Bounds on the number of higher-dimensional partitions
Damir Yeliussizov
我们建立了一些界限上的数量高维分区的体积。特别是，我们通过向量分区和麦克马洪数的界限。
We establish some bounds on the number of higher-dimensional partitions by volume. In particular, we give bounds via vector partitions and MacMahon's numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Fully complementary higher dimensional partitions
我们引入了一个对称类的高维分区-完全互补的高维分区（FCPs）-并证明了其生成函数的公式。通过研究二维FCP的对称类，我们定义了平面划分的经典对称类的变形。作为副产品，我们得到了三个新的对称类的平面分拆的结构，并证明了另一个新的对称类，即拟转置互补平面分拆是equemerous对称平面分拆。
Moments of Partitions and Derivatives of Higher Order
我们定义了整数的分区的时刻，并表明它们出现在某些函数组合的高阶导数中。
MacMahon's statistics on higher-dimensional partitions
研究了高维分拆的一些组合性质，推广了平面分拆。我们提出了一个自然的双射之间的$d$维分区和非负整数的$d$维数组。这种双射有许多重要的应用。我们引入了一个统计的$d$维分区，称为角钩体积，其生成函数的公式麦克马洪猜想。我们得到的多变量公式，其专业化提供类似的各种公式已知的平面分区。我们还介绍了高维类似物的双Grothendieck多项式是准对称函数，其专业化枚举高维分区的一个给定的形状。最后，我们展示了概率连接与定向最后一次通过渗流模型在$\mathbb{Z}^d$。
Explicit (Polynomial!) Expressions for the Expectation, Variance and Higher Moments of the Size of a (2n + 1, 2n + 3)-core partition with Distinct Parts
灵感Armin Straub的猜想（arXiv：1601.07161）的数量和最大尺寸的（2n +1，2n +3）-核心分区与不同的部分，我们开发相对有效的，符号计算算法，基于非线性泛函递归，生成的生成函数，根据大小，这样的分区集。通过计算这些多项式n = 1，. 21，我们能够严格地推导出具有不同部分的（2n +1，2n +3）-核划分的随机变量大小的期望、方差和第三至第七阶矩的显式表达式。"特别是，我们发现这个随机变量在n趋于无穷大时不是渐近正态的。
A lower bound for the partition function from Chebyshev's inequality applied to a coin flipping model for the random partition
利用随机划分的抛硬币模型和切比雪夫不等式证明了$n$的划分数$p(n)$的下界$\lim \frac{\log p(n)}{\sqrt{n}} \ge C$，其中$C$是一个显式常数.
Bounds on the Number of Graphical Partitions
我们缩小了图形分区的数量，没有已知的生成函数通过操纵众所周知的生成函数Frobenius分区。
Extension of the Bernoulli and Eulerian Polynomials of Higher Order and Vector Partition Function
根据L. Carlitz我们介绍了一个推广的伯努利和欧拉多项式的高阶向量指数和参数。这些多项式用于计算矢量分拆函数$W({\bf s},{\bf D})$，即，线性系${\bf x} \ge 0, {\bf D x} = {\bf s}$的多个整数解。证明了$W({\bf s},{\bf D})$可以用高阶向量伯努利多项式表示。
Incidence bounds on Edge Partitions of $K_n$
我们解决了Cheriyan提出的一个问题，给出了连通图的某些边划分在$n$ -顶点上的发生率的精确界。我们简要地讨论了强正则图的节点连通性问题的历史和关系。我们表明，边界不能更尖锐。
A sharp bound for the reconstruction of partitions
Cameron，Pretzel和Siemons提出的一个问题证明了$n\ge 2(k+3)(k+1)$的每一个整数划分都可以从它的$k$ -缺失集合中重建出来。我们描述了一种新的重建算法，降低这一界限$n\ge k^2+2k$和目前的例子表明，这一界限是最好的可能。
