Cover and Hitting Times of Hyperbolic Random Graphs
Universidad de Chile（智利大学）；Johannes-Gutenberg-U. Mans, Mainz（约翰内斯·古腾堡大学，美因茨）；University of Liverpool（利物浦大学）
研究双曲随机图中随机游走的覆盖与击中时间，揭示了覆盖时间、最大击中时间和平均击中时间的渐进行为。
2024-05-01 cs.DM math.CO math.PR
Kernelization Dichotomies for Hitting Subgraphs under Structural Parameterizations
本文研究了$H$-SUBGRAPH HITTING问题在结构参数化下的多项式核存在性，提出了新图参数并证明了当$H$双连通时该问题存在多项式核当且仅当$H$是团的严格二分法。
2024-04-25 cs.CC cs.DS math.CO
Random cliques in random graphs and sharp thresholds for $F$-factors
我们表明，对于每个$r\ge 4$，在一个密度范围内延伸到，并稍微超过，阈值的$K_r$ -因子，$K_r$的副本在随机图$G(n,p)$随机分布，在（单侧）的意义上说，他们形成的超图包含一个副本的二项式随机超图几乎完全正确的密度。因此，Jeff Kahn最近在Shamir的超图匹配问题中给出的阈值的渐近锐界意味着$G(n,p)$的阈值包含一个$K_r$ -因子。案件$r=3$是更困难的，并已解决了安妮卡海克尔。我们还证明了相应的结果$K_r^{(t)}$ -因素随机$t$ -一致超图，以及（在某些情况下较弱）的推广，取代$K_r$由某些其他（超）图。
2022-06-09 math.CO math.PR
The hitting time of nice factors
本文将完全 u-图的过程耦合方法推广到 nice u-图，从而把 K_r-因子的命中时间结果扩展到更广泛的 nice u-图类，并引入适用于严格 1-平衡 u-图的新论证。
2024-10-22 math.CO math.PR
Cliques in rank-1 random graphs: the role of inhomogeneity
研究了秩为1的非齐次随机图中团数的渐近性质，其中顶点间的边概率与其顶点权的乘积大致成正比。我们表明，团数集中在最多两个连续的整数，我们提供了一个表达式。有趣的是，团数的顺序主要由整体边缘密度决定，不均匀性仅影响乘法常数或增加至多一个$\log\log(n)$乘法因子。对于足够稀疏的图，团数总是有界的，不均匀性的影响完全消失。
2019-03-29 math.CO math.PR
Bounds for the Clique Cover Width of Factors of the Apex Graph of the Planar Grid
$G$的{ \it团覆盖宽度}，用$ccw(G)$表示，是通过将$G$的团覆盖中的团收缩为单个顶点而获得的所有图的带宽的最小值。对于$i=1,2,...,d,$，设$G_i$是一个具有$V(G_i)=V$的图，而$G$是一个具有$V(G)=V$和$E(G)=\cap_{i=1}^d(G_i)$的图，那么我们写$G=\cap_{i=1}^dG_i$，并称每个$G_i,i=1,2,...,d$为$G$的一个因子。我们感兴趣的情况下，$G_1$是弦，和$ccw(G_i),i=2,3...,d$的每个因素$G_i$是“小”。这里我们给出了一个否定的结果。具体地，令${\hat G}(k,n)$是通过将度为$n^2$的一组$k$顶点连接到$n\times n$网格的所有顶点，然后在这些$k$顶点中添加一些可能的边而获得的图。我们证明，如果${\hat G}(k,n)=\cap_{i=1}^dG_i$，与$G_1$弦，那么，$max_{2\le i\le d}\{ccw(G_i)\}\ge {n^{1\over d-1}\over 2.{(2c)}^{1\over {d-1}}}$，其中$c$是一个常数。此外，对于$d=2$，我们构造了一个弦图$G_1$和一个具有$ccw(G_2)\le {n\over 2}+k$的图$G_2$，使得${\hat G}(k,n)=G_1\cap G_2$。最后…
2016-02-17 cs.DM math.CO
The jump of the clique chromatic number of random graphs
本文解决了随机图 G_{n,p} 在边概率 p≈n^{-1/2} 附近团色数发生多项式级跳跃的公开问题，并利用近似与集中性方法确定了任意边概率下团色数至多相差对数因子。
2021-05-25 cs.DM math.CO math.PR
Clique-factors in graphs with sublinear $\ell$-independence number
给定一个图$G$和一个整数$\ell\ge 2$，我们用$α_{\ell}(G)$表示$V(G)$中无$K_{\ell}$顶点子集的最大尺寸. Nenadov和Pehova最近的一个问题要求确定$n$ -顶点图$G$与$α_{\ell}(G) = o(n)$中的最佳可能的最小度条件，这可以看作是著名的Hajnal-Szemerédi定理的Ramsey-Turán变体。本文对所有$r\ge \ell\ge 2$，找到了具有$α_\ell(G)=n^{1-o(1)}$的$n$ -顶点图$G$中$K_r$ -因子的渐近最小度阈值.
