Existence of infinitely many singular self-similar solutions for the semilinear heat equation
Department of Mathematics, Hiroshima University（广岛大学数学系）
本文证明半线性热方程在特定参数范围内存在无穷多个奇异正自相似解，并研究其渐近行为与轮廓界，进而利用这些解证明柯西问题正解的非唯一性。
2026-09-30 math.AP
Infinitely many small solutions to an elliptic PDE of variable exponent with a singular nonlinearity
本文证明了以下含奇性的非局部椭圆型偏微分方程\begin{align} (-Δ)_{p(\cdot)}^{s} u&=\fracλ{|u|^{γ(x)-1}u}+f(x,u)~\text{in}~Ω,\nonumber u&=0~\text{in}~\mathbb{R}^N\setminusΩ,\nonumber \end{align}无穷多个非负解的存在性，其中$Ω\subset\mathbb{R}^N,\, N\geq2$是光滑的有界区域，$λ>0$，$s\in (0,1)$，$γ(x)\in(0,1)$对所有$x\in\barΩ$，$N>sp(x,y)$对所有$(x,y)\in\barΩ\times\barΩ$，$(-Δ)_{p(\cdot)}^{s}$是变指数的分数阶$p(\cdot)$-Laplacian算子.非线性函数$f$满足一定的增长条件。利用Moser迭代技术建立了解的一致$L^{\infty}(\barΩ)$估计.
2020-05-30 math.AP
Infinitely many new solutions for singularly perturbed Schrödinger equations
本文研究了奇异摄动 Schrödinger 方程的解的存在性，展示了集中解的“二分”现象，构造了峰值位于有界域和无穷远附近的无穷多新解，符合集中紧致轮廓，方法可推广至其他相关问题。
2023-11-27 math.AP
Global well-posedness of the nonlinear Hartree equation for infinitely many particles with singular interaction
Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University（京都大学数学科学研究所）；Department of Mathematics, Chung-Ang University（中央大学数学系）
本文研究非线性Hartree方程在奇异相互作用下的全局解的存在性，证明了在有限测度和有限相对熵条件下解的全局存在性。
2025-02-01 math-ph math.AP math.MP
Global Lorentz gradient estimates for quasilinear equations with measure data for the strongly singular case: $1<p\leq \frac{3n-2}{2n-1}$
本文研究了具有\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{rcl} -{\rm div}(\mathcal{A}(x, \nabla u))&=& μ\quad \text{in} ~Ω, u&=&0 \quad \text{on}~ \partial Ω, \end{array}\right. \end{eqnarray*}形式测度的拟线性椭圆型方程解的梯度在Lorentz空间中的整体正则性估计，其中$μ$是$Ω$中的有限符号Radon测度，$Ω\subset \mathbb{R}^n$是一个有界域，使得它的补$\mathbb{R}^n\backslashΩ$是一致的$p$ -厚和$\mathcal{A}$是Carathéodory向量值函数满足增长和单调性条件的强奇异情况$1<p\leq \frac{3n-2}{2n-1}$。我们的结果通过考虑域$Ω$上的粗糙条件和非线性$\mathcal{A}$，将早期的结果\cite{55Ph0,Tran19}推广到了强奇异情形$1<p\leq \frac{3n-2}{2n-1}$和最近的结果\cite{HP}.