New bounds on the maximum size of Sperner partition systems
一个$(n,k)$ -Sperner划分系统是一些$n$ -集的划分的集合，每个划分为$k$非空类，使得任何划分的类都不是任何其他划分的类的子集。$(n,k)$ -Sperner分区系统中的最大分区数表示为$\mathrm{SP}(n,k)$。在本文中，我们介绍了一个新的构造Sperner分配系统，并使用它来渐近确定$\mathrm{SP}(n,k)$在许多情况下，作为$\frac{n}{k}$变得很大。我们还给出了一个略有改进的上界$\mathrm{SP}(n,k)$，并表现出一个无限的家庭参数集$(n,k)$，这个界是紧的。
New Lower Bounds for Tverberg Partitions with Tolerance in the Plane
设$P$是$d$维空间中的一组$n$点. Tverberg定理表明，如果$n$至少是$(k-1)(d+1)+1$，则$P$可以划分为凸壳相交的$k$集合。具有此属性的分区称为{ \em Tverberg分区}。如果分区在从$P$中删除任何一组$t$点后仍然是Tverberg分区，则该分区具有容差$t$。只要$n$足够大，在任何维度上都存在容差Tverberg划分。令$N(d,k,t)$为$n$的最小值，使得对于$\mathbb{R}^d$中的任何$n$点集合存在容许Tverberg分区。只有少数精确值的$N(d,k,t)$是已知的。本文建立了$N(2,2,2)$的一个新的紧界.我们还证明了$k\ge 2$和$t\ge 1$的$N(2,k,t)$的许多新的下界。
New lower bounds for weak Schur partitions
本文记录了整数区间[1，n]划分为弱无和子集的一些显然是新的结果。这些都是使用密切相关的舒尔在1917年使用的方法。新的下界可以通过这种方式为无限大小的分区生成。随着子集数量的增加，下界的渐近增长率不能小于强无和分区的相同增长率，因此超过3.27。划分成“少量"子集的具体结果包括$WS(6) \ge 642$、$WS(7) \ge 2146$、$WS(8) \ge 6976$、$WS(9) \ge 21848$和$WS(10) \ge 70778$。
A finite partition theorem with double exponential bounds
我们证明，双指数是一个上界拉姆齐定理的染色对时，我们要预先确定的顺序的连续成员的齐次集的差异。
Lifting methods in mass partition problems
质量划分中的许多结果都是通过将$\mathbb{R}^d$提升到高维空间并将高维空间划分为多个部分来证明的。我们扩展这样的方法使用提升参数多面体表面。在其他结果中，我们证明了$d+1$测度在$\mathbb{R}^d$中由平行超平面均分的存在性和$d+2$测度在$\mathbb{R}^d$中由同心球均分的存在性。对于措施的支持是足够好的分离，我们证明的结果，其中一个可以削减一个固定的（可能不同的）部分，每个措施无论是由平行超平面，同心球，凸多面体表面的几个方面，或凸多胞体与几个顶点。
A Finite-Bound Partition Equinumerosity Result Generalizing a Solution of a Problem Posed by Andrews and Deutsch
本研究对Andrews、Deutsch2016年提出、后经Smoot和Yang2018年推广的分拆等计数结论做有限界拓展，并给出对应双射证明。
On the asymptotics of higher-dimensional partitions
我们猜想立体（三维）划分数的渐近性态与三维MacMahon数的渐近性态是一致的。证据提供了一个确切的枚举固体分区的所有整数<=68，其号码是惊人的准确性使用渐近公式（与一个自由参数）和更好的精度增加的自由参数。我们还推测，类似的行为举行高维分区，并提供了一些初步的证据，四维和五维分区。
Sharp bounds on the least eigenvalue of a graph determined from edge clique partitions
给出了任意图的最小特征值的精确界。利用边团划分推导出了下（上）界的充要（充分）条件。作为应用，我们证明了$n$图$\mathcal{Q}(n)$的最小特征值对每一个$n \ge 4$都等于$-4$，并且证明了该特征值的重数为$(n-3)^2$ .此外，还得到了关于边团划分图参数的一些结果。
Heden's bound on the tail of a vector space partition
$\mathbb{F}_q^v$的向量空间划分是子空间的集合，使得每个非零向量包含在唯一元素中。在子情形下，我们改进了Heden关于向量空间划分中最小出现维数的元素个数的一个下界。为此，我们引入了$\mathbb{F}_q^v$中$k$ -子空间的$q^r$ -可除集的概念.通过几何论证，我们得到了这些对象的不存在性结果，从而推广了Heden的结果.