2023-02-20 math.CO
Near-perfect clique-factors in sparse pseudorandom graphs
证明了对任意$t\ge 3$，存在一个常数$c=c(t)>0$，使得任意具有第二大特征值$λ$且满足$λ\le c d^{t-1}/n^{t-2}$的$d$ -正则$n$ -顶点图都包含$K_t$的顶点不相交副本，该副本至多覆盖$n^{1-1/(8t^4)}$顶点.这为Krivelevich、Sudakov和Szábo的猜想[ \emph{Triangle factors in sparse pseudo-random graphs}，Combinatorica \textbf{24}（2004），pp.~ 403--426]证明了对于一个适当小的绝对常数~ $c>0$，具有$n\in 3\mathbb{N}$和$λ\leq cd^{2}/n$的$(n,d,λ)$ -图含有三角形因子.
2018-06-01 math.CO
Hitting all maximum stable sets in $P_5$-free graphs
本文引入图类的 $η$-有界性概念，证明 $P_5$-free 图是 $η$-有界的，并证明当 $H$ 是 $P_5$ 的真诱导子图时 $H$-free 图是多项式 $η$-有界的。
2024-01-16 math.CO
Clique factors in random samplings of regular graphs
Data Science Institute, Shandong University（山东大学数据科学研究所）；School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
该研究证明了在足够大的正则图中存在大量子集，使得这些子集包含特定的团因子，并验证了相关猜想。
2025-12-23 math.CO
The threshold bias of the clique-factor game
设$r \ge 4$是一个整数，并考虑以下关于$n \in r \mathbb{Z}$的完全图$K_n$上的博弈：两个参与者，Maker和Breaker，交替要求先前未要求的$K_n$的边，使得在每一回合中Maker要求一条边，Breaker要求$b \in \mathbb{N}$边。如果Maker的图包含一个$K_r$ -因子，即$K_r$的$n/r$顶点不相交副本的集合，则Maker获胜，否则Breaker获胜。换句话说，我们考虑一个$b$偏向的$K_r$因子制造者-破坏者博弈。我们表明，这个游戏的阈值偏差是为了$n^{2/(r+2)}$。这为确定生成有界度生成图的阈值偏差迈出了一步，并推广了Allen等人的结果。他将病例$r \in \{3,4\}$解决到对数因子。
2020-02-07 math.CO
Factoring complete graphs and hypergraphs into factors with few maximal cliques
本文研究将完全超图分解为因子时极大团总数的最小值，推广已知的图情形，并刻画达到次优值的图。
2023-09-01 math.CO
On the product dimension of clique factors
图$G$的积维数是$G$的最小可能的正确顶点着色数，使得对于每对$u,v$不相邻的顶点，至少有一个着色，其中$u$和$v$具有相同的颜色。每个大小为$s$的$r$团的顶点不相交并集的乘积维数$Q(s,r)$是多少？Lovász，Nešethabil和Pultr在1980年证明了对于$s=2$它是$(1+o(1)) \log_2 r$，并提出了估计这个函数对于较大值的$s$的问题。我们发现，对于每一个固定的$s$，答案仍然是$(1+o(1)) \log_2 r$的$o(1)$长期趋于$0$的$r$趋于无穷大，但问题的渐近行为的$Q(s,r)$时，$s$和$r$一起增长仍然开放。证明结合了线性代数工具与方法的加尔加诺，Körner，和瓦卡罗对斯珀纳能力的有向图。
2020-02-26 math.CO
Clique factors in Kneser graphs
对于$k,n\in \mathbb{N}$，Kneser图$K(n,k)$是具有点集$V=[n]^{(k)}$和边集$E=\{\{x,y\} \in V^{(2)}: x\cap y=\emptyset\}$的图。Chen证明了对于$n\geq 3k$，Kneser图是Hamilton图。类似地，对于具有Hajnal和Szemerédi关于团因子的最小度条件的结果以及Komlós、Sárközy和Szemerédi的Pósa-Seymour猜想及其对大型图的解决方案的图，下一步是询问Kneser图中的团因子和Hamilton圈的幂。对于$k,\ell\in \mathbb{N}$，令$n(k,\ell)$为最小整数，使得对于$n\geq n(k,\ell)$，$K(n,k)$包含哈密尔顿循环的$\ell$次幂。卡托纳强调，除了100%的例外，$n(k,\ell)=(\ell+1)k+1$仍然有效。特别是，了解$n(k,\ell)$在$k$中是否是线性的（对于固定的$\ell$）将是有趣的。到目前为止，$k\geq 2$还不知道这一点。在本说明中，我们采取的第一步，这样一个线性的界限证明，对于$\ell\in \mathbb{N}$，$k\geq \ell$和$n\geq \ell ^3k$，但最多$K(n,k)$的$\ell-1$顶点可以划分成大小$\ell$集团。此外，我们使用我…
2019-11-26 math.CO
