Matrix Inversion Is As Easy As Exponentiation
Princeton University（普林斯顿大学）；Microsoft Research, Bangalore（微软研究院班加罗尔）
通过证明正定矩阵的逆可由少量矩阵指数的加权和近似，建立矩阵求逆与指数运算的等价性，为设计快速半正定规划算法提供理论依据。
2016-08-22 cs.DS cs.NA math.NA
Structured inversion of the Bernstein-Vandermonde Matrix
伯恩斯坦多项式，长期以来的主食逼近论和计算几何，也越来越成为兴趣的有限元法。插值和逼近中的许多基本问题引起了有趣的线性代数问题。当试图找到边界或初始数据的多项式逼近时，会遇到Bernstein-Vandermonde矩阵，发现它是高度病态的。在此之前，我们利用单项Bezout矩阵和Hankel矩阵的逆之间的关系，得到了Bernstein质量矩阵的逆在Hankel、Toeplitz和对角矩阵方面的分解。本文利用Bernstein-Bezout矩阵的性质，将Bernstein-Vandermonde矩阵的逆分解为Hankel矩阵、Toeplitz矩阵和对角矩阵乘积的差.我们还使用非标准矩阵范数来研究Bernstein-Vandermonde矩阵的条件，表明在这种情况下的条件比标准2-范数更好。此外，我们使用多元伯恩斯坦多项式的属性，推导出块$LU$分解的伯恩斯坦-范德蒙矩阵对应于均匀节点上的$d$ -单纯形。
2020-05-07 cs.NA math.NA
Tensor and Matrix Inversions with Applications
Clarkson University（克拉克森大学）
本文通过Einstein积建立张量群与一般线性群的同构，提出新张量分解并用于求解高维PDE和量子模型，同时处理了最小二乘意义下的多线性系统，并采用双共轭梯度和Jacobi迭代方法数值求解。
2011-09-18 cs.NA math.NA
Theoretical Analysis of Thermodynamic Matrix Inversion: First-order Equivalence to Preconditioned Gradient Descent and Implications for Analog Computing
Signaloid；University of Cambridge（剑桥大学）
本文分析了热力学矩阵求逆的底层动力学，证明其与预条件梯度下降一阶等价，通过Thermox验证算法实现超10万倍加速，建立了模拟热力学计算与优化方法的联系。
2026-08-11 cs.NA math.NA
Structured inversion of the Bernstein mass matrix
伯恩斯坦多项式，长期以来的主食逼近论和计算几何，也越来越成为兴趣的有限元法。插值和逼近中的许多基本问题引起了有趣的线性代数问题。在此之前，我们给出了块结构的算法反演的伯恩斯坦质量矩阵的单纯细胞，但没有研究快速算法的单变量的情况下。在这里，我们给出了几种方法来反相的单变量质量矩阵的基础上的确切公式的逆;分解的逆汉克尔，Toeplitz和对角矩阵;和一个谱分解。特别是，特征分解可以明确地构造在$\mathcal{O}(n^2)$操作，而其解决线性系的精度是可比的Cholesky分解。此外，我们研究条件和准确性，这些方法的立场上的roundeness错误的影响，在多项式的$L^2$规范，表明在这种情况下的条件是远远低于极端的标准2-范数。
2019-07-12 cs.NA math.NA
Secure Linear MDS Coded Matrix Inversion
在许多科学领域中，求大型满秩矩阵的逆是一项繁琐的运算。在本文中，我们提出了一个编码计算方法恢复矩阵逆近似。我们首先提出了一个近似矩阵求逆算法，它不需要矩阵分解，但使用黑盒最小二乘优化求解器作为子程序，给出一个真正的满秩矩阵的逆的估计。然后，我们提出了一个分布式框架，我们的算法可以实现，并展示了我们如何利用稀疏平衡MDS生成矩阵设计矩阵求逆编码计算方案。我们专注于平衡的里德-所罗门码，这是最佳的计算负载方面，从工人到主服务器的通信。我们还讨论了我们的算法可以用来计算一个满秩矩阵的伪逆，以及如何从窃听者的通信是安全的。
2022-12-20 cs.CR cs.IT cs.NA
Faster Sparse Matrix Inversion and Rank Computation in Finite Fields
我们提高了当前的最佳运行时间值，以扭转有限域上的稀疏矩阵，降低到一个预期的$O\big(n^{2.2131}\big)$时间为当前值的快速矩形矩阵乘法。对于有限域上稀疏矩阵的秩和零空间的计算，我们实现了相同的运行时间。这种改进依赖于两个关键技术。首先，我们采用Eberly等人（ISSAC 2007）将任意矩阵分解为块Krylov和Hankel矩阵。其次，我们展示了如何使用结构矩阵的低位移秩技术和快速矩形矩阵乘法算法来恢复块Hankel矩阵的显式逆。我们推广我们的逆方法块结构矩阵与其他位移算子和加强最好的已知的上界块Toeplitz和块Hankel矩阵的显式逆，以及块Vandermonde矩阵的显式逆结构块。作为进一步的应用，我们改进了拓扑数据分析和有限群理论中的几个算法的复杂性。
