双正畸公式与Lascoux正性
Double orthodontia formulas and Lascoux positivity
AI总结：
基于Magyar的图表正畸算法提出双Grothendieck多项式新公式，推导双Schubert多项式类似公式，证明旗置换下的Lascoux正性结果并提出对所有置换成立的猜想。
摘要：
基于Magyar的图表正畸算法，我们给出双Grothendieck多项式的新公式。该公式蕴含双Schubert多项式$\boldsymbol{\frak S_w(x;y)}$的类似公式。我们还证明了一个值得关注的正性结果：对$S_n$中的旗置换$w$，多项式$x_1^n\boldsymbol{\text{…}}x_n^n\boldsymbol{\frak S_w(x_n^{-1}, \boldsymbol{\text{…}}, x_1^{-1}; 1, \boldsymbol{\text{…}}, 1)}$是Lascoux多项式的分次非负和。我们猜想该正性结果对所有$S_n$中的$w$成立，此猜想可由关于特定Lascoux多项式乘积的Lascoux正性的独立问题导出。
英文摘要：
We give a new formula for double Grothendieck polynomials based on Magyar's orthodontia algorithm for diagrams. Our formula implies a similar formula for double Schubert polynomials $\mathfrak S_w(\mathbf x;\mathbf y)$. We also prove a curious positivity result: for vexillary permutations $w\in S_n$, the polynomial $x_1^n\dots x_n^n \mathfrak S_w(x_n^{-1}, \dots, x_1^{-1}; 1,\dots,1)$ is a graded nonnegative sum of Lascoux polynomials. We conjecture that this positivity result holds for all $w\in S_n$. This conjecture would follow from a problem of independent interest regarding Lascoux positivity of certain products of Lascoux polynomials.
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