On the Termination of Some Biclique Operators on Multipartite Graphs
我们定义了一个新的图算子，称为弱因子图，它来自复杂网络建模的背景下。弱因子算子接近于著名的图算子，但它在多部图中是以双列格来运算的。我们解决的问题，一系列的图的终止迭代应用弱因子算子从一个给定的输入图。至于cander-graph算子，事实证明，有些图会产生不终止的级数。因此，我们设计了一个轻微的变化的弱因子运营商，称为清洁因子，并证明其相关的系列终止所有输入图。此外，我们表明，该系列终止的多部图有一个非常好的组合结构：我们表现出它的顶点和链的包含顺序的输入图的最大集团的交叉点之间的双射。
2021-03-07 cs.DM cs.DS math.CO
Clique-factors in sparse pseudorandom graphs
University of Rhode Island（罗德岛大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
证明对于任意t≥3，存在常数c>0和n0，使得任何d-正则n顶点图G，若t整除n且n≥n0，且第二大特征值绝对值λ满足λ≤c d^t/n^{t-1}，则G包含一个K_t-因子。
2026-06-23 math.CO
Proof of the 1-factorization and Hamilton decomposition conjectures IV: exceptional systems for the two cliques case
在一系列的四篇论文中，我们证明了以下结果（通过一个统一的方法），所有足够大的$n$：（i）[1-因子分解猜想]假设$n$是偶数和$D\geq 2\lceil n/4\rceil -1$。则每一个在$n$顶点上的$D$ -正则图$G$都分解为完美匹配.等同物，$χ'(G)=D$。(ii)[Hamilton分解猜想]假设$D \ge \lfloor n/2 \rfloor $ .则每一个在$n$顶点上的$D$ -正则图$G$都有一个Hamilton圈的分解和至多一个完美匹配. (iii)本文证明了一个关于给定最小度的图中边不交Hamilton圈个数的最优结果。根据狄拉克的说法，（i）最早是在20世纪50年代提出的。(ii)（3）回答1970年Nash-Williams提出的问题。上述边界是最好的可能。在目前的文件中，我们证明了稀疏图分解成路径系统的结果。当$G$接近于两个不相交的团的并集时，这些用于证明（i）和（ii）。
2014-10-23 math.CO
Embedding clique-factors in graphs with low $\ell$-independence number
以下问题由Nenadov和Pehova提出，并由Knierim和Su重申：给定带有$n\in r\mathbb{N}$的整数$\ell,r$和$n$，是否每个带有$δ(G) \ge \max \{ \frac{1}{2},\frac{r - \ell}{r} \}n + o(n)$和$α_{\ell}(G) = o(n) $的$n$ -顶点图$G$都包含$K_{r}$ -因子？我们给出了一个否定的答案的情况下，当$\ell\ge \frac{3r}{4}$通过给出一个家庭的建设，使用所谓的覆盖阈值，并表明，我们的建设给出的最小程度的条件是渐近最好的可能。也就是说，对于所有整数$r,\ell$和$r > \ell \ge \frac{3}{4}r$以及$μ>0$，存在$α> 0$和$N$，使得对于每个$n\in r\mathbb{N}$和$n>N$，每个$n$ -顶点图$G$和$δ(G) \ge \left( \frac{1}{2-\varrho_{\ell}(r-1)} + μ\right)n $以及$α_{\ell}(G) \le αn$包含一个$K_{r}$ -因子.这里$\varrho_{\ell}(r-1)$是在$\ell$独立数条件下$K_{r-1}$的Ramsey-Turán密度.
2021-11-20 math.CO
Random cliques in random graphs revisited
研究随机图 $G(n,p)$ 中给定图拷贝的分布，捕捉其与独立超图模型差异的主导项，并在更一般设定下证明结果，得出 $K_r$-因子数量的新上界。
2025-04-01 math.CO math.PR
Clique-factors in graphs with low $K_{\ell}$-independence number
本文证明了在最小度接近 n/2 且 K_{r-2} 独立数为 o(n) 的 n 顶点图中必存在 K_r-因子，解决了 Nenadov 和 Pehova 提出的首个未决情形，并通过两个下界构造完整回答了 Balogh 等人的问题。
2025-09-21 math.CO
Local Clique Covering of Graphs
一个单图G的k-团覆盖是指G的一个边被它的团覆盖，使得每个顶点至多包含在k个团中。G允许k-团覆盖的最小k称为G的局部团覆盖数，记为$lcc(G)$。局部团覆盖数可以看作是团覆盖数的局部对应，其等于覆盖所有边的团的最小总数。在本文中，这个问题的几个方面进行了研究，并讨论了它与其他知名问题的关系。此外，我们还研究了无爪图及其子类的局部团覆盖数。特别地，证明了每个无爪图的局部团覆盖数至多为$cΔ/ \logΔ$，其中$Δ$是图的最大度，$c$是泛常数.它还表明，该界是紧的，直到一个常数因子。进一步证明了线性区间图的局部团数是由$\logΔ+ 1/2 \log \logΔ+ O(1)$限定的.最后，作为副产品，得到了一个新的集合系统相交对的Bollobas型不等式。