2022-12-10 cs.DS cs.NA cs.SC
Solving Minimal Problems Without Matrix Inversion Using FFT-Based Interpolation
Center for Machine Vision and Signal Analysis（机器视觉与信号分析中心）；University of Oulu（奥卢大学）
本文提出一种基于采样且无需矩阵求逆的方法，利用稀疏隐变量结果ants构建求解器，通过逆快速傅里叶变换插值高效重建行列式多项式，从而在数值稳定性和运行时间上提供传统Gröbner基和结果ants方法的实用替代方案。
2026-05-07 cs.CV cs.NA math.NA
A fast low-rank inversion algorithm of dielectric matrix in GW approximation
Fudan University（复旦大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本研究提出结合ISDF算法与SMW公式的低秩求逆策略，用于GW近似下的介电矩阵求逆，在保证精度的同时大幅提升计算速度，推动GW方法的高效应用。
2024-06-12 cs.NA math.NA
Complexity estimates for triangular hierarchical matrix algorithms
本文研究了三角形分层矩阵算法的复杂性，通过理论估计证明了LR分解与矩阵乘法和逆运算的复杂性关系，并改进了矩阵乘法的复杂性上界。
2019-05-26 cs.NA math.NA
A Monte Carlo algorithm for efficient large matrix inversion
本文提出一种基于双随机向量耦合抽样的蒙特卡洛算法，用于高效求逆大规模矩阵，支持非厄米矩阵，收敛条件与高斯-赛德尔相似，在算例中处理速度提升八倍。
2005-01-10 cs.DS cs.NA hep-lat
An Iterative Block Matrix Inversion (IBMI) Algorithm for Symmetric Positive Definite Matrices with Applications to Covariance Matrices
针对大型对称正定矩阵直接求逆复杂度极高的难题，提出迭代分块矩阵求逆算法IBMI，通过分块迭代逼近逆矩阵，证明两块非重叠方法收敛，数值结果支持多块重叠方法也收敛。
2025-09-02 cs.NA math.NA math.ST
Combinatorial and Recurrent Approaches for Efficient Matrix Inversion: Sub-cubic algorithms leveraging Fast Matrix products
Khalifa University of Science and Technology（Khalifa大学科学与技术）；Emirates Nuclear Technology Center (ENTC), Khalifa University of Science and Technology (KU)（阿联酋核技术中心（ENTC），Khalifa大学）
本文提出基于组合与递归方法的高效矩阵求逆算法，利用快速矩阵乘法实现亚立方复杂度，提升并行计算效率。
2023-07-14 cs.NA math.CO math.NA
A fast methodology for large-scale focusing inversion of gravity and magnetic data using the structured model matrix and the $2D$ fast Fourier transform
讨论了在均匀网格上利用位场聚焦反演从地表测量数据恢复稀疏地下结构的方法。对于均匀网格模型的灵敏度矩阵块Toeplitz Toeplitz块结构，块为每个深度层的地下。然后，通过嵌入到循环矩阵中，利用快速二维傅立叶变换实现了所有与灵敏度矩阵或其转置的正向运算。仿真结果表明，这种快速反演算法可以在标准的台式计算机上实现，具有足够的内存存储容量高达$n \approx 1M$。使用Golub Kahan双对角化或随机奇异值分解算法来求解在聚焦反演算法中产生的线性方程组，其中使用快速傅立叶变换来实现与灵敏度矩阵的所有矩阵运算。这两种算法的效率进行了对比的大型问题的投影子空间的大小采用的线性系统的解决方案。所提出的结果证实了早期的研究，随机算法是首选的重力数据的反演，它是足够的使用投影空间的大小约$m/8$，数据集的大小$m$。相比之下，Golub Kahan双对角化导致用于磁性数据集的反演的更有效的实现，并且再次足以使用大小近似为$m/8$的投影空间。此外，当$m$较大时，使用大小为$m/20$的投影空间$m \approx 50000$就足以用$n \approx 1M$重建体积。模拟支持所提出的结论，并验证了一个实际的磁性数据集，是在加拿大马尼托巴省的Wuskwatim湖地区获得的反演。
