大筛法的谱分解
A spectral resolution of the large sieve
AI总结：
本文利用单参数核差分算子族的特征值，对 $Q\ge N^{7/8}$ 时的大筛法二次型进行完整谱分析，并证明在 $Q\asymp N$ 时其可在小维数空间上偏离期望的 Riemann 和行为。
摘要：
二次型 $V(φ,Q)=\sum_{q\sim Q}\sum_{a\mod^* q}|S(φ,a/q)|^2$ 及其特征值在 $Q=o(\sqrt{N})$ 时已被充分理解，而在 $N=o(Q)$ 时，$V(φ,Q)$ 预期表现得像一个 Riemann 和。在 $Q\in[\sqrt{N},100N]$ 范围内的行为仍然神秘。在本工作中，我们通过一个单参数核差分算子族的特征值，给出了 $Q\ge N^{7/8}$ 时的完整谱分析。我们特别表明，当 $Q\asymp N$ 时，二次型 $V(φ,Q)$（的一个平滑版本）可能远离 $(6/\pi^2)Q\sum_n|\phi_n|^2$，尽管这仅发生在一个维数为正但很小的向量空间上。本文的改进版（同名）将于2024或2025年发表在《法国数学会公报》上。
英文摘要：
The quadratic form $V(φ,Q)=\sum_{q\sim Q}\sum_{a\mod^* q}|S(φ,a/q)|^2$ and its eigenvalues are well understood when $Q=o(\sqrt{N})$, while $V(φ,Q)$ is expected to behave like a Riemann sum when $N=o(Q)$. The behavior in the range $Q\in[\sqrt{N},100 N]$ is still mysterious. In the present work we present a full spectral analysis when $Q\ge N^{7/8}$ in terms of the eigenvalues of a one-parameter family of nuclear difference operators. We show in particular that (a smoothed version of) the quadratic form $V(φ,Q)$ may stay \emph{away} from $(6/π^2)Q\sum_n|φ_n|^2$ when $Q\asymp N$, though only on a vector space of positive but small dimension. An improved version of this paper, with the same title, will appear (2024 or 2025) in the Bulletin of the French Mathematical Society.
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