2012-10-25 math.CO
A Note on Distance-Preserving Graph Sparsification
我们考虑以下类型的问题：给定一个图$G$，在最坏的情况下，需要多少条边的稀疏子图$H$，大约保持一组给定的节点对$P$之间的距离？例子包括成对spectors，距离转换器，可达性转换器，等等。有一种趋势，在该地区的简单结构的基础上的命中集技术，其次是稍微更复杂的结构，提高了从命中集的界限，大约一个$\log$的因素。在本文中，我们指出基于碰集的简单构造实际上并不需要额外的$\log$因子。这简化和统一了该领域的一些证明，并改进了来自$+4$ [Kavitha Th.补偿系统'17]到$O(np^{2/7})$。
2021-05-07 cs.DS math.CO
Average Hitting Times and Recurrence Structures I: Powers of Cycle Graphs
Faculty of Science and Engineering, Waseda University（早稻田大学理工学学术院）；Okegawa City Okegawa West Junior High School（行田市行田西初中）
本文研究了简单随机游走在循环图幂图上的平均到达时间，通过图拉普拉斯算子差分方程、傅里叶分析和差分算子分解，推导出平均到达时间的显式公式，并由此得到有效电阻、生成树数等组合量的显式表达。
2026-05-12 math.CO
On the number of cliques in graphs with a forbidden subdivision or immersion
一个图在$n$顶点上有多少个团，并且有一个禁止的子结构？这类极值问题已经研究了很长时间。本文研究了在$n$顶点上具有禁止团剖分或浸入的图的最大可能团数。我们证明了$t$足够大的$n \geq t$顶点没有$K_t$ -浸入的每个图最多有$2^{t+\log^2 t}n$团，这是尖锐的除了$2^{O(\log^2 t)}$因素。我们还证明了没有$K_t$ -细分的$n$ -顶点图中的最大团数至多为$2^{1.817t}n$。这改进了Lee和Oum最著名的指数常数。我们猜想，最佳的界限是$3^{2t/3 +o(t)}n$，因为我们证明了未成年人在早期的工作细分的地方。
2018-08-07 math.CO
Clique factors in pseudorandom graphs
一个$n$ -顶点图称为$(p,β)$ -双混杂图，如果对任何顶点集$A,B\subseteq V(G)$，我们有\[e(A,B)=p|A||B|\pm β\sqrt{|A||B|}.\].我们证明了对任何$3\leq r\in \mathbb{N}$和$c>0$，存在一个$\varepsilon>0$，使得任何具有$n\in r \mathbb{N}$，$δ(G)\geq cpn$和$β\leq \varepsilon p^{r-1}n$的$n$ -顶点$(p,β)$ -双混杂图包含一个$K_r$ -因子.这暗示了$(n,d,λ)$ -图的强伪随机概念的相应结果。对于三角形因子的情况，即当$r=3$时，这个结果解决了Krivelevich，Sudakov和Szabó从2004年开始的一个猜想，并且由于Alon的伪随机三角形自由结构，它是紧的。事实上，在这种情况下更是如此：作为这个结果的推论和Han，Kohayakawa，Person和作者的结果，我们可以得出结论，$β=o(p^2n)$的相同条件实际上保证了一个$(p,β)$ -双混杂图$G$包含$n$顶点上最大度至多为2的每个图。
2023-02-07 math.CO
Hitting all longest paths in $H$-free graphs and $H$-graphs
该研究提出结构定理细化最长路径横贯，给出无$P_t$图、无（bull, chair）图等遗传图类的最长路径横贯数常数上界，并证明连通$H$-图的最长路径横贯数存在仅依赖$H$的常数上界。
2025-10-21 cs.DM math.CO
The complete picture for clique factors in randomly perturbed graphs
Adam Mickiewicz University（亚当·密茨凯维奇大学）；University of Zagreb（萨格勒布大学）；Universität Hamburg（汉堡大学）
研究随机扰动图中团因子的存在概率，确定阈值p，完成对α>1/2情况的分析，证明了极端结果的稳定性版本。
2026-03-23 math.CO
Rainbow clique subdivisions
本文证明平均度至少为 $(\nlog n)^{2+o(1)}$ 的适当边着色图必含大小为 $t$ 的完全图的彩虹细分，并由此得到循环彩虹 Turán 数的相关结果。
2023-10-13 math.CO
Clique factors in powers of graphs
一个图$G$的$k$次幂，记作$G^k$，与$G$有相同的顶点集，并且两个顶点在$G^k$中相邻当且仅当它们之间存在一条长度至多为$k$的路。图中的$K_r$ -因子是一个生成子图，其中每个分支都是$r$阶的完全图。很容易证明，对于任何阶可被$r$整除的连通图$G$，$G^{2r-2}$包含一个$K_r$ -因子。这是最可能的，因为存在可被$r$整除的阶数的连通图$G$，使得$G^{2r-3}$不包含$K_r$ -因子。我们猜想，对于任何阶可被$r$整除的2-连通图$G$，$G^r$包含一个$K_r$ -因子。这是已知的$r \le 3$，我们证明它为$r = 4$。我们证明了一个更强的声明，任何2-连通图$G$的$4k$阶的顶点集可以被划分成$k$部分的大小$4$，使得在任何部分的四个顶点包含在一个子树的$G$的阶最多为5。更一般地，我们猜想，对于$n = n_1+n_2+\cdots+n_k$的任何划分，阶为$n$的任何2-连通图$G$的顶点集可以被划分成$k$部分$V_1,V_2,\ldots,V_k$，使得对于阶至多为$n_i+1$的$G$的某个子树$T_i$，对于$1 \le i \le k$，$|V_i| = n_i$和$V_i \subseteq V(T_i)$。
