff距离，证明有限距离蕴含等距，并进一步证明每个有限维赋范空间与所有非等距赋范空间的距离均为无穷大。
2024-07-01 math.MG
Calculating Gromov-Hausdorff distance by means of asymptotic dimension
本文利用渐近维数计算无界度量空间的Gromov-Hausdorff距离，并证明欧几里得平面与整数格点平面之间的该距离等于其Hausdorff距离。
2025-05-01 math.MG
A novel construction of Urysohn universal ultrametric space via the Gromov-Hausdorff ultrametric
我们建立了$(\mathcal{U},u_\mathrm{GH})$的普适性和超齐性，$(\mathcal{U},u_\mathrm{GH})$是所有紧致超度量空间的集合，被赋予所谓的Gromov-Hausdorff超度量。这一结果也产生了一个新的结构的所谓的$R$ -Uryoshn泛超度量空间的每个可数子集$R\subset\mathbb{R}_{\geq 0}$包含$0$。
2021-06-18 math.MG
Boundedness of measured Gromov-Hausdorff precompact sets of metric measure spaces in pyramids
证明了包含在一个称为金字塔的集合中的度量测度空间的任何度量Gromov-Hausdorff预紧集，都被关于金字塔内部Lipschitz序的度量测度空间所包围.这被证明是一个步骤，可能扩展的声明格罗莫夫，为此，我们给出了详细的证明，在我们以前的工作。同时也得到了一些相关的结果。
2022-10-03 math.MG
Metric Space Recognition by Gromov-Hausdorff Distances to Simplexes
本文研究了利用到单纯形的Gromov-Hausdorff距离区分有界度量空间，给出了距离非零却不可区分的实例，并证明了不可区分的充分和必要条件。
2024-12-25 math.MG
Explicit Geodesics in Gromov-Hausdorff Space
我们提供了一个替代的，建设性的证明，集合$\mathcal{M}$的等距类的紧度量空间赋予的Gromov-Hausdorff距离是一个测地空间。我们证明的核心是在$\mathcal{M}$上构造显式测地线。我们还提供了几个有趣的$\mathcal{M}$上的测地线的例子，包括任何$n\geq 1$的$\mathbb{S}^0$和$\mathbb{S}^n$之间的测地线。
2018-03-19 math.MG
Calculation of Minimum Spanning Tree Edges Lengths using Gromov--Hausdorff Distance
在本文中，我们展示了如何可以计算的最小生成树的边的长度构造一个有限的度量空间，从这个空间的Gromov-Hausdorff距离足够大的直径的单形。这里的单形是指有限的度量空间，它们的非零距离都是相同的。作为应用，我们把寻找Steiner最小树长或最小填充长度的问题归结为最大化作为Gromov-T2空间的点的有限个单形的总距离.
2016-05-05 math.MG
When the Gromov-Hausdorff distance between finite-dimensional space and its subset is finite?
本文刻画了有限维欧几里得空间中子集与全空间Gromov-Hausdorff距离有限的条件，即子集为某ε-网，并指出该结论在无穷维情形不成立。
2024-11-20 math.MG
The Gromov-Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic
证明了紧度量空间的空间上的Gromov-Hausdorff度量在等距上是严格内禀的，即，相应的度量空间是测地线的。换句话说，这个空间（每两个紧的度量空间）的每两点都可以通过测地线连接。对于有限度量空间，显式地构造了测地线。
2015-04-15 math.MG
Embeddings to Rectilinear Space and Gromov-Hausdorff Distances
本文证明了有限度量空间能否嵌入$m$维直线空间的问题，可转化为特殊有限度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离问题。
2024-12-26 math.MG
Fractal dimensions in the Gromov--Hausdorff space
本文首先证明了对于所有四个非负实数，存在一个Cantor超度量空间，它的豪斯多夫维数，packing维数，上盒维数和Assouad维数分别等于给定的四个数.其次，利用度量空间的直和构造了任意紧可度量空间到Gromov-T2 T2空间的拓扑嵌入，证明了所有具有给定拓扑维数的紧度量空间的集合和所有具有上述4个维数的紧超度量空间的集合是路径连通的且具有无穷拓扑维数.这一观察超度量提供了另一个证明邱的定理，说明阿基米德和非阿基米德格罗莫夫-豪斯多夫距离的比例是无界的。
2022-12-10 math.MG
Isometric Embeddings of Bounded Metric Spaces into the Gromov-Hausdorff Class
证明了任何有界度量空间都可以等距嵌入到Gromov-Hausdorff度量类GH中.这个结果是局部几何描述类GH在一个足够小的邻域一般度量空间的一个后果。这种描述本身就很有趣。最佳的对应关系和它们的失真的技术被使用。
2022-03-06 math.MG
Gromov-Hausdorff distance and Jung constant of finite-dimensional normed spaces
研究有限维赋范空间\(V\)及与\(V\)有有限豪斯多夫距离的子集\(X\)，通过证明得出\(X\)与\(V\)的格罗莫夫 - 豪斯多夫距离和豪斯多夫距离、容格常数的关系，特定条件下有更强结论。
2026-07-22 math.MG
The Gromov-Hausdorff Distances between Simplexes and Ultrametric Spaces
本文研究了有界度量空间$X$与所谓的单纯形之间的Gromov-Hausdorff距离，所有非零距离都相同的度量空间。在单形的基数不超过$X$的基数的情况下，得到了一个新的距离公式。后者允许导出一个精确的公式之间的距离单纯形和超度量空间。