2020-04-29 cs.NA math.NA physics.geo-ph
Fast inversion, preconditioned quantum linear system solvers, and fast evaluation of matrix functions
在经典迭代线性系统求解器中，预处理是处理病态线性系统最广泛和有效的方法。我们引入了一种称为快速反演的量子基元，它可以作为求解量子线性系统的预条件子。快速求逆的关键思想是通过一个量子线路直接对矩阵的逆矩阵进行块编码，通过经典算法实现特征值的求逆。我们演示了预处理线性系统求解器在计算量子多体系统的单粒子格林函数中的应用，量子多体系统广泛应用于量子物理，化学和材料科学。我们分析了三种情况下的复杂性：哈伯德模型，量子多体哈密顿在平面波对偶基础上，和Schwinger模型。我们还提供了一种方法，用于执行格林函数计算在第二量子化内的一个固定的粒子流形，并指出，这种方法可能是有价值的模拟更广泛。除了求解线性系统之外，快速求逆还使我们能够开发计算矩阵函数的快速算法，例如有效地准备吉布斯状态。我们介绍了两种有效的方法，这样的任务，分别基于轮廓积分公式和逆变换。
2021-09-28 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Sparse inversion for derivative of log determinant
高斯过程、边缘似然法或限制极大似然法的算法通常需要对数行列式项的导数。这些对数决定因素通常是参数与方差参数的基础统计模型。本文论证了当底层矩阵稀疏时，如何利用稀疏求逆--与原始矩阵具有相同稀疏性的选择求逆--来加速求对数行列式的导数。
2019-11-02 cs.NA math.NA stat.CO
On the Low-Complexity, Hardware-Friendly Tridiagonal Matrix Inversion for Correlated Massive MIMO Systems
在大规模多输入多输出（M-MIMO）系统中，实现中的关键挑战之一是大规模矩阵求逆运算，该运算广泛用于信道估计、均衡、检测和解码过程。传统上，为了处理这个复杂度问题，已经提出了几种低复杂度的矩阵求逆近似方法，包括经典的Cholesky分解和Neumann级数展开（NSE）。然而，传统的方法未能利用信道矩阵的特殊结构，也没有在硬件实现中的关键问题，这导致较差的吞吐量性能和较长的处理延迟。针对相关M-MIMO系统，提出了一种基于三对角矩阵求逆近似（TMA）的改进NSE算法，以适应传统硬件实现的复杂度和性能问题，并分析了相应的近似误差。同时，基于Xilinx公司的Virtex-7 XC 7VX 690 T FPGA平台，研究了该检测算法的VLSI实现。仿真结果表明，在相关的大规模多输入多输出系统中，该算法可以获得接近MMSE的性能和$630$ Mb/s的吞吐量。与其他基准测试系统相比，本文提出的流水线TMA检测器具有较高的吞吐量硬件比。最后，我们还提出了一个快速迭代结构，为进一步的研究。
2018-02-21 cs.AR cs.NA eess.SP
Randomized Quasi-Newton Updates are Linearly Convergent Matrix Inversion Algorithms
我们开发和分析了一个广泛的家庭的随机/随机化算法的矩阵求逆。我们还开发了专门的变种保持对称性或正定性的迭代。该家族中的所有方法都全局收敛和线性收敛（即，误差以指数方式衰减）。在特殊情况下，我们得到了几个拟牛顿更新的随机块变体，包括坏Broyden（BB），好Broyden（GB），Powell-symmetric-Broyden（PSB），Davidon-Fletcher-Powell（DFP）和Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）。我们的是这些更新的第一个随机版本，收敛到一个固定矩阵的逆。通过一个对偶的观点，我们揭示了拟牛顿更新和近似逆预处理之间的基本联系。此外，我们开发了一个自适应的随机块BFGS的变体，在那里我们修改的分布的随机性的方法在整个迭代过程中，以实现更快的收敛。通过对不同应用中的几个矩阵进行反演，我们证明了AdaRBFGS与成熟的Newton-Schulz和最小残差方法相比具有很强的竞争力。特别是，在大规模的问题，我们的方法优于标准方法的数量级。在大数据时代到来之际，发展有效的方法来估计超大矩阵的逆是预处理和变尺度最优化方法所急需的工具。