2022-11-27 math.CO
Rainbow subdivisions of cliques
该研究证明，对于大顶点数且边数达到 $n(\log n)^{53}$ 的恰当边染色图，必含 $K_m$ 的多色细分，结果在多项式对数因子内最优，证明借助随机游走混合时间与图扩张性的关联。
2023-09-01 math.CO
The threshold for fractional clique decompositions of random hypergraphs, via matrix scaling
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文通过概率矩阵缩放方法，证明了在最小余度条件下，随机保留边的超图以高概率存在分数团分解，并确认了最优阈值阶。
2026-10-02 math.CO math.PR
Calculating the maximum number of maximum cliques for simple graphs
研究简单图中最大团数的最大可能数目，通过定义素图和复合图，证明当n≥15时，复合图具有最多最大团，并给出具体计算公式。
2025-12-16 math.CO stat.ML
On the clique number of random Cayley graphs and related topics
本文用纯组合方法证明随机凯莱图的团数高概率为 O(log N log log N)，改进了 Alon 的上界，并据此证明 Alon 关于凯莱图团数与独立数均为 O(log N) 的猜想对几乎所有阿贝尔群成立，还构造了自补凯莱图以强形式解决 Alon–Orlitsky 问题。
2024-12-30 cs.DM math.CO math.NT
Independence number of graphs with a prescribed number of cliques
我们考虑以下问题所提出的鄂尔多斯在1962年。设$G$是一个$n$ -顶点图，其中$G$中$s$ -团的个数为$t$ . $G$的独立数能有多小？我们的主要结果表明，对于固定的$s$，最小可能的独立数经历了一个过渡在$t=n^{s/2+o(1)}$。在三角形的情形下（$s=3$），我们得到了如下结果，它与常数因子有很大的区别，并且推广了拉姆齐理论中的基本结果：存在$c>0$，使得每个含有$t$三角形的$n$ -顶点图的独立数至少为$$c \cdot \min\left\{ \sqrt {n \log n}\, , \, \frac{n}{t^{1/3}} \left(\log \frac{n}{ t^{1/3}}\right)^{2/3} \right\}.$$
2018-01-10 math.CO
Ramsey numbers of cubes versus cliques
立方体图Q_n是n维立方体的骨架。它是一个有2 ^n个顶点的n-正则图。Ramsey数r（Q_n，K_s）是使每一个N阶图都包含一个立方图Q_n或一个s阶独立集的最小数N。Burr和Erdos在1983年提出了一个问题：当s固定且n充分大时，简单的下界r（Q_n，K_s）>=（s-1）（2^n - 1）+1是否是紧的。我们在这个问题上取得了进展，得到了第一个上界这是一个恒定的因素的下界。
2013-12-13 math.CO
Clique minors in graphs with a forbidden subgraph
经典的Hadwiger猜想可以追溯到20世纪40年代，它指出任何色数至少为$r$的图都有阶为$r$的团作为子图。Hadwiger猜想是一个很好的研究类问题的一个例子，问多大的团未成年人可以保证在一个图有一定的限制。这种类型的一个问题是问什么是最大规模的团子图的$n$顶点的独立数$α(G)$至多$r$。如果Hadwiger猜想成立，则意味着存在一个$n/α(G)$阶的团子。Kuhn和Osthus以及Krivelevich和Sudakov的结果表明，如果另外假设对于某个二部图$H$，$G$是$H$ -free的，那么可以找到一个多项式更大的团子式.这最近已扩展到三角形自由图的Dvokiák和Yepremyan，回答一个问题的诺林。我们完成的图片，并表明，同样是真实的任意图$H$，回答一个问题的Dvokiák和Yepremyan。特别地，我们证明了任何$K_s$ -free图都有一个阶为$c_s(n/α(G))^{1+\frac{1}{10(s-2) }}$的团子式，对于某个常数$c_s$，它只依赖于$s$ .该结果中的指数在$\frac{1}{s-2}$项之前紧到常数因子。
2021-02-08 math.CO
Waiter-Client Clique-Factor Game