2019-07-08 math.MG
Calculating Gromov-Hausdorff Distance by means of Borsuk Number
本文的目的是证明Gromov-Hausdorff距离的性质和Borsuk猜想之间的联系。给定有界度量空间$X$的Borsuk数是基数$n$的下确界，使得$X$可以被划分为$n$更小的部分（在直径的意义下）。在有界度量空间的直径和基数分别小于另一个空间的直径和Borsuk数的假设下，得到了有界度量空间之间Gromov-Hausdorff距离的一个精确公式.利用Lusternik-Schnirelmann问题与Borsuk问题之间的Bacon等价性的结果，得到了几个推论.
2022-03-08 math.MG
Ahlfors regular conformal dimension and Gromov-Hausdorff convergence
本文证明了 Ahlfors 正则共形维数在一致完全、一致拟自相似度量空间类上关于 Gromov-Hausdorff 收敛的上半连续性，并在等变基点收敛下对离散拟凸余紧群的极限集证明了其连续性。
2023-07-10 math.MG
The Gromov-Hausdorff distance between $l^p$-products of metric spaces
本文研究了度量空间 $l^p$-乘积的 Gromov-Hausdorff 距离，证明了 $l^\infty$-乘积与原空间的 Gromov-Hausdorff 距离等于直径的一半。
2026-02-28 math.MG
Metric trees in the Gromov--Hausdorff space
利用度量空间的楔形和，对所有紧可度量空间，构造了紧可度量空间到Gromov-T2空间中所有具有有限预定值的度量树的集合的拓扑嵌入.作为其应用，我们证明了所有度量树的集合都是路连通的，并且它的所有非空开子集都具有无穷拓扑维数。
2021-12-10 math.MG
Gromov--Hausdorff Distance, Irreducible Correspondences, Steiner Problem, and Minimal Fillings
我们引入不可约的对应，使我们能够有效地计算Gromov-Hausdorff距离。通过这些对应，我们证明了在赋最大范数的空间$R^3$中，由不超过$3$点组成的度量空间的集合与多面体锥等距.证明了对于任何$3$ -点度量空间，如果所有的三角不等式在其中都是严格的，则存在一个邻域，使得以该邻域为边界的Steiner极小树（在Gromov-T2空间中）是极小填充，即，不可能通过等距地将这些树的边界嵌入到任何其它周围度量空间中来减小这些树的长度。另一方面，我们构造了一个$3$ -点边界的例子，它的点是$3$ -点度量空间，使得它在Gromov-T2空间中的Steiner极小树不是极小填充.后者证明了T2空间的Steiner子比小于1。不可约对应使我们能够创建一个快速算法来计算有限度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离。我们进行了数值实验，并获得了更精确的上估计的Steiner子比：我们已经表明，它是小于$0.857$。
2016-04-20 math.MG
An Isometric Embedding of the $\ell^\infty$ product space of two bounded subspaces of the Gromov-Hausdorff Space into the Gromov-Hausdorff Space
本文证明了Gromov-Hausdorff空间中两个有界子空间的$\ell^\infty$乘积空间可等距嵌入到Gromov-Hausdorff空间，建立了乘积空间与目标空间的等距关系。
2025-02-27 math.GN math.MG
Geometry of Compact Metric Space in Terms of Gromov-Hausdorff Distances to Regular Simplexes
本文研究了紧度量空间的几何特征，这些特征可以用单形的Gromov-Hausdorff距离来描述，即，到有限度量空间，使得它们的所有非零距离彼此相等。事实证明，这些Gromov-Hausdorff距离依赖于紧度量空间的有限划分的一些几何特征;其中一些特征可以被认为是最小生成树的边长的自然模拟。因此，我们构造了一个意想不到的例子，一个连续族的两两非等距有限度量空间具有相同的距离，所有的单形。
2016-07-22 math.MG
Gromov-Hausdorff Geometry of Metric Trees
本文研究无有限性限制的度量树，得出了保证子集到整个树的Hausdorff距离与Gromov--Hausdorff距离相等的条件，并据此在所有度量空间的真类中构造出连接该子集与树本身的新一类最短测地线。
2024-12-25 math.MG
On the Gromov-Hausdorff distance between the cloud of bounded metric spaces and a cloud with nontrivial stabilizer
本文研究了度量空间在零Gromov-Hausdorff距离下的等价类（云），证明了云是真类，并证明在一定限制下有界度量空间云与具有非平凡稳定子的云之间的距离有限。
2025-05-29 math.MG
Embedding-Projection Correspondences for the estimation of the Gromov-Hausdorff distance
本文提出嵌入-投影对应（EPCs）用于估计紧度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离，并重点研究不同维度球面之间的EPCs。
2024-07-03 math.MG
Continua in the Gromov--Hausdorff space
首先证明了在具有有限个给定值的Gromov-T2空间中，对所有的紧可度量空间，存在紧可度量空间到每个连通的、路连通的、测地线的或CAT（0）的紧度量空间集合的拓扑嵌入.作为其应用，我们证明了上述集合是路连通的，其非空开子集具有无穷拓扑维数。用同样的方法，我们还证明了所有真CAT（0）空间的集合是道路连通的，并且它的非空开子集关于点Gromov-Hausdorff距离具有无穷拓扑维数.