Infinite-Exponent Partition Relations on Higher Analogues of the Real Line
本文研究了形如⟨^α2,<_lex⟩的线性序的无限指数划分关系，在ZF中无选择公理下，给出了实线设定的推广结果，并对⟨^α2,<_lex⟩→(τ)^τ关系进行了完整分类。
Sperner partition systems
集合$X$上的\textsl{Sperner $k$-partition system}是将$X$划分为$k$类的集合，使得划分的类形成Sperner集合系统（因此来自一个划分的类不是来自另一个划分的类的子集）。这些系统是由Meagher，Rimala和Stevens在\cite{MMS}中定义的，他们表明如果$|X| = k \ell$，那么最大的Sperner $k$ -分区系统具有大小$\frac{1}{k}\binom{|X|}{\ell}$。本文给出了最大的Sperner $k$ -划分系统的大小的界，其中$k$不划分$X$的大小，特别地，当$k=2$时给出了一个精确的界，当$|X| = 2k+1$，$|X|=2k+2$和$|X| = 3k-1$时给出了上界和下界.
Improved lower bounds on the on-line chain partitioning of posets of bounded dimension
一种在线链划分算法，每次接收一个偏序集的一个元素，并将该元素可并行地分配给其中一个链。30多年前，Szemerédi证明了任何在线算法都可以强制使用$\binom{w+1}{2}$链来划分宽度为$w$的偏序集。可以在任何在线算法上强制的链的最大数量仍然未知。在Bosek等人的一篇调查论文中，结果表明，Szemerédi的论点可以得到改进，以获得一个下界几乎两倍好。变形的问题被认为是限制类的偏序集的有界维数或通过实现大小$d$的偏序集。在本文中，我们证明了两个结果。首先，我们证明了任何在线算法可以强制使用$(2-o(1))\binom{w+1}{2}$链划分宽度为$w$的$2$维偏序集。其次，我们证明了任何在线算法可以强制使用$(2-\frac{1}{d-1}-o(1))\binom{w+1}{2}$链划分的偏序集的宽度$w$通过实现大小$d$。
On sets represented by partitions
我们证明了一个引理，这是有用的，得到上界的分区数没有一个给定的子和。由此我们可以推导出一个改进的上界的集合数表示的（无限制或不平等的部分）分区的整数n。
On refined enumerations of plane partitions of a given shape with bounded entries
本文针对给定形状且项值有界的平面分拆，证明包含0的行数与包含m的行数这两个统计量具有相同分布，并给出双射证明。
On the number of Birch partitions
Birch和Tverberg划分是离散几何中密切相关的概念。我们证明了Birch划分数的两个性质：均匀性和一个下界。这意味着第一个非平凡的下界的数量Tverberg分区，适用于任意q，其中q是分区块的数量。证明是基于直接的论点，并没有使用拓扑组合学的等变方法。
Higher Order Turan Inequalities for the Distinct Partition Function
本文证明不同部分分拆函数 $q(n)$ 在 $n\geq33$ 时对数凹，并在 $n\geq121$ 时满足 Craig 和 Pun 猜想的高阶 Turán 不等式，主要方法是通过 Chern 的 $η$-商渐近公式建立显式误差项。
Explicit Expressions for the Variance and Higher Moments of the Size of a Simultaneous Core Partition and its Limiting Distribution