固定两个整数$n, k$，其中$n$可被$k$整除，并考虑以下由两个参与者（服务员和客户）在$K_n$的边缘上进行的游戏。从所有标记为无人认领的边开始，在每一轮中，Waiter挑选两个尚未被认领的边。客户端然后选择这些边之一来添加到客户端的图中，而另一边添加到等待者的图中。如果服务员最终迫使客户端在客户端的图中创建$K_k$因子，则她获胜。如果她不能做到这一点，客户就赢了。对于固定的$k$和足够大的$n$，可以很容易地表明，如果Waiter玩得最好，她就赢了（特别是，这是我们的结果的直接结果，对于这样的$n$，Waiter可以赢得很快）。克莱门斯等人提出的问题是，如果服务员的目标是尽可能快地赢得比赛，客户试图尽可能多地拖延她，并且他们都以最佳方式进行比赛，那么比赛将持续多久。我们用$τ_{WC}(\mathcal{F}_{n,K_k-\text{fac}},1 ) $来表示这个最优轮数。本文对大$k$给出了这个量的第一个非平凡下界.连同遵循Clemens等人的策略的简单上限，这给出了$2^{k/3-o(k)}n \leq τ_{WC}(\mathcal{F}_{n,K_k-\text{fac}},1 ) \leq 2^k\frac{n}{k}+C(k)$，其中$C(k)$是仅依赖于$k$的常数，并且$o(k)$项也独立于$n$。
2022-02-01 math.CO
Sum-of-squares lower bounds for planted clique
在随机图中寻找团以及与之密切相关的“种植”团变体，即在一个随机G（n，1/2）图中种植一个大小为k的团，一直是算法设计中大量研究的焦点。尽管做了很多努力，但最著名的多项式时间算法只能解决k ~ sqrt（n）的问题。在本文中，我们研究的复杂性种植集团问题的算法从平方和层次。我们证明了这个模型的第一个平均情况下界：对于G（n，1/2）中的几乎所有图，SOS层次的r轮不能找到一个种植k-团，除非k > n^{1/2 r}（直到对数因子）。因此，对于任何常数轮数，大小为n^{o（1）}的种植集团不能通过这类强大的算法找到。这是通过SOS和Lasserre层次结构的随机图上的最大团问题的自然公式化的可积性间隙来显示的，这反过来又遵循Positivestelleniance证明系统的度下界。我们遵循这种证明的通常方法。首先，我们引入一个自然的“对偶证书”（也称为“向量解”或“伪期望”）的给定系统的多项式方程表示的问题，为每个固定的输入图。然后我们证明了与这个对偶证书相关联的矩阵是PSD（半正定），并且在输入图的选择上具有很高的概率，这需要使用某些工具。一个是理论的结合计划，特别是本征空间和本征值的约翰逊计划。另一个是一个组合的方法，我们开发的计算（通过痕迹）范数界的某些随机矩阵的条目是高度依赖的，我们希望这种方法将是有用的。
2015-03-22 cs.CC cs.DS math.CO
The Average-Case Complexity of Counting Cliques in Erdos-Renyi Hypergraphs
考虑具有边密度$c$的$s$ -均匀Erdos-Renyi超图$G(n,c,s)$中$k$ -团的计数问题，并证明其细粒度平均情况复杂度可以基于其最坏情况复杂度。我们证明了以下几点：1.稠密的Erdos-Renyi图和超图：使用$k$和$c$常数对$G(n,c,s)$上的$k$ -团进行计数与其最坏情况的时间复杂度匹配到$\mathrm{polylog}(n)$因子。假设随机化ETH，如果$k$和$c$恒定，则需要$n^{Ω(k)}$时间来计数$G(n,c,s)$中的$k$ -团。2.稀疏Erdos-Renyi图和超图：当$c = Θ(n^{-α})$，我们给出了几个算法，利用稀疏的$G(n, c, s)$是最快的最佳已知的最坏情况下的算法。补充这一点，基于一个细粒度的最坏情况的假设，我们的结果意味着不同的平均情况下的相图为每个固定的$α$描绘一个运行时下限和$k$之间的权衡。令人惊讶的是，在超图的情况下（$s \ge 3$），这些下界严格反对我们的算法，正是当$c$高于Erdens-Rényi $k$ -团渗流阈值。这是我们所知道的关于Erdens-Rényi超图问题的第一个最坏情况到平均情况的硬度降低。我们还给出了一个变种，我们的结果计算的奇偶校验的$k$ -团计数，容忍更高的错误概率。
2021-07-22 cs.CC cs.DS math.CO
Clique factors in randomly perturbed graphs: the transition points
本文确定了随机扰动图在$\alpha=1-\frac{s}{r}$处包含$K_r$-因子的最小概率阈值，并发现该阈值在临界点呈现多项式跳跃，其极值示例包含伪随机诱导子图。
2024-11-18 math.CO
Bounding $χ$ by a fraction of $Δ$ for graphs without large cliques
贪婪着色算法表明，最大度至多为$Δ$的图的色数至多为$Δ+ 1$，这对团是紧的。许多注意力一直致力于改善这种“贪婪界”的图没有大的团。Brooks著名地证明了这个界限可以改进一个，如果$Δ\geq 3$和图包含没有大小为$Δ+ 1$的团。里德猜想指出，如果图不包含大小为$Δ+ 1 - 2k$的团，则$k$可以改进“贪婪界”。Johansson证明了对于没有三角形或没有任何固定大小的团的图，“贪婪界”可以分别提高$Ω(\ln(Δ)^{-1})$或$Ω\left(\frac{\ln(\ln(Δ))}{\ln(Δ)}\right)$的因子。值得注意的是，缺少的是一个$\textit{linear}$改进的“贪婪界”的图没有大集团。本文证明了：对于充分大的$Δ$，如果$G$是一个最大度至多为$Δ$且没有团大小为$ω$的图，则$$χ(G) \leq 72Δ\sqrt{\frac{\ln(ω)}{\ln(Δ)}}.$$.这意味着对于充分大的$Δ$，如果$ω^{(72c)^2} \leq Δ$，则$χ(G) \leq Δ/c$ .这个界限实际上对列表色数和对应色数（也称为DP色数）都成立。事实上，我们证明了我们所谓的“本地版本”，结果意味着存在的着色时，每个顶点的可用颜色的数量取决于本地参数，如度和集团数的邻居。我们的结果同时意味着“贪婪界”和Johansson的两个上述结果的线性改进。
