Physics-Informed Neural Networks for Solving Multiscale Mode-Resolved Phonon Boltzmann Transport Equation
玻尔兹曼输运方程（BTE）是描述多尺度声子输运现象的理想工具，这对微电子冷却等应用至关重要。数值求解声子BTE是非常具有挑战性的计算，由于这些问题的高维数，特别是当模式分辨性能被认为是。在这项工作中，我们展示了使用物理信息神经网络（PINNs），有效地解决声子BTE的多尺度热输运问题，考虑声子色散和极化。特别地，PINN框架被设计为通过最小化控制方程和边界条件的残差来预测声子能量分布，而不需要任何标记的训练数据。此外，几何参数，如特征长度尺度，作为PINN输入的一部分，这使得能够在参数设置中学习BTE解决方案。本方案的有效性，证明了通过解决在不同的空间维度（从1D到3D）的声子输运问题。与现有的数值BTE求解器相比，该方法在效率和精度方面具有优越性，在实际应用中显示出很大的前景，如电子器件的热设计。
2021-03-17 physics.comp-ph
Hybrid Boundary Physics-Informed Neural Networks for Solving Navier-Stokes Equations with Complex Boundary
针对复杂边界条件下 Navier-Stokes 方程求解难题，提出 HB-PINN，通过预训练初始化、主网络与距离度量网络协同增强边界和内部预测，并在多个基准上取得 SOTA 精度。
2025-07-23 physics.comp-ph
Self-Adaptive Physics-Informed Quantum Machine Learning for Solving Differential Equations
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；Forschungszentrum Jülich（于利希研究中心）；University of Cologne（科隆大学）
该研究将切比雪夫多项式与自适应物理信息神经网络结合，在量子机器学习框架下求解多种微分方程，并通过量子关联测量和纠缠层提升精度，为量子设备求解微分方程提供了新途径。
2025-01-20 cs.LG physics.comp-ph quant-ph
Hybrid Finite Difference with the Physics-informed Neural Network for solving PDE in complex geometries
物理信息神经网络（PINN）通过自动微分（AD）捕获物理约束作为训练损失函数的一部分，在求解偏微分方程（PDE）方面是有效的。本研究提出混合有限差分与物理信息神经网络（HFD-PINN），以充分利用领域知识。其主要思想是在PINN的框架下，用有限差分法（FDM）局部代替AD。特别是，我们使用AD在复杂的边界和FDM在其他领域。混合学习模型在实验中显示出良好的效果。为了在复杂边界区域局部使用有限差分方法，避免背景网格的产生，我们提出了HFD-PINN-sdf方法，该方法在任意点局部使用有限差分格式。此外，为了避免差分格式越过区域边界，还引入了符号距离函数。在本文中，我们证明了我们所提出的方法的性能，并比较了结果与不同数量的配置点的泊松方程，伯格斯方程。我们还选择了几种不同的有限差分格式，包括紧致有限差分方法（CDM）和曲柄尼科尔森方法（CNM），以验证HFD-PINN的鲁棒性。我们以热传导问题和不规则区域上的热传递问题为例来证明我们的框架的有效性。总之，HFD-PINN，特别是HFD-PINN-sdf，在求解复杂几何中的偏微分方程时更有指导性和效率。
2022-02-16 physics.comp-ph
HWF-PIKAN: A Multi-Resolution Hybrid Wavelet-Fourier Physics-Informed Kolmogorov-Arnold Network for solving Collisionless Boltzmann Equation
HWF-PIKAN通过融合小波与傅里叶方法，提升求解无碰撞玻尔兹曼方程的精度和效率，适用于高维相空间中的输运问题。
2025-12-12 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Physics-informed neural networks for solving Reynolds-averaged Navier$\unicode{x2013}$Stokes equations
University of Tehran（德黑兰大学）；KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）
物理信息神经网络（PINN）是用于求解和识别偏微分方程（PDE）的成功机器学习方法。我们采用PINN求解不可压缩湍流的雷诺平均Navier $\unicode{x2013}$ Stokes（RANS）方程，而不需要任何特定的湍流模型或假设，并且只需要域边界上的数据。我们首先通过求解Falkner $\unicode{x2013}$ Skan边界层来证明PINN求解层流Navier $\unicode{x2013}$ Stokes方程的适用性。然后，我们将PINN应用于四种湍流情况的模拟，即，零压力梯度边界层、逆压力梯度边界层和湍流在NACA 4412翼型和周期性山丘上的流动。我们的研究结果表明，PINN的层流与强压力梯度，预测误差小于1%，可以得到很好的适用性。对于湍流，我们也得到了很好的精度模拟结果，即使是对螺栓应力分量。
2021-07-22 cs.LG physics.comp-ph physics.flu-dyn
A Framework Integrating the Dynamic Stiffness Matrix with Physics-Informed Neural Networks for Solving Eigenvalue Problems and Analysing Dynamic Response