2020-03-25 math.AP
Global gradient estimates for very singular quasilinear elliptic equations with measure data
在Lorentz空间和Lorentz-Morrey空间中，继续发展了拟线性测度数据问题\begin{align*} \begin{cases} -\mathrm{div}(A(x,\nabla u)) &= μ\quad \text{in} \ \ Ω, \\ \quad \quad \qquad u &=0 \quad \text{on} \ \ \partial Ω, \end{cases} \end{align*}的正则性结果，其中$Ω\subset \mathbb{R}^n$（$n \ge 2$），$μ$是$Ω$上的有限Radon测度，$A$是作用在$W^{1,p}_0(Ω)$与其对偶$W^{-1,p'}(Ω)$之间的单调Carathéodory向量值算子.重点研究了“非常奇异”的情形$1<p \le \frac{3n-2}{2n-1}$，并在弱假设下考虑了该问题，其中$p$ -容量均匀厚度条件被施加到区域$Ω$的补上.在我们的研究中，有两个主要结果有关的整体梯度估计的解决方案在Lorentz和Lorentz-Morrey空间涉及使用的最大和分数极大算子。写这篇工作论文的想法直接来自于最近的结果，其他人在同一研究课题，其中全球估计的梯度的解决方案的“非常奇异”的情况下仍然是一个挑战，特别是有关洛伦兹和洛伦兹-莫雷空间。
2021-04-05 math.AP
McKean-Vlasov equations and nonlinear Fokker-Planck equations with critical singular Lorentz kernels
Bielefeld University（比勒费尔德大学）；Academy of Mathematics and System Sciences, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文研究了具有临界奇异洛伦兹核的麦肯-瓦拉茨夫方程和非线性福克-普朗克方程的适定性，证明了在特定条件下这些方程的解的存在性和唯一性。
2025-11-25 math.AP math.PR
Lorentz-Morrey global bounds for singular quasilinear elliptic equations with measure data
本文的目的是给出Lorentz-Morrey空间中拟线性椭圆型问题\begin{align*} \begin{cases} -div(A(x,\nabla u)) &= μ\quad \text{in} \ \ Ω, \\ u &=0 \quad \text{on} \ \ \partial Ω, \end{cases} \end{align*}重整化解的梯度的整体估计，其中$Ω\subset \mathbb{R}^n$（$n \ge 2$），$μ$是有限Radon测度，$A$是定义在$W^{1,p}_0(Ω)$上的单调Carathéodory向量值函数，$Ω$的补域上具有$p$ -容量一致厚度条件.值得注意的是，G. Mingione在\cite{Mi3}中至少对于$2 \le p \le n$的情况是这样的，其中将这样的结果推广到全局的想法也在同一篇论文中提出。后来，N.C. J.C.在\cite{55Ph1}中对正则情况$p>2 - \frac{1}{n}$得到了全局Lorentz-Morrey和Morrey积分。在本研究中，我们特别将自己限制在单一情况下$\frac{3n-2}{2n-1}<p\le 2-\frac{1}{n}$。这些结果是推广我们在以前的工作\cite{MP2018}中的$λ$型好界技术的核心，其中这类方程解的局部梯度估计是在Lorentz空间中得到的。此…
2019-02-02 math.AP
Time-like lorentzian minimal submanifolds as singular limits of nonlinear wave equations
考虑半线性波动方程$u_{tt} - Δu + \nabla W(u)/ ε^2 = 0$在$\mathbf R^{1+n}$中的尖界面极限$ε\to 0$，其中$u$取值于$\mathbf R^k$，$k = 1,2$，当$k = 1$为$W$时，$W$为双阱势，当$k = 2$为$W$时，$W$在单位圆上为零，在其它地方为正.对于固定的$ε> 0$，我们找到了一些特殊的解决方案，构造在$\mathbf R^n$的极小曲面。在一般的情况下，在一些额外的假设下，我们证明了解决方案收敛到一个Radon措施支持的类时$k$ -余维极小子流形的闵可夫斯基时空。这一结果在奇点出现后也成立，并加强了J. Neu的观察，即这个半线性方程可以被看作是Born-Infeld方程的近似。
2009-11-05 math-ph math.AP math.MP
Local Smoothing Estimates near a Trapped Set with Infinitely Many Connected Components