2016-03-23 cs.NA math.NA
Inversion of band-limited discrete Fourier transforms of binary images: Uniqueness and algorithms
针对二值图像高频DFT系数缺失导致恢复不唯一的问题，本文利用二值约束，理论证明唯一恢复的最小带限，并提出结合整数线性规划与格基约简的算法，可仅用121个系数可靠重建29×29模糊矩阵。
2023-09-06 cs.NA math.NA
Multi-patch discontinuous Galerkin isogeometric analysis for wave propagation: explicit time-stepping and efficient mass matrix inversion
Rice University（莱斯大学）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文提出了一类样条有限元方法用于时域波传播，特别适合显式时间步进。通过不连续Galerkin离散化在多补丁设置中强制解场连续性，得到具有方便块对角结构的质量矩阵。通过加权调整的质量矩阵逆近似在曲面几何中高效求逆，并展示了样条空间比等参数连续或不连续有限元空间更宽松的CFL限制。
2018-01-14 cs.NA math.NA
On the Inversion of Polynomials of Discrete Laplace Matrices
University of Hasselt（哈瑟尔特大学）；Lancaster University（兰卡斯特大学）；Leiden University（莱顿大学）；Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）
本文提出基于特征向量和特征值展开的方法，用于求解多维离散拉普拉斯矩阵多项式的逆，并与一维情况下的结果一致。
2025-11-26 cs.NA math.NA
Accelerated Stochastic Matrix Inversion: General Theory and Speeding up BFGS Rules for Faster Second-Order Optimization
Télécom ParisTech（巴黎电信学院）；King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；École polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL)（洛桑联邦理工学院）
本文提出首个加速随机算法求解欧几里得空间线性系统，通过求逆正定矩阵实现正定近似，发展了首个加速的准牛顿更新方法，加速Hessian逆近似并提升数值实验效率。
2018-06-19 cs.NA math.NA math.OC
Scalable parallel 3-D TEM inversion via rational approximation of the matrix exponential
Institute of Geophysics and Geoinformatics TU Bergakademie Freiberg（弗莱贝格工业大学地球物理与地信息学研究所）；Department of Mathematics The University of Manchester（曼彻斯特大学数学系）
本文提出了一种基于Gauss-Newton框架和有理近最佳逼近矩阵指数的并行实现，用于大规模三维电磁反演，通过并行直接求解器高效处理偏分数值表示产生的移位线性系统，采用MPI实现共享内存架构的高效并行执行，通过平滑约束的Raviart-Thomas元素进行模型正则化，并利用LSQR求解线性化反问题，展示了对70万自由度的合成三维导电结构的有效恢复。
2026-05-19 cs.NA math.NA physics.geo-ph
Approximate inversion of discrete Fourier integral operators
本文介绍了一种可应用于拟线性时间的离散傅里叶积分算子逆的因式分解。因子分解开始于用蝶形因子分解近似算子。其次，构造了由傅里叶积分算子与其伴随算子构成的埃尔米特矩阵的层次矩阵表示。该算法基于层次插值因式分解，有效地实现了该表示的逆变换。通过组合这两种因式分解，傅里叶积分算子的近似逆因式分解被获得为大小为$N\times N$的$O(\log N)$稀疏矩阵的乘积。由此产生的近似逆分解可以用作直接求解器或预处理器。一维和二维傅里叶积分算子，包括广义Radon变换的数值例子，证明了这种新方法的性能。
2021-05-06 cs.NA math.NA
An extended Gauss-Newton method for full waveform inversion