2022-02-19 math.MG
Metrization of the Gromov-Hausdorff (-Prokhorov) Topology for Boundedly-Compact Metric Spaces
在这项工作中，度量上的有界紧点度量空间，生成的Gromov-Hausdorff拓扑。一个类似的度量被定义为生成Gromov-Hausdorff-Prokhorov拓扑的度量度量空间。这扩展了以前的作品，只考虑长度空间或离散度量空间。这些度量的完备性和可分性也得到了证明。因此，它们为研究随机（可测）有界紧点度量空间提供了测度论上的要求，这也是本文的主要动机。此外，我们提出了一个推广的经典定理的Strassen是独立的利益。这种推广证明了两个有限测度的Prokhorov距离的等价公式，它们可能具有不同的总质量，在近似耦合方面。对于紧空间的Gromov-Hausdorff-Prokhorov度量，也证明了一个Strassen型结果.
2019-01-19 math.MG
Gromov-Hausdorff convergence of maximal Gromov hyperbolic spaces and their boundaries
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）
研究最大Gromov超几何空间及其边界的连续性性质，证明准度量反向空间序列的近等距收敛等价于最大Gromov超几何空间的Gromov-Hausdorff收敛，且边界等连续性假设下边界也收敛。
2025-03-13 math.MG
Clouds in Gromov-Hausdorff Class: their completeness and centers
本文研究了所有具有Gromov-Hausdorff距离的度量空间的真类.它的最大子类，由彼此之间有限距离的空间组成，我们称之为云。将度量空间中的所有距离乘以同一个正实数，得到Gromov-Hausdorff类的一个相似变换。在我们以前的工作中，我们观察到，通过这种转变，一些云可以跳到其他云。为了描述这种现象，我们研究了相似作用的稳定剂。在本文中，我们证明了每个具有非平凡稳定子的云都有一个中心，即，一个度量空间，对于该度量空间，来自稳定器的所有相似性在零距离处生成一个新的空间。此外，中心是模零距离唯一的。证明是基于云完备性定理。
2022-02-15 math.MG
Every Compact Metric Space Is Isometrically Embeddable into the Gromov-Hausdorff Space
本文证明每个非空紧致度量空间均可等距嵌入Gromov-Hausdorff空间，通过将1-Lipschitz函数族实现为Cantor空间上的度量族，并给出有限逼近与精确距离公式。
2026-11-05 math.MG
Embeddability and rectifiability of Lipschitz differentiability spaces
本文通过可分解束和爆破分析，证明了双Lipschitz嵌入RNP空间的Lipschitz可微空间可数可修正，并给出新的刻画及解决Le Donne问题。
2026-09-09 math.MG
New geodesic lines in the Gromov-Hausdorff class lying in the cloud of the real line
本文证明了在 Gromov-Hausdorff 类中，由无界子集与有界度量空间构成的乘积曲线是测地线，并指出整数格缩放曲线不连续，从而不是测地线。
2025-04-20 math.MG
Approximate Gromov--Hausdorff continuity of magnitude and weighting
Department of Mathematics, The University of Osaka（大阪大学数学系）
本文针对有限度量空间的Magnitude在Gromov–Hausdorff拓扑下的不连续性，从测度论角度证明其不连续性非通有，固定簇点数后Magnitude近似连续，簇坍缩时加权值近似收敛，核心工具为奇异矩阵逆的近似极限结果。
2026-09-01 math.MG
Convexity of Balls in Gromov--Hausdorff Space
本文研究了具有Gromov-Hausdorff距离的所有非空紧度量空间的空间$\mathcal{M}$.我们证明了中心在单点空间的$\mathcal{M}$中的每个球在弱意义下是凸的，即，这样的球的每两个点可以由属于该球的最短曲线连接，然而，这样的球在强意义上不是凸的：连接球的点的每一条最短曲线都属于该球是不正确的。我们还证明了，一个球的半径足够小，中心在一般位置的空间是凸的在弱意义上。
2018-04-19 math.MG
Characterization of Gromov-type geodesics