2018-03-02 math.CO
On the minimum degree of minimal Ramsey graphs for cliques versus cycles
一个图$G$被称为$q$ -Ramsey，对于一个$q$ -元组的图$(H_1,\ldots,H_q)$，记为$G\to_q(H_1,\ldots,H_q)$，如果$G$的每个$q$ -边染色包含一个$H_i$的单色拷贝，对于一些$i\in[q]$，$H_i$的颜色为$i,$。令$s_q(H_1,\ldots,H_q)$表示所有图$G$上的$G$的最小最小度，该图是对于$(H_1,\ldots,H_q)$的最小$q$ -Ramsey（关于子图包含）。1976年，伯尔、埃尔德什和洛瓦什开始对这个参数进行研究，他们精确地确定了一对集团的参数值。在过去的二十年中，参数$s_q$已经被几组作者研究，主要焦点是对称的情况下，其中$H_i\cong H$的所有$i\in [q]$。相比之下，不对称情况受到的关注要少得多。在本文中，我们在这个方向上取得进展，研究由团，圈和树组成的非对称元组。当$(H_1,H_2)$是一个团和一棵树的对，一个团和一个圈的对，以及当它是两个不同圈的对时，我们确定$s_2(H_1,H_2)$。我们还将我们的结果推广到多种颜色，并获得$s_q(C_\ell,\ldots,C_\ell,K_t,\ldots,K_t)$上的集团$t$的大小，周期数和集团数的界限。当三个参数中的两个固定时，我们的界紧到对数因子。
2021-09-07 math.CO
Chromatic number, clique subdivisions, and the conjectures of Hajós and Erdős-Fajtlowicz
对于图$G$，用$χ(G)$表示它的色数，用$σ(G)$表示$G$中最大团剖分的阶.设H（n）是$χ(G)/σ(G)$在所有$n$ -顶点图$G$上的最大值. Hajós在1961年提出了一个著名的猜想：对每个图$G$，有$σ(G) \geq χ(G)$。也就是说，$H(n) \leq 1$适用于所有正整数$n$。这个猜想在1979年被卡特林推翻。Erdenses和Fajtlowicz进一步证明了通过考虑一个随机图，对于某个绝对常数$c>0$，$H(n) \geq cn^{1/2}/\log n$。在1981年，他们证明，这一界是紧到一个常数的因素，有一些绝对常数$C$，使$χ(G)/σ(G) \leq Cn^{1/2}/\log n$的所有$n$ -顶点图$G$。本文证明了Erdens-Fajtlowicz猜想。在我们的证明，这可能是独立的利益的主要成分，是一个估计的最大集团细分的顺序，人们可以找到在每个图的$n$顶点与独立数$α$。
2012-02-14 math.CO
$H$-factors in graphs with small independence number
设$H$是一个$h$ -顶点图. $H$的顶点荫度$ar(H)$是$r$的最小整数，使得$V(H)$可以被划分为$r$部分，并且每个部分在$H$中诱导一个森林。我们证明了，对于足够大的$n\in h\mathbb{N}$，每一个具有$δ(G)\geq \max\left\{\left(1-\frac{2}{f(H)}+o(1)\right)n, \left(\frac{1}{2}+o(1)\right)n\right\}$和$α(G)=o(n)$的$n$ -顶点图$G$都包含一个$H$ -因子，其中$f(H)=2ar(H)$或$2ar(H)-1$ .这个结果可以看作是Ramsey-Turán理论中Alon-Yuster定理\cite{MR1376050}的一个类似，它推广了Balogh-Molla-Sharifzadeh~ \cite{MR3570984}和Balogh-Su ~ \cite{MR4193066}关于团因子的结果.特别是度条件是渐近尖锐的无穷多个图$H$这不是团。
2022-07-07 math.CO
Bandwidth of graphs resulting from the edge clique covering problem
设$n,k,b$是整数，$1 \le k-1 \le b \le n$是整数，$G_{n,k,b}$是图，其顶点是$\{0,\dots,n\}$的$k$ -元素子集$X$，$\max(X \cup Y) - \min(X \cup Y) \le b$是整数，$n,k,b$是整数，$1 \le k-1 \le b \le n$是整数，$n,k,b$是整数，$1 \le k-1 \le b \le n$是整数，$G_{n,k,b}$是图，其顶点是$\{0,\dots,n\}$的$X$，$\max(X)-\min(X) \le b$是整数，如果$\max(X \cup Y) - \min(X \cup Y) \le b$，则两个这样的顶点$X,Y$由一条边连接.这些图是通过将变换应用于带宽$b$的最大$k$ -均匀超图来生成的，该带宽$b$用于将（弱）边团覆盖问题减少到顶点团覆盖问题。因此，$G_{n,k,b}$的带宽是任何变换的$k$的最大可能带宽-带宽$b$的均匀超图。对于$b\geq \frac{n+k-1}{2}$，确定这些图的精确带宽。对于$b<\frac{n+k-1}{2}$，在$b=o(n)$和$b$在$n$中以因子$β\in (0,0.5]$线性增长的情况下，带宽是渐近确定的，其中有一种情况只能找到界，证明了这种开情况的上界是右渐近值.