本文提出扩展高斯-牛顿方法，将标准GN系统重构为矩阵方程并放宽对角约束，以低计算代价增强全波形反演对初始模型和低频缺失的鲁棒性。
2024-02-22 cs.NA math.NA math.OC
A Superfast Direct Solver for Type-III Inverse Nonuniform Discrete Fourier Transform
School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
本文提出了一种超快直接求解类型III逆非均匀离散傅里叶变换的方法，通过矩阵分解实现准线性复杂度的正反向运算，并提供误差界和数值验证。
2025-12-03 cs.NA math.NA
Monte Carlo Matrix Inversion Policy Evaluation
University of Waterloo（滑铁卢大学）
提出使用蒙特卡洛矩阵求逆（MCMI）进行强化学习策略评估，通过重要性采样降低方差，并在运行时间和准确性上优于最大似然模型和时序差分方法。
2012-10-19 cs.AI cs.LG cs.NA
Blockwise inversion and algorithms for inverting large partitioned matrices
本文利用分块矩阵求逆技术，提出了处理大型分块矩阵求逆的并行算法，通过优化内存处理与中间乘法提升效率，并使用C语言和OpenMP实现，展示了其性能与优势。
2023-11-20 cs.NA hep-ex hep-ph
Securely Aggregated Coded Matrix Inversion
本文提出一种基于梯度编码的编码计算方法，在类似联邦学习的分布式环境中安全地近似求逆聚合数据矩阵，同时抵御掉队节点，并确保通信对窃听者安全。
2023-09-05 cs.CR cs.IT cs.NA
Generalization of Higher Order Methods for Fast Iterative Matrix Inversion Suitable for GPU Acceleration
本文提出一种基于Neumann Series的Nested Neumann迭代矩阵求逆算法，通过预处理矩阵的无代价迭代更新推广高阶方法，在保证收敛性的同时适用于GPU加速和各类线性系统。
2023-05-23 cs.NA cs.OH math.NA
Inversion of the Multiplicative Matrix Compound Operator
Technion — Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；Yale University（耶鲁大学）
研究给定矩阵 M 作为某矩阵的 k 次乘法复合时，该矩阵的存在性、唯一性及求解算法，根据 M 的秩分类讨论。
2026-07-16 cs.NA cs.SY eess.SY
Generalizing Frobenius Inversion to Quaternion Matrices
本研究提出一种对应复矩阵Frobenius算法的四元数矩阵求逆算法，理论上证明其复求逆次数最少、效率优于现有方法，实验中随机矩阵表现更优，可提升Strassen型递归算法的实用性。
2023-05-04 cs.NA math.NA
Fast Matrix Inversion and Determinant Computation for Polarimetric Synthetic Aperture Radar
Graduate Program of Electrical and Computer Engineering Department, University of Calgary（卡尔加里大学电气与计算机工程研究生项目）；Signal Processing Group, Departamento de Estatística, Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学统计系信号处理组）；Department of Electrical and Computer Engineering, University of Calgary（卡尔加里大学电气与计算机工程系）；Laboratório de Computação Científica e Análise Numérica, Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈阿斯联邦大学科学计算与数值分析实验室）
本文提出一种快速算法，用于极化合成孔径雷达图像处理中小型矩阵的求逆和行列式计算，基于伴随矩阵和输入矩阵的对称性，实现GPU加速，相比传统Cholesky分解方法有约两倍的加速效果。
2018-07-21 cs.DS cs.NA eess.SP