The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Tongji University（同济大学）；Southwest Jiaotong University（西南交通大学）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；Chongqing University（重庆大学）；Cardiff University（卡迪夫大学）
本研究提出DSM-PINN框架，结合Wittrick-Williams算法求解特征值问题，用频域-PINN分析结构动态响应，解决神经网络相关局限，验证了方法的实用性与有效性。
2026-09-01 cs.NA math.NA physics.comp-ph
The hardwall method of solving the radial Schrödinger equation and unmasking hidden symmetries
当使用常规的打靶或匹配方法时，求解薛定谔方程的束缚态本征值是一个冗长的迭代过程。在这项工作中，我们绕过本征值的依赖于本征函数，通过简单地尝试所有的本征值到所需的精度。当本征值已知时，本征函数的积分是平凡的。在给定的能量下，通过输出波函数过零处的径向距离（硬壁半径），该方法自动确定径向薛定谔方程的本征值的整个谱，而无需迭代调整。此外，这种球对称的“硬墙”可以揭露由于隐藏的对称性而导致的特征值的“意外退化”。我们举例说明的库仑，谐波，库仑+谐波，和伍兹-撒克逊潜力的方法。
2019-01-29 physics.comp-ph
NAS-PINN: Neural architecture search-guided physics-informed neural network for solving PDEs
提出NAS-PINN方法，通过双层优化自动搜索求解PDE的最佳神经架构，发现浅层网络及残差连接在不同方程中的性能优势，为PINN网络设计提供指导。
2023-10-26 physics.comp-ph
Scalable physics-informed deep generative model for solving forward and inverse stochastic differential equations
Institute of Interdisciplinary Research for Mathematics and Applied Science, School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学数学与统计学院交叉学科数学与应用科学研究所）；Department of Mathematics, Shanghai Normal University（上海师范大学数学系）
本文提出了一种可扩展的物理信息深度生成模型，用于高效求解高维随机和空间中的正向和逆向随机微分方程问题。
2026-03-04 physics.comp-ph stat.ML
Learning Only On Boundaries: a Physics-Informed Neural operator for Solving Parametric Partial Differential Equations in Complex Geometries
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
针对现有深度学习求解PDE需大量数据且受限于有界域的问题，提出基于边界积分方程的物理信息神经算子，仅在边界训练，减少采样点并加速训练，还可处理无界问题，经实验验证有效。
2023-08-24 cs.LG cs.NA math.NA
A hands-on introduction to Physics-Informed Neural Networks for solving partial differential equations with benchmark tests taken from astrophysics and plasma physics
本文以实践教程形式介绍PINNs通过残差最小化及软硬边界约束求解PDE，并在Grad-Shafranov和Lane-Emden方程上验证其灵活性、参数与反问题能力，配套开源代码。
2024-03-01 astro-ph.SR math-ph math.MP
Gen-PINNs: Generative Adversarial Physics Informed Neural Networks for solving partial differential equations
The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
该研究针对标准PINNs的局限性，提出Gen-PINNs框架，通过生成器与判别器结合的方式，在非线性、高阶等含尖锐前沿的PDE求解中，显著提升了精度与收敛性。
2026-10-09 cs.LG physics.comp-ph physics.flu-dyn
Auxiliary-Tasks Learning for Physics-Informed Neural Network-Based Partial Differential Equations Solving
National University of Defense Technology（国防科技大学）
针对原始PINNs精度低、难收敛的问题，本文提出ATL-PINNs，引入四种辅助任务学习模式并用梯度余弦相似度融合损失，在三个PDE问题上显著提升求解精度。
2023-07-12 cs.LG physics.comp-ph
Physics-Informed Neural Network Method for Solving One-Dimensional Advection Equation Using PyTorch
Louisiana Tech University（路易斯安那理工大学）
平流方程的数值解是在允许解析解的条件下使用不同的有限差分近似和物理信息神经网络（PINN）确定的。通过将其与分析解进行比较来检查其准确度。我们使用了像PyTorch这样的机器学习框架来实现PINN。PINN方法允许训练神经网络，同时将PDE作为优化中的强约束，以使其成为损失函数的一部分。在标准的小尺度环流模拟，它表明，传统的方法包括一个伪扩散效应，几乎是一样大的湍流扩散模型的效果，因此，数值解呈现不一致的偏微分方程。这种振荡导致不准确性和计算不确定性。在所有测试的方案中，只有PINN近似准确地预测了结果。我们假设PINNs方法可以通过允许实时物理模拟和几何优化来改变物理模拟领域，而无需在大型超级计算机上进行昂贵且耗时的模拟。