已知紧致度量空间的所有等距类的集合$\mathcal{M}$是一个测地空间，该集合具有Gromov-Hausdorff距离$d_\mathcal{GH}$。然而，在$\mathcal{M}$中没有已知的测地线结构表征。在本文中，我们提供了两个这样的特征。我们首先证明了每个Gromov-Hausdorff测地线实际上是某个紧度量空间的Hausdorff超空间中的测地线，我们称之为Hausdorff测地线。受此特征的启发，我们进一步阐明了Hausdorff测地线和Wasserstein测地线之间的结构连接：每个Hausdorff测地线都等价于所谓的Hausdorff位移插值。这种等价性使我们能够建立每一个Gromov-Hausdorff测地线是动态的，这是我们在最优输运理论中与动态最优耦合类比发展的一个概念。除了$\mathcal{M}$中的测地线外，我们还研究了紧度量测度空间的同构类的集合$\mathcal{M}^w$上的测地线。Sturm在$\mathcal{M}^w$上构造了一族Gromov型距离，记作$d_{\mathcal{GW},{p}}^\mathrm{S}$（对于$p\in[1,\infty)$），并证明了$(\mathcal{M}^w,d_{\mathcal{GW},{p}}^\mathrm{S})$也是一个测地空间.我们感兴趣的是$d_{\mathcal{GW},{…
2021-05-17 math.MG
Gromov-Hausdorff hyperspace of nonnegatively curved $2$-spheres
研究了非负曲$2$ -球面等距类集合上的Gromov-Hausdorff度量的拓扑性质。
2017-06-07 math.DG math.MG
Gromov-Hausdorff distances between quotient metric spaces
本文研究群作用下度量空间及其商空间之间Hausdorff距离与Gromov-Hausdorff距离的关系，证明前者在G-不变子集上保持相等，而后者可被构造得任意大或任意小。
2024-10-19 math.MG
Gromov-Hausdorff Limits of Closed Surfaces
本文完全描述了与固定闭曲面同胚的长度空间类的Gromov-Hausdorff闭包。
2023-09-10 math.DG math.MG
Gromov-Hausdorff class: its completeness and cloud geometry
本文主要研究Gromov-Hausdorff真类，它由直到等距的所有度量空间组成。在这一类中，一个广义Gromov-Hausdorff伪度量的引入和由此产生的空间的几何进行了研究。第一个主要结果是空间完备性的证明，即，证明了所有的基本序列都收敛于其中，然后将空间划分为由彼此相距有限距离的空间组成的极大真子类。我们把这样的子类称为云。乘法相似性组对云进行操作，将每个度量空间的所有距离乘以某个正数。我们提出的相似性映射的例子转移到另一个云。我们还表明，如果一个云包含一个空间，在所有相似性的作用下，它与自己保持零距离，那么这样的云收缩到这个空间。在最后一部分中，我们调查的子集的实数线就其行为下的各种相似性。
2021-10-12 math.MG
Some novel constructions of optimal Gromov-Hausdorff-optimal correspondences between spheres
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文提供了Harrison和Jeffs最近结果的替代证明，确定了圆和n维球面之间的Gromov-Hausdorff距离，并证明了S³和S⁴之间的距离为1/2 arccos(-1/4)，解决了Lim等人提出的猜想。
2026-04-14 math.MG
Quasi-isometric modification of Gromov-Hausdorff distance
V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RAS（俄罗斯科学院瓦·阿·特拉佩兹尼科夫控制科学研究所）；Lomonosov Moscow State University（莫斯科罗蒙诺索夫国立大学）
本文定义了一种类似于Gromov-Hausdorff距离的距离，用于比较任意拟等距空间，并研究了在该距离下极限保持的性质以及全体度量空间类赋予该距离后的性质。
2026-06-11 math.MG
Gromov-Hausdorff distance and stability of dynamical systems
本文引入F-空间概念与对应的格罗莫夫-豪斯多夫距离，定义动力系统间的新距离，证明其保持两类稳定性，研究豪斯多夫映射性质，还改进距离并计算环面平移的精确距离。
2026-10-06 math.MG
