We analyze the convergence of the $k$-opinion Undecided State Dynamics (USD) in the population protocol model. For $k$=2 opinions it is well known that the USD reaches consensus with high probability within $O(n \log n)$ interactions. Proving that the process also quickly solves the consensus problem for $k>2$ opinions has remained open, despite analogous results for larger $k$ in the related parallel gossip model. In this paper we prove such convergence: under mild assumptions on $k$ and on the initial number of undecided agents we prove that the USD achieves plurality consensus within $O(k n \log n)$ interactions with high probability, regardless of the initial bias. Moreover, if there is an initial additive bias of at least $Ω(\sqrt{n} \log n)$ we prove that the initial plurality opinion wins with high probability, and if there is a multiplicative bias the convergence time is further improved. Note that this is the first result for $k > 2$ for the USD in the population protocol model. Furthermore, it is the first result for the unsynchronized variant of the USD with $k>2$ which does not need any initial bias.
Fast Consensus via the Unconstrained Undecided State Dynamics
我们考虑了$n$代理之间的多数共识问题。最初，每个代理具有$k$不同意见之一。智能体选择随机的交互伙伴，并根据自己的状态和交互伙伴的状态，根据一个固定的转换函数修改自己的状态。目标是达成一个共识配置，其中所有代理人都同意相同的意见，如果最初对一个意见有足够大的偏见，那么该意见应该占上风。我们分析了一个同步变量的未决定的状态动态定义如下。代理分阶段行动，包括决策和推进部分。在决策部分，任何遇到不同意见的代理人的代理人都变得犹豫不决。在助推部分，未决定的代理人采用他们遇到的第一个意见。我们在人口模型和流言模型中考虑这种动力学。对于群体模型，我们的协议达成共识（w. h. p.）在$O(\log^2 n)$并行时间中，提供$k > 2$（w. h. p.）in this model模型.在没有任何关于偏差的假设的情况下，仅针对未决定状态动态的非同步版本的$k = 2$示出了快速一致性[Clementi等人，MFCS'18]。我们表明，未决定的状态动力学的同步变体达到共识（w. h. p.）在时间$O(\log^2 n)$，独立于最初的数量，偏见，或意见的分布。在这两个模型中，我们保证，如果存在$Ω(\sqrt{n \log n})$的初始偏差，则（w. h. p.）这个观点赢了。我们的协议在八卦模型中的一个简单的扩展产生了一个动态，不依赖于$n$或$k$，是匿名的，并具有（w. h. p…
Breathe before Speaking: Efficient Information Dissemination Despite Noisy, Limited and Anonymous Communication
分布式计算模型通常假定处理器之间的通信可靠。虽然这样的假设通常适用于工程网络，例如，由于潜在的纠错协议，它们与生物系统的相关性非常有限，在生物系统中，消息在到达目的地之前经常被扭曲。在这项研究中，我们采取了第一步，通过严格分析由简单的代理人组成的大型匿名人群中的通信模型，通过简短和高度不可靠的消息进行交互，以减少这种差距。我们重点讨论广播问题和多数人一致性问题。两者都是分布式计算中的基本信息传播问题，其中代理的目标是收敛到某些指定的期望意见。我们开始研究这些问题中存在的通信噪声。我们的通信模型非常弱，并且遵循推送八卦通信范式：在每一轮中，希望发送信息的每个代理都会向随机的匿名代理发送消息。这种通信被进一步限制为仅包含一个比特（基本上表示意见）。最后，假设系统噪声很大，对于一些小的$ε>0$，发送的每个消息中的比特以概率$1/2-ε$独立翻转。即使在这个严格限制，随机和嘈杂的设置，我们给自然的协议，有效地解决了嘈杂的广播和嘈杂的多数共识问题。我们的协议在$O(\log n / ε^2)$轮中运行，总共使用$O(n \log n / ε^2)$消息/位，其中$n$是代理的数量。这些界限是渐近最优的，事实上，是快速和有效的消息，如果每个代理将同时直接通知代理知道规定的期望意见。