2016-05-02 math.CO
Matrix Completion Discriminants
Tokyo University of Marine Science and Technology（东京海洋大学）；Tokyo University of Science（东京科学大学）
该研究定义了图的矩阵补全判别式，建立其团和公式与环的显式方程，结合K₀子式图分析证明可环补全图的判别式可分解为两类因子。
2026-10-16 math.AG math.CO math.OC
Balanced subdivisions of cliques in graphs
给定一个图$H$，$H$的平衡细分是通过将$H$的每条边细分相同次数而得到的图。在1984年，Rassen证明了对于每个整数$k\ge 1$，高的平均度足以保证$K_k$的平衡细分。最近，刘和蒙哥马利解决了这个猜想。我们给出了一个最优估计的绝对常数因子，通过证明存在$c>0$，使得对于足够大的$d$，每个图的平均度至少$d$包含一个平衡的细分集团至少$cd^{1/2}$顶点。它也证实了Verstra的一个猜想：对于某个绝对常数$c>0$，每个平均度为$cd^2$的图都包含完全图$K_d$的一对不相交的同构剖分.我们还证明了存在一些绝对$c>0$，使得对于足够大的$d$，每个平均度至少为$d$的$C_4$ -free图包含完全图$K_{cd}$的平衡剖分，这推广了Balogh，Liu和Sharifzadeh的一个结果.
2023-02-20 math.CO
Termination of Multipartite Graph Series Arising from Complex Network Modelling
一个激烈的活动，现在致力于捕捉复杂网络的特性的模型的定义。其中最有前途的方法，它已被提出来模拟这些图通过其集团关联二分图。然而，到目前为止，这种方法有严重的局限性，因为它无法再现这个对象的一个关键属性：复杂网络中派系的重叠性质。为了摆脱这些限制，我们建议在网络中的集团重叠的结构进行编码，由于在迭代分解的最大biclies之间的上层和其他级别的多部图的过程。我们表明，最自然的定义，这个分解过程导致无穷级数的某些情况下。我们的主要结果是设计一个限制这个过程中，终止任何任意图。此外，我们表明，由此产生的多部图具有显着的组合性质，是密切相关的另一个基本的组合对象。最后，我们表明，在实践中，这种多部图是计算上易于处理的，并具有一定的大小，使其适合复杂的网络建模。
2021-03-07 cs.DM cs.DS math.CO
$K_r$-Factors in Graphs with Low Independence Number
Hajnal和Szemerédi在1970年的一个经典结果确定了保证图包含$K_r$ -因子所需的最小度条件。也就是说，任何在$n$顶点上的图，其最小度为$δ(G) \ge \left(1-\frac{1}{r}\right) n$且$r$除$n$，都有一个$K_r$ -因子。这个结果是紧的，但极值例子是唯一的，因为它们都有一个大的独立集，这是瓶颈。Nenadov和Pehova证明，通过要求一个次线性独立数，可以改进Hajnal-Szemerédi定理中的最小度条件。我们证明了，在相同的最小度和次线性独立数下，我们可以找到一个团因子，团因子的大小是团因子的两倍。更正式地说，我们证明了对于每个$r\in \mathbb{N}$和常数$μ>0$，存在正常数$γ$，使得每个具有$δ(G)\ge \left(1-\frac{2}{r}+μ\right)n$和$α(G) < γn$的$n$顶点上的图$G$具有$K_r$ -因子。我们还给出了例子，表明最小度条件是渐近最好的可能。
2020-07-09 math.CO
Near-Optimal Algorithms for Maximal Clique Enumeration in Structurally Sparse Graphs
Center for Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, Fuzhou University（离散数学与理论计算机科学研究中心，福州大学）
针对排除团子式和排除团浸入的图，提出两种最大团枚举算法，分别将时间复杂度优化为n·4^(2t/5+o(t))和n·3^(t/3+o(t))，并证明其指数基为渐近最优。
2026-08-05 cs.DS math.CO
The clique number of the exact distance $t$-power graph: complexity and eigenvalue bounds
本文研究精确距离$t$-幂图的团数（$t$-等距数），证明确定该参数及其常数因子近似均为NP-hard，探讨其与$t$-独立数的关系，并推导出表现良好的特征值界。
2024-11-14 math.CO
Beyond Nash-Williams: Counterexamples to Clique Decomposition Thresholds for All Cliques Larger than Triangles
Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）；UNSW Sydney（新南威尔士大学悉尼分校）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
该研究推翻了关于所有大于三角形的 clique 分解的猜想，展示了存在无限多个无法分解的 clique 图，且不满足分数分解条件。
2026-03-17 math.CO
Almost Linear 3-Spanners of Temporal Cliques
University of Oxford（牛津大学）；Università degli Studi dell’Aquila（阿奎拉大学）；University of Warsaw（华沙大学）
该研究针对时间团提出简单递归算法，得到大小为n^{1+o(1)}的时间3-spanner，改进了此前上界，还给出生命周期有界时的优化结果，方法比此前构造更简单。
2026-09-03 cs.DM cs.DS math.CO