Jaclyn Anderson证明了如果s和t是互素正整数，那么正好有（s+t-1）！/（s！t！）[001 pdf 1st-31 files]分割，其钩长集合与集合{s，t}不相交。德鲁·阿姆斯特朗（Drew Armstrong）证明了（保罗·约翰逊，以及稍后的维克多·王（Victor Wang）证明了）平均大小的一个美丽的表达式，即（s-1）（t-1）（s+t+1）/24。在本文中，我们远远超出了平均值，并陈述了方差的绝对某些表达式（但“官方”仍然是绝对的）（特别是显示它相当大，并且没有“关于平均值的浓度”），以及第三到第六时刻。对于（s，s+1）-核心分区的特殊情况，我们一直到第9时刻。我们提出了两个挑战，并将很高兴地捐赠100美元，以纪念OEIS基金会的第一个证明者，关于“软”和“全球”，但严格的，我们的经验方法的理由，并证明了一个有趣的猜想有关的限制分布。这个版本报告（感谢Marko Thiel和Nathan Williams）上面提到的第二个挑战已经由Paul Johnson完成（但不是两页）。向OEIS捐款。第一个挑战仍然是开放的。
N^d-indexed persistence modules, higher dimensional partitions and rank invariants
本文通过高维分拆研究可分解的N^d-指标持久性模，给出其秩不变量相同的充要条件，推广了N-指标情形下秩不变量为完全不变量的经典结论。
A note on the Higher order Turán inequalities for $k$-regular partitions
Nicolas和DeSalvo和Pak证明了配分函数$p(n)$对于$n \geq 25$是对数凹的。Chen，Jia和Wang证明了$p(n)$满足三阶Turán不等式，并证明了相应的3次Jensen多项式对$n \geq 94$是双曲的.最近，Griffin，Ono，Rolen和Zagier更一般地证明了对于所有$d$，与$p(n)$相关的次数$d$ Jensen多项式对于足够大的$n$是双曲的。在本文中，我们证明了同样的结果适用于$k$ -正则配分函数$p_k(n)$为$k \geq 2$。特别地，对于任何正整数$d$和$k$，对于足够大的$n$，阶$d$图兰不等式对$p_k(n)$成立。当$d = k = 2$证明了Neil Sloane的猜想$p_2(n)$是对数凹的情况。
Notes on higher-dimensional partitions
我们展示了一系列的转换，捕获几个结构，基于高维分区的存在。这些变换导致一系列的三角形，其条目被赋予组合解释为特定类型的斜费勒斯图的数量。我们分析的最终结果是存在一个三角形，我们用F表示，这意味着计算给定正整数的分区数所需的数据减少了一半。在三角形F中的一个条目族中，跨越有根森林的数量显得很有趣。使用由于Bratley-McKay的算法的修改，我们能够直接枚举一些三角形中的条目。因此，我们已经能够计算在任何维度上正整数<= 25的分区的数量。
The higher spin generalization of the 6-vertex model with domain wall boundary conditions and Macdonald polynomials
Izergin给出了具有畴壁边界条件的六顶点模型的分拆函数的行列式形式。已知对于交叉参数的特定值，分拆函数简化为Schur多项式。Caradoc、Foda和Kitanine计算了6顶点模型的更高自旋推广的分拆函数。在目前的工作中，它示出，对于一个特殊的值的交叉参数，被称为组合点，分拆函数减少到麦克唐纳多项式。
Free stochastic measures via noncrossing partitions II
我们证明了对于具有自由独立增量的随机测度，math.OA/9903084的划分依赖的随机测度可以完全用原测度的高阶随机测度和高阶对角测度来表示.