Incomplete selected inversion for linear-scaling electronic structure calculations
极点展开和选择反演（PEXSI）是一种有效的方案，用于根据需要（例如在电子结构算法中）评估大型稀疏矩阵的函数的选择项。我们表明，三角因子分解计算的PEXSI计划表现出类似的矩阵函数的本地化属性，我们提出了一个修改后的PEXSI算法，利用这一观察，以实现线性缩放。据我们所知，由此产生的不完全PEXSI（IPEXSI）算法是第一个线性缩放算法，即使在没有本地化的情况下，它的缩放也比立方算法更好，我们希望这将有助于进一步降低线性缩放算法开始优于对角化算法的临界系统大小。
2020-01-17 cs.NA math.NA
Towards an Efficient Tile Matrix Inversion of Symmetric Positive Definite Matrices on Multicore Architectures
University of Tennessee（田纳西大学）；University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）
针对多核架构上对称正定矩阵求逆问题，提出基于动态任务调度和编译器优化（数组重命名、循环反转和流水线）的分块算法，实现LAPACK代码到高效并行分块算法的转换。
2010-02-22 cs.MS cs.NA math.NA
Fast Linear Solvers via AI-Tuned Markov Chain Monte Carlo-based Matrix Inversion
STFC Hartree Centre（STFC哈特ree中心）；IBM Research（IBM研究）
本文提出AI驱动框架，利用图神经代理模型和贝叶斯采集函数自动推荐MCMC参数，以更低搜索预算生成更优预条件子并加速Krylov求解器收敛。
2025-09-22 cs.LG cs.NA math.NA
PSelInv - A Distributed Memory Parallel Algorithm for Selected Inversion: the non-symmetric Case
Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文将PSelInv算法扩展至非对称稀疏矩阵，通过分布式内存并行机分解矩阵，高效计算选定元素，采用树状异步通信优化负载平衡与空闲时间，验证了算法在6400核心上的扩展性。
2017-08-14 cs.MS cs.NA math.NA
Faster Inversion and Other Black Box Matrix Computations Using Efficient Block Projections
本文证明高效块投影在足够大域上存在，从而确立Eberly等人稀疏线性系统求解算法的正确性，并据此改进稀疏矩阵求逆、零空间基及行列式等黑箱计算的复杂度界，算法均为Las Vegas概率型。
2007-01-29 cs.NA cs.SC math.NA
Algebraic and FFT-Based Methods for Discrete-Time Matrix Convolutions with Applications to Semi-Markov Models
National and Kapodistrian University of Athens（雅典国立卡波季斯特里安大学）；CentraleSupélec, Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学中央苏佩莱克学院）
本文研究矩阵值序列的卷积及其在马尔可夫更新方程计算中的作用，提出基于FFT加速的卷积和牛顿型求逆方案，并应用于半马尔可夫模型的可靠性和可用性数值评估，显著降低运行时间且保持高精度。
2026-07-01 cs.NA math.NA math.PR
Regenerative Ulam-von Neumann Algorithm: An Innovative Markov chain Monte Carlo Method for Matrix Inversion
本文提出再生Ulam-von Neumann算法，利用非截断Neumann级数再生结构，通过再生量无偏估计量比值生成矩阵逆估计，仅需控制马尔可夫转移总数，避免经典算法参数平衡挑战，经概率分析与数值实验验证有效。
2025-08-19 cs.CC cs.DM cs.NA
Fast Bayesian Optimal Experimental Design for Seismic Source Inversion
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；The University of New Mexico（新墨西哥大学）
