本文研究了全空间$\mathbb{R}^n$和半空间$\mathbb{R}^n_+$上任意阶微分形式在不同尺度的函数空间即齐次和非齐次Besov和Sobolev空间，$\dot{\mathrm{H}}^{s,p}$，$\dot{\mathrm{B}}^{s}_{p,q}$，${\mathrm{H}}^{s,p}$和${\mathrm{B}}^{s}_{p,q}$上的Hodge分解，对所有的$p\in(1,+\infty)$，$s\in(-1+\frac{1}{p},\frac{1}{p})$ . Hodge Laplacian算子的有界全纯泛函微积分和其他泛函分析性质也在半空间中进行了研究，并通过证明的Hodge分解对Hodge-Stokes算子和其他相关算子产生了类似的结果。作为后果，齐次算子和插值理论重温Danchin，Hieber，Mucha和Tolksdorf适用于齐次函数空间的边界条件，并导致各种最大的正则性结果与全球的时间估计，可以使用在流体动力学。此外，Hodge Laplacian和Hodge分解之间的联系甚至使我们能够在正则性指标$s\in(-1+\frac{1}{p},2+\frac{1}{p})$下，用附加的相容性条件来描述高阶Sobolev和Besov空间的Hodge分解。为了使所有这些性质在所需的函数空间的意义，我们也给出了适当的意义上的边界上的部分traces在附录中。La raison d '{ê}tre的这篇文章在于这样一个事实，即所选择的实现齐次函数空间是适合于非线性和边值问题，但需要一个仔细的方法来reprove结果已经道德上已知的。
英文摘要：
In this article, the Hodge decomposition for any degree of differential forms is investigated on the whole space $\mathbb{R}^n$ and the half-space $\mathbb{R}^n_+$ on different scale of function spaces namely homogeneous and inhomogeneous Besov and Sobolev space, $\dot{\mathrm{H}}^{s,p}$, $\dot{\mathrm{B}}^{s}_{p,q}$, ${\mathrm{H}}^{s,p}$ and ${\mathrm{B}}^{s}_{p,q}$, for all $p\in(1,+\infty)$ , $s\in(-1+\frac{1}{p},\frac{1}{p})$. The bounded holomorphic functional calculus, and other functional analytic properties, of Hodge Laplacians is also investigated in the half-space, and yields similar results for Hodge-Stokes and other related operators via the proven Hodge decomposition. As consequences, the homogeneous operator and interpolation theory revisited by Danchin, Hieber, Mucha and Tolksdorf is applied to homogeneous function spaces subject to boundary conditions and leads to various maximal regularity results with global-in-time estimates that could be of use in fluid dynamics. Moreover, the bond between the Hodge Laplacian and the Hodge decomposition will even enable us to state the Hodge decomposition for higher order Sobolev and Besov spaces with additional compatibility conditions, for regularity index $s\in(-1+\frac{1}{p},2+\frac{1}{p})$. In order to make sense of all those properties in desired function spaces, we also give appropriate meaning of partial traces on the boundary in the appendix.La raison d'{ê}tre of this paper lies in the fact that the chosen realization of homogeneous function spaces is suitable for non-linear and boundary value problems, but requires a careful approach to reprove results that are already morally known.
Hodge-Dirac, Hodge-Laplacian and Hodge-Stokes operators in L^p spaces on Lipschitz domains
研究作用在Lp（$Ω$，λ）中的Hodge-Dirac算子D = d + $δ$，其中$Ω$是Rn中满足某种利普希茨条件的有界开子集，λ是Rn的外代数，d是作用在$Ω$上微分形式的de Rham复形上的外导数，$δ$是具有切向边界条件的内导数.在L2（$Ω$，λ）中，$δ$ = d * 且D是自伴的，因此在L2（$Ω$，λ）中有界预解式（I + itD）-1 t $\in$ R以及有界谓词演算.研究了p H \textless{} p \textless{} p H关于p = 2值域，其中D在Lp（$Ω$，λ）中具有有界预解式和有界全纯谓词演算.在我们称之为非常弱Lipschitz的域上，我们证明了这是与Lp（$Ω$，λ）具有Hodge（或Helmholz）分解的值的范围相同的值的范围，是包含2的开区间。Hodge-Laplacian Δ是Hodge-Dirac算子的平方，即--Δ = D2，所以当p H \textless{} p \textless{} p H时，它在Lp（$Ω$，λ）中也有界谓词演算.但是，具有Hodge边界条件的Stokes算子，即-Δ对Lp中无散度向量场的子空间的限制，（$Ω$，λ 1）具有切向边界条件，对于p的进一步值，即对于max{1，p H S } \textless{} p \textless{} p H，p H S是p H以下的Sobolev指数…
The spectrum of Schrödinger operators and Hodge Laplacians on conformally cusp manifolds
本文描述了共形尖点黎曼流形上的$k$ -形式拉普拉斯算子的谱.当边界的$k$和$k-1$ de Rham上同调群消失时，本质谱精确地消失.我们给出了纯离散情形下特征值计数函数的Weyl型渐近性。在另一种情况下，我们用正交换子方法分析了本质谱，并建立了极限吸收原理。这意味着没有奇异谱的一个广泛的类的度量。我们还展示了一类势$V$，使得薛定谔算子具有紧预解式，尽管$V$在大部分无穷远处趋于$-\infty$。本文纠正了文献中关于有限体积双曲流形上的拉普拉斯算子的本质谱的一个说法，并提出了关于四维中尖点为有理同调球面的这种流形的存在性的一个猜想.