Partition identities from higher level crystals of $A_1^{(1)}$
本文利用多重基分拆理论研究了仿射李代数 $A_1^{(1)}$ 各层标准模的完美晶体，证明了一族带有绝对值差条件、与 Andrews-Gordon 及 Meurman-Primc 恒等式相关的分拆恒等式。
Higher level $q$-multiple zeta values with applications to quasimodular forms and partitions
本文统一了高阶$q$-多重zeta值与拟模形式及分拆理论，证明任意权重$k\geq2$、水平$N$的拟模形式可由水平$N$的$q$-多重zeta值表示，并构造了整数系数情形的完全可加生成集，给出多种数论计算示例。
Optimal transport for some symmetric, multidimensional integer partitions
本文推广Hohloch关于整数划分与对称划分间最优传输映射的结果至多维情形，利用Kantorovich形式研究高维划分与对称划分的匹配。
Asymptotic bounds on graphical partitions and partition comparability
如果整数划分是单图的度序列，则称之为图的整数划分。我们证明了一个统一选择的分区的大小$n$是图形的概率下降到零的速度比$n^{-.003}$，回答一个问题的Pittel。$n^{-1/2}$的下界由Erdens和Richmond证明，因此这证明了概率以多项式方式减小。我们的论点的关键是一个渐近的结果，Pittel表征的联合分布的第一行和列的均匀随机分区，结合表征图形分区由于Erdos和Gallai。我们的证明也意味着一个多项式上界的概率，两个随机选择的分区是可比的优势顺序。
Rado's criterion over squares and higher powers
我们建立了五个或更多变量的广义毕达哥拉斯方程的分区正则性。此外，我们展示了如何Rado的分区正则方程的特征仍然有效的正$k$次幂的集合，提供的方程至少有$(1+o(1))k\log k$变量。因此，我们完全描述了哪些对角形式是分区规则的，哪些不是，给定足够多的变量。此外，我们证明了一个过饱和版本的Rado定理的线性方程限制到平方减一或几何光滑的数字。
Enumeration of partitions via socle reduction
本研究针对高维分拆的计数问题，证明其可等价转化为满足嵌入维数与基座类型约束的简单高维分拆类计数，给出多类无穷族生成函数精确公式与通用计数流程，并验证得到任意维度下规模≤30的分拆数。
Beyond Log-Supermodularity: Lower Bounds and the Bethe Partition Function
最近的一个结果表明，Bethe配分函数总是下界的二进制，对数超模图模型的真正的配分函数。我们证明，这些结果可以扩展到其他有趣的类的图形模型，不一定是二进制或对数超模：铁磁Potts模型与均匀的外部场及其推广和特殊类的加权图同态问题。
An improved upper bound on the diameters of subset partition graphs
1992年Kalai和Kleitman证明了凸多面体直径的第一个次指数上界。Eisenbrand等人证明了这一界限对连通层族成立，这是一种分析多面体直径的新方法。最近，Todd将多面体的Kalai-Kleitman界改进为$(n-d)^{1+\log_2d}$。本文证明了满足连通层族的连通性性质的子集划分图的直径的一个类似的上界。
Semidefinite programming and eigenvalue bounds for the graph partition problem
图划分问题是将图的顶点集划分为固定数量的给定大小的集合，使得连接不同集合的边的权重之和最优化的问题。在本文中，我们简化了一个已知的矩阵提升半定规划松弛的图划分问题的几类图，也显示了如何聚合额外的三角形和独立集的限制，对称图。给出了强正则图的图划分问题的特征值界，推广了均分问题的类似结果。对于某些Johnson图和Kneser图，我们还导出了图划分问题的一个线性规划界.使用我们所谓的拉普拉斯代数的一个图，我们得出的特征值界的图划分问题，这是第一个已知的封闭形式的界限，适用于任何图形，从而扩展了一个众所周知的结果，在谱图论。最后，我们加强了一个已知的半定规划松弛的一个特定的二次指派问题和上述矩阵提升半定规划松弛通过添加两个约束，对应于分配两个顶点的图的不同部分的分区。当其他松弛提供弱或平凡的界限时，这种加强在高度对称图上表现良好。