本文提出了一种快速方法，用于在统计地震源反演中最优设计实验，通过高效计算接收器或地震仪的最佳数量和位置，利用弹性动力学波动方程建模正向问题，并采用拉普拉斯近似加速估计预期Kullback-Leibler散度以提高实验设计效率。
2015-02-27 cs.NA math.NA stat.CO
GP-HMAT: Scalable, ${O}(n\log(n))$ Gaussian Process Regression with Hierarchical Low-Rank Matrices
高斯过程（GP）是一种功能强大且广泛使用的回归技术。GP回归的主要构建块是协方差核，它表征了随机场中对之间的关系。然而，找到最佳核的优化需要几个大规模且通常非结构化的矩阵求逆。我们通过引入一种分层矩阵方法（称为HMAT）来解决这一挑战，该方法可以有效地将矩阵结构以递归方式分解为显着较小的矩阵，其中可以使用直接方法进行求逆。我们的矩阵划分使用一个特定的聚合策略的数据点，这促进了低秩结构的非对角块的分层核矩阵。我们采用了一种随机线性代数方法，在不分解大矩阵的情况下，对低秩非对角块进行矩阵约简。我们提供了分析误差和成本估计的矩阵求逆，调查他们的经验与数值计算，并展示了我们的方法的应用程序的三个数值例子涉及GP回归工程问题和大规模的真实数据集。我们提供了GP-HMAT的计算机实现，适用于GP似然和导数计算的HMAT，以及最后一个数值例子在真实数据集上的实现。我们展示了优越的可扩展性的HMAT方法相比，内置的$\backslash$运营商在MATLAB中的大规模线性解决$\bf{A}\bf{x} = \bf{y}$通过可重复和可验证的实证研究。作为未来的研究，层次半可分（HSS）矩阵的扩展进行了讨论。
2021-12-17 cs.CE cs.NA math.NA
PSelInv -- A Distributed Memory Parallel Algorithm for Selected Inversion : the Symmetric Case
我们描述了一个有效的并行实现的分布式存储计算机系统，我们称之为\texttt{PSelInv}的选定的反演算法。\texttt{PSelInv}方法计算可分解为$A = LU$的一般稀疏矩阵$A$的选定元素，其中$L$是下三角形，而$U$是上三角形。本文所描述的实现集中在稀疏对称矩阵的情况下。它包含一个与分布式内存并行稀疏直接因式分解\texttt{SuperLU\_DIST}兼容的接口。然而，\texttt{PSelInv}的底层数据结构和设计允许它容易地与其他因式分解例程（如\texttt{PARDISO}）组合。我们讨论一般的并行化策略，如数据和任务分配方案。特别是，我们描述了如何利用与$A$的$LU$因子分解相关的消除树所暴露的并发性。我们证明了\texttt{PSelInv}的效率和准确性，提出了一些数值实验。特别是，我们表明，\texttt{PSelInv}可以有效地运行在一个中等大小的矩阵超过$4,000$核心。我们还演示了如何\texttt{PSelInv}可以用来加速大规模的电子结构计算。
2015-05-28 cs.DC cs.NA math.NA
Gradient flow structure and convergence analysis of the ensemble Kalman inversion for nonlinear forward models
集合卡尔曼反演（EKI）是一种基于粒子的方法，它是集合卡尔曼滤波在反演问题中的应用。在实践中，它已被广泛用于无导数的最优化方法，以估计未知参数的噪声测量数据。对于线性正演模型，EKI可以看作是由某一样本协方差阵预处理的梯度流。通过预处理，所得到的格式保持在原始高维（甚至无限维）参数空间的有限维子空间中，并且可以被视为限制在该子空间中的优化器。对于一般的非线性正演模型，所得到的EKI流只能近似地看作是梯度流。在本文中，我们讨论了应用样本协方差作为预处理矩阵和量化的梯度流结构的EKI通过控制近似误差，通过在粒子系统中的传播的效果。系综坍缩一方面导致精确的梯度近似，但另一方面导致预处理样本协方差阵的退化。为了确保收敛的最优化方法，我们得到的集合崩溃的下限和上界。此外，我们在不破坏子空间性质的情况下引入协方差膨胀，旨在降低系综的崩溃率，从而提高收敛速度。在一个数值实验中，我们应用EKI的非线性椭圆边值问题，并说明依赖于EKI作为导数自由优化的初始合奏的选择。
2022-09-02 cs.NA math.NA math.OC
A diffusion equation for the density of the ratio of two jointly distributed Gaussian variables and the numerical inversion of Laplace transform
本文证明同方差联合高斯变量比值的密度满足非稳态扩散方程，并探讨该结果在随机矩阵束广义特征值凝聚密度核密度估计中用于拉普拉斯变换数值反演的意义。
2011-05-24 cs.NA math.NA math.ST
