Yamamoto定理关于奇异值的一个更强形式
A stronger form of Yamamoto's theorem on singular values
AI总结：
本文证明了矩阵序列$|A^n|^{1/n}$范数收敛于半正定矩阵$H$，其特征值模与$A$的特征值模一致，从而强化了Yamamoto定理，并应用于矩阵指数的渐近行为。
摘要：
对于矩阵$T \in M_m(\mathbb{C})$，令$|T| := \sqrt{T^*T}$。对于$A \in M_m(\mathbb{C})$，我们证明矩阵序列$\big\{ |A^n|^{\frac{1}{n}} \big\}_{n \in \mathbb{N}}$在范数意义下收敛到一个半正定矩阵$H$，其第$j$大的特征值等于$A$的第$j$大的特征值模（对于$1 \le j \le m$）。实际上，我们给出了$H$的谱投影的显式描述，该描述基于$A$在其Jordan-Chevalley分解中可对角化部分的特征空间。这给出了Yamamoto定理的一个更强形式，该定理断言$\lim_{n \to \infty} s_j(A^n)^{\frac{1}{n}}$等于$A$的第$j$大的特征值模，其中$s_j(A^n)$表示$A^n$的第$j$大的奇异值。此外，我们还讨论了这些结果对矩阵指数函数$t \mapsto e^{tA}$的渐近行为的应用。
英文摘要：
For a matrix $T \in M_m(\mathbb{C})$, let $|T| : = \sqrt{T^*T}$. For $A \in M_m(\mathbb{C})$, we show that the matrix sequence $\big\{ |A^n|^{\frac{1}{n}} \big\}_{n \in \mathbb{N}}$ converges in norm to a positive-semidefinite matrix $H$ whose $j^{\textrm{th}}$-largest eigenvalue is equal to the $j^{\textrm{th}}$-largest eigenvalue-modulus of $A$ (for $1 \le j \le m$). In fact, we give an explicit description of the spectral projections of $H$ in terms of the eigenspaces of the diagonalizable part of $A$ in its Jordan-Chevalley decomposition. This gives us a stronger form of Yamamoto's theorem which asserts that $\lim_{n \to \infty} s_j(A^n)^{\frac{1}{n}}$ is equal to the $j^{\textrm{th}}$-largest eigenvalue-modulus of $A$, where $s_j(A^n)$ denotes the $j^{\textrm{th}}$-largest singular value of $A^n$. Moreover, we also discuss applications to the asymptotic behaviour of the matrix exponential function, $t \mapsto e^{tA}$.
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