Durfee squares, symmetric partitions and bounds on Kronecker coefficients
解决了关于对称群的Kronecker系数$g(λ,μ,ν)$的两个公开问题.首先，我们证明了分区$λ,μ,ν$与固定Durfee平方的大小，克罗内克系数增长最多多项式。其次，我们证明了自共轭分拆$λ$的最大Kronecker系数$g(λ,λ,λ)$超指数增长。我们也给应用程序显式的特殊情况。
On the singularity of random Bernoulli matrices - novel integer partitions and lower bound expansions
我们证明了随机$\pm 1$矩阵是奇异的概率的下界扩展，并推测这种扩展管理的实际概率奇异性。这些扩展基于命名伯努利矩阵可以是奇异的最可能、第二最可能等等的方式;最可能的方式是具有$e_i \pm e_j$形式的零向量，其对应于整数分区11，具有大小为1的两个部分。第二种最可能的方式是具有$e_i \pm e_j \pm e_k \pm e_\ell$形式的零向量，其对应于分区1111。第五最可能的路对应于分区21111。我们定义并描述了在本系列中出现的“新分区”。作为一个家族，新的分区足以检测奇异性，即，任何奇异伯努利矩阵都有一个左零向量，其基础整数划分是新颖的。并且，关于这个性质，新划分族是最小的。我们证明了只有11，1111，21111，111111，221111，311111和322111是具有6个或更少部分的新分区。我们证明有14个新的分区有7个部分。我们制定了一个猜想，分区是“第一名和亚军”，在有关的Erdens-Littlewood-Offord界。证明了左右零向量相互作用的一些界。
Euler's Partition Theorem with Upper Bounds on Multiplicities
我们证明了n的具有交替和k的分区的数目，使得每个部分的重数由2m+1限定，等于n的具有k个奇数部分的分区的数目，使得每个偶数部分的重数由m限定。第一个证明依赖于与Boulet的四参数公式相关的两个具有两个参数的公式。我们还给出了一个组合证明，这一结果使用西尔维斯特的双射，这意味着一个更强的划分定理。当m=0时，我们的结果归结为Bessenrodt对Euler定理的改进。如果交替和奇数部分的数量不考虑在内，我们导致连接到一个推广的欧拉定理，这可以推导出一个定理的安德鲁斯等价的上界序列的多重性。类似地，我们证明了n的具有交替和k的分区的数目，使得每个偶数部分的重数由2m+1限定，等于n的具有k个奇数部分的分区的数目，使得每个偶数部分的重数也由2m+1限定。我们还提供了一个组合证明。
Tolerance for colorful Tverberg partitions
Tverberg定理限定了划分存在所需的点$\mathbb{R}^d$的数量为凸包相交的$r$部分。如果这些点是用$N$颜色着色的，我们寻找每个部分最多有一个每种颜色的点的分区。在这份手稿中，我们绑定的分区的存在所需的颜色类的数量，其中的凸包的部分相交，即使在任何一组$t$颜色被删除。证明了当$r \le d+1$时$t$的渐近最优界，改进了当$r>d+1$时的已知界，并给出了$t=N-o(N)$的点的配置的几何特征.
Polynomial bound for the partition rank vs the analytic rank of tensors
定义在有限域$\mathbb{F}$上的张量，如果其值的分布与均匀分布显著不同，则具有低解析秩。一个阶数$d$张量的分块秩为1，如果它可以写成两个阶数小于$d$的张量的乘积;如果它可以写成分块秩为1的$k$张量的和，它的分块秩至多为$k$。本文证明了：若一阶$d$张量的解析秩至多为$r$，则它的分块秩至多为$f(r,d,|\mathbb{F}|)$，其中对固定的$d$和$\mathbb{F}$，$f$是$r$中的多项式.这是作者最近的一个结果的改进，在那里他得到了一个塔型界。在我们的工作之前，最著名的界限是$r$和$d$中的阿克曼型函数，尽管它不依赖于$\mathbb{F}$。从我们的结果，有偏多项式具有低秩，我们也得到了一个多项式的依赖性，提高了以前已知的阿克曼型界。Miliević独立地同时得到了一个类似的划分秩的多项式界。
Bounded core partitions and Borel-Weil-Bott
本文基于博雷-韦-博特定理，通过分析分解，提出两种计算相关Hodge数的公式，并引入新的整数钩积统计量和半标准 Young表，改进了Hodge数正性的已有界限。