本文证明了一类具有无穷多条捕获测地线的旋转曲面上的薛定谔方程的局部光滑结果。我们的主要结果是一个局部平滑估计与损失（相比\cite{ChMe-lsm}）取决于累积率的临界点的轮廓曲线。证明使用了一个h-依赖版本的半经典奇性传播的奇异性，和一个结果粘上一个h-依赖的截止预解估计数。
2018-02-09 math.AP math.SP
Singular solutions and bifurcation diagram of semilinear elliptic equations with general nonlinearity in two dimensions
针对二维一般指数型非线性半线性椭圆方程，放宽奇异解存在条件并给出其渐近形式，同时在非线性项非解析时证明正则解分支曲线围绕某点无穷多次振荡。
2025-11-12 math.AP
An existence result for singular fractional Kirchhoff-Schrödinger-Poisson system
本文研究了一类具有弱奇异性的分数阶Kirchhoff-Schrödinger-Poisson方程组无穷多个弱解的存在性，即当$0<γ<1$ .进一步，我们得到了强奇异解的存在性，即当$γ>1$ .我们采用变分技术证明的存在性和多重结果。利用Moser迭代法得到了一个$L^{\infty}$估计。
2020-06-01 math.AP
Point interactions and singular solutions to semilinear elliptic equations
Politecnico di Torino（都灵理工大学）；Università di Milano Bicocca（米兰比可卡大学）；Università degli Studi di Napoli “Federico II”（那不勒斯费德里科二世大学）
本文研究了半线性椭圆方程与点相互作用薛定谔方程的联系，通过变分方法证明了奇解的存在性，并在二维情况下表征了正解。
2026-10-14 math-ph math.AP math.MP
On complex singularity analysis for some linear partial differential equations in $\mathbb{C}^3$
研究了系数沿解析簇$Θ$奇异的三复变线性偏微分方程在$\mathbb{C}^{2}$中的局部全纯解$Y$的存在性.的系数被写为一些一阶非线性偏微分方程的解决方案$X$的权力的线性组合以下的想法，我们已经开始在以前的工作\cite{mast}。解$Y$沿$Θ$发展奇异性，其指数型的估计依赖于$X$在奇异点附近的增长率.我们构造这些解决方案的帮助下，一系列的功能与无穷多个变量，其中涉及衍生物的所有订单的$X$在一个变量。收敛性和边界估计，这些系列的研究使用优级数方法，导致一个辅助功能方程，包含微分算子在无穷多个变量。利用一个不动点论证，我们证明了这些函数方程在某些形式幂级数的Banach空间中确实有解。
2013-04-01 math.AP math.CV
On the two-power nonlinear Schrödinger equation with non-local terms in Sobolev-Lorentz spaces
本文研究了具有非局部项的二次非线性薛定谔型方程。本文研究了含有无穷能量奇异函数的Sobolev-Lorentz空间的框架。我们的结果包括整体存在性，散射和衰减性质在这个奇异设置与分数正则性指标。解可以在物理上实现，因为它们具有有限的局部$L^2$-质量。此外，我们分析了解的渐近稳定性，虽然方程没有标度，证明了一类解的存在性渐近自相似w.r.t.单次幂NLS方程的缩放。我们的结果推广和补充了[F. Weissler，ADE 2001]，特别是因为我们是在Sobolev-弱-$L^p$空间的更大的设置和考虑非局部项。幂型的两个非线性项和非局部项的普遍性使我们能够以统一的方式涵盖大量的色散方程和系统。
2019-10-01 math.AP
Regularized derivatives in a 2-dimensional model of self-interacting fields with singular data
耦合麦克斯韦-洛仑兹系统描述了经典电动力学中电磁场的反馈作用。当应用于点电荷源（被视为带电流体的极限情况），所产生的非线性弱双曲系统超出了经典分布理论的范围。在广义函数的Colombeau代数的框架下，利用正则化导数，我们分析了Maxwell-Lorentz系统的二维模拟。在建立了解的存在性和唯一性之后，我们得到了关于具有$δ$样初值的解的分布极限的一些结果。
1999-12-29 math.AP math.FA
On elliptic problems with Choquard term and singular nonlinearity
本文用变分方法证明带Choquard项和奇异非线性的椭圆问题有无穷多解，并指出正解几乎处处有界且Hölder连续。
2023-05-06 math.AP math.FA
