完全非线性函数的值分布
Value Distributions of Perfect Nonlinear Functions
AI总结：
本文利用纯组合工具开发一般性框架研究完全非线性函数的值分布，推导出基本阿贝尔情形下的新条件，并完全确定了输出维数至多为4的向量布尔bent函数的值分布，同时证明了值分布在判定函数完全非线性性与等价性方面的作用。
摘要：
在本文中，我们研究完全非线性函数的值分布，即我们考察像集和原像集的大小。利用纯组合工具，我们开发了一个在最一般设定下处理完全非线性函数的框架，推广了先前在特定约束下取得的若干结果。对于特别令人感兴趣的基本阿贝尔情形，我们推导出了关于值分布的几个新的强条件和分类结果。此外，我们证明了完全非线性函数的大多数经典构造具有非常特定的值分布，即它们是几乎平衡的。因此，我们完全确定了输出维数至多为4的向量布尔bent函数的可能值分布。最后，利用离散傅里叶变换，我们证明了在某些情况下，值分布可用于确定给定函数是否为完全非线性，或判定给定的完全非线性函数是否等价。
英文摘要：
In this paper, we study the value distributions of perfect nonlinear functions, i.e., we investigate the sizes of image and preimage sets. Using purely combinatorial tools, we develop a framework that deals with perfect nonlinear functions in the most general setting, generalizing several results that were achieved under specific constraints. For the particularly interesting elementary abelian case, we derive several new strong conditions and classification results on the value distributions. Moreover, we show that most of the classical constructions of perfect nonlinear functions have very specific value distributions, in the sense that they are almost balanced. Consequently, we completely determine the possible value distributions of vectorial Boolean bent functions with output dimension at most 4. Finally, using the discrete Fourier transform, we show that in some cases value distributions can be used to determine whether a given function is perfect nonlinear, or to decide whether given perfect nonlinear functions are equivalent.
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