Universal Cusp Scaling in Random Partitions
本文研究Schur测度下随机划分的普适标度极限，扩展先前工作获得高阶Pearcey核，并推导间隙概率的耦合非线性微分方程及大间隙渐近行为。
Limits of Modified Higher (q,t)-Catalan Numbers
$q,t$ -Catalan数可以用有理函数、与希尔伯特方案相关的几何、对称函数、表示论、Dyck路径、划分统计或Dyck字来定义。经过几十年的深入研究，最终证明所有这些定义都是等价的。本文研究了高阶$q,t$ -Catalan数的类似情形，其中代数定义与组合定义的等价性仍然是不确定的.我们计算的几个版本的修改后的更高的$q,t$ -Catalan数的限制，并表明，这些限制等于整数分区的生成函数。我们还确定了某些系数的较高的$q,t$ -Catalan数作为枚举合适的整数划分，我们做了一些说明的同调意义的Bergeron-Garsia nabla运营商。
Higher Order Turán Inequalities for the Partition Function
Turán不等式和高阶Turán不等式产生于Laguerre-Pólya类整函数的Maclaurin系数的研究。一个实数序列$\{a_{n}\}$被称为满足图兰不等式，如果对于$n\geq 1$，有$a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}\geq 0$。如果对$n\geq 1$，$4(a_{n}^2-a_{n-1}a_{n+1})(a_{n+1}^2-a_{n}a_{n+2})-(a_{n}a_{n+1}-a_{n-1}a_{n+2})^2\geq 0$，则称满足高阶Turán不等式.满足图兰不等式的序列也称为对数凹的。对于分拆函数$p(n)$，DeSalvo和Pak表明，对于$n>25$，序列$\{ p(n)\}_{n> 25}$是对数凹的，也就是说，对于$n> 25$，序列是$p(n)^2-p(n-1)p(n+1)>0$。Chen证明了$p(n)$满足$n\geq 95$的高阶Turán不等式.本文利用Hardy-Ramanujan-Rademacher公式导出了$p(n+1)p(n-1)/p(n)^2$的上界和下界，证明了这个猜想.因此，对于$n\geq 95$，詹森多项式$g_{3,n-1}(x)=p(n-1)+3p(n)x+3p(n+1)x^2+p(n+2)x^3$只有实零点。我们猜想，对于任何正整数$m\geq 4$，存在一个整数$N(m)$，使得对于$n\geq N…
On Erdős's Method for Bounding the Partition Function
对于固定的$m$和$R\subseteq \{0,1,\ldots,m-1\}$，取$A$为$m$与$R$的一个元素之模全等的正整数的集合，并设$p_A(n)$为将$n$写为$A$的元素之和的方式的数量。内桑森证明，$\log p_A(n) \leq (1+o(1)) π\sqrt{2n|R|/3m}$使用一个变种的一个非常简单的方法设计的埃尔德什，以约束的分拆函数。在这个简短的说明中，我们描述了一个更简单，更短的证明Nathanson的界限。
Partitions into distinct parts with bounded largest part
我们证明了一个渐近公式的分区$n$到不同的部分，其中最大的部分是最多$t\sqrt{n}$固定$t \in \mathbb{R}$的数量。我们的方法遵循的概率方法Romik，谁给了一个更简单的证明Szekeres的渐近公式为不同的部分分区时，而不是部分的数量是有界的$t\sqrt{n}$。虽然等效于圆法/鞍点法计算，但概率方法在一定程度上预测了渐近公式的形状。
A Double Bounded Version of Schur's Partition Theorem
舒尔分割定理指出，将n分割成不同部分的次数等于将n分割成相差>= 3的部分的次数，其中如果部分是3的倍数，则不等式是严格的。我们建立了一个双重有界的改进版本的这个定理强加一个界限上的部分全等0，1（mod 3）和另一个部分全等2（mod 3），并保持跟踪的数量的部分在每个剩余类（mod 3）。尽管舒尔定理的历史悠久，我们的结果是新的，并扩展了早期的工作安德鲁斯，Alladi-Gordon和Bressoud。我们给出了我们的结果的组合和q-理论证明。特殊情况下L=M导致表示的生成函数的基本分区的q-三项式系数扩展类似的先前表示的安德鲁斯。
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