Grothendieck 多项式与 Lascoux 多项式的最高次齐次分量
Top-degree components of Grothendieck and Lascoux polynomials
AI总结：
本文通过“雪图”构造将 rajcode 统计量推广到任意图，统一刻画 Grothendieck 多项式和 Lascoux 多项式最高次齐次分量的首项单项式，并利用后者构造空间基，从而给出 Bell 数 q-模拟的代数解释。
摘要：
Castelnuovo-Mumford 多项式 $\widehat{\mathfrak{G}}_w$（其中 $w \in S_n$）是 Grothendieck 多项式 $\mathfrak{G}_w$ 的最高次齐次分量。Pechenik、Speyer 和 Weigandt 在 $S_n$ 上定义了一个统计量 $\mathsf{rajcode}(\cdot)$，它给出 $\widehat{\mathfrak{G}}_w$ 的首项单项式。我们通过一种称为“雪图”的组合构造，在任意图 $D$ 上引入统计量 $\mathsf{rajcode}(\cdot)$，该构造对 $D$ 进行扩充和装饰。当 $D$ 是置换 $w$ 的 Rothe 图时，$\mathsf{rajcode}(D)$ 与前述的 $\mathsf{rajcode}(w)$ 一致。当 $D$ 是弱组合 $\alpha$ 的 key 图时，$\mathsf{rajcode}(D)$ 给出 $\widehat{\mathfrak{L}}_\alpha$ 的首项单项式，其中 $\widehat{\mathfrak{L}}_\alpha$ 是 Lascoux 多项式 $\mathfrak{L}_\alpha$ 的最高次齐次分量。我们利用 $\widehat{\mathfrak{L}}_\alpha$ 构造 $\widehat{V}_n$ 的一组基，其中 $\widehat{V}_n$ 是所有 $\widehat{\mathfrak{G}}_w$（$w \in S_n$）张成的空间。然后我们证明 $\widehat{V}_n$ 给出了经典 Bell 数的 $q$-模拟的一个自然代数解释。
英文摘要：
The Castelnuovo-Mumford polynomial $\widehat{\mathfrak{G}}_w$ with $w \in S_n$ is the highest homogeneous component of the Grothendieck polynomial $\mathfrak{G}_w$. Pechenik, Speyer and Weigandt define a statistic $\mathsf{rajcode}(\cdot)$ on $S_n$ that gives the leading monomial of $\widehat{\mathfrak{G}}_w$. We introduce a statistic $\mathsf{rajcode}(\cdot)$ on any diagram $D$ through a combinatorial construction ``snow diagram'' that augments and decorates $D$. When $D$ is the Rothe diagram of a permutation $w$, $\mathsf{rajcode}(D)$ agrees with the aforementioned $\mathsf{rajcode}(w)$. When $D$ is the key diagram of a weak composition $α$, $\mathsf{rajcode}(D)$ yields the leading monomial of $\widehat{\mathfrak{L}}_α$, the highest homogeneous component of the Lascoux polynomials $\mathfrak{L}_α$. We use $\widehat{\mathfrak{L}}_α$ to construct a basis of $\widehat{V}_n$, the span of $\widehat{\mathfrak{G}}_w$ with $w \in S_n$. Then we show $\widehat{V}_n$ gives a natural algebraic interpretation of a classical $q$-analogue of Bell numbers.
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