2021-03-21 cs.AI physics.comp-ph
EPINN-NSE: Enhanced Physics-Informed Neural Networks for Solving Navier-Stokes Equations
International University of Rabat（拉巴特国际大学）；University of Lorraine（洛林大学）；INRIA（法国国家信息与自动化研究所）
本文提出EPINN-NSE方法，利用物理信息神经网络（PINN）结合流函数导数近似等新技术求解Navier-Stokes方程，包含简化模型与无假设的灵活模型，高效准确地实现了二维及三维方程的求解。
2023-04-07 cs.AI physics.comp-ph
Physics-Informed Neural Networks for Solving Derivative-Constrained PDEs
Department of Computer Science, University College London, Gower Street, London WC1E 6BT, UK（伦敦大学学院计算机科学系）
本文提出Derivative-Constrained PINNs，通过自动微分高效嵌入非线性约束，减少对人工超参数的依赖，提升物理真实性。
2026-04-15 cs.LG physics.comp-ph
Physics Informed Token Transformer for Solving Partial Differential Equations
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
针对Transformer缺乏物理与推理结合的问题，提出PITT模型，通过将偏微分方程进行token化并嵌入偏导数来学习数值更新算子，在1D和2D PDE预测任务上优于流行神经算子。
2024-02-12 cs.LG physics.comp-ph
Physics-informed neural networks for tsunami inundation modeling
本研究将物理信息神经网络用于海啸浅水波方程求解以简化淹没建模，同时引入深度算子网络学习解算子以提升速度，经经典基准验证可出色模拟海啸传播与淹没过程。
2024-06-23 physics.ao-ph physics.comp-ph
Solving stiff ordinary differential equations using physics informed neural networks (PINNs): simple recipes to improve training of vanilla-PINNs
本文针对普通PINNs难以求解刚性常微分方程初值问题的问题，提出嵌入能量守恒物理、改进初始条件损失定义以及采用增长时间区间和移动配点的渐进式学习等简单改进方法，并验证其对边值问题同样有效。
2023-04-17 physics.comp-ph physics.flu-dyn physics.plasm-ph
MRF-PINN: A Multi-Receptive-Field convolutional physics-informed neural network for solving partial differential equations
Beihang University（北京航空航天大学）
与传统的偏微分方程数值求解方法相比，物理信息神经网络（PINN）在物理场重构和反问题求解等方面表现出了极大的节省开发工作量和计算成本的优势.卷积神经网络（CNN）具有参数共享、空间特征提取和低推理代价等优点，在PINN中得到越来越多的应用。然而，仍然存在以下一些挑战。为了适应卷积PINN来解决不同的PDE，通常需要相当大的努力来调整关键的超参数。此外，有限差分精度和网格分辨率对卷积PINN预测能力的影响尚未解决。为了填补上述空白，本文提出了三个倡议：（1）多接收域PINN（2）在求解Navier-Stokes方程时，采用量纲平衡法估计损失权;（3）采用泰勒多项式填充边界附近的虚拟节点，实现高阶有限差分。通过求解三种典型的线性偏微分方程（椭圆型、抛物型、双曲型）和一系列非线性偏微分方程（Navier-Stokes偏微分方程），验证了该方法的通用性和优越性.本文表明，MRF-PINN可以适应完全不同的方程类型和网格分辨率，而无需任何超参数调整。维数平衡法节省了计算时间，提高了求解Navier-Stokes偏微分方程的收敛性。在高阶有限差分、大通道数和高网格分辨率条件下，求解误差显著减小，有望成为一种通用的卷积PINN算法。
2022-09-16 cs.LG math.AP physics.comp-ph
One-Shot Transfer Learning of Physics-Informed Neural Networks
University of Oxford（牛津大学）；Harvard University（哈佛大学）
有效、准确地求解微分方程是从经典动力系统到量子力学等许多科学研究领域进步的核心。人们对使用物理信息神经网络（PINN）来解决这些问题的兴趣激增，因为它们提供了传统数值方法的许多好处。尽管迁移学习对解微分方程有潜在的好处，但它一直没有得到充分的研究。在这项研究中，我们提出了一个通用的迁移学习PINN的框架，结果在一次推理的线性系统的常微分方程和偏微分方程。这意味着可以立即获得许多未知微分方程的高精度解，而无需重新训练整个网络。我们通过解决几个现实世界的问题，如一阶和二阶线性常方程，泊松方程和时间相关的薛定谔复值偏微分方程，证明了所提出的深度学习方法的有效性。
2022-07-05 cs.LG physics.comp-ph
Solving the wave equation with physics-informed deep learning
我们研究了使用物理信息神经网络（PINNs）求解波动方程。虽然PINN已成功应用于许多物理系统，但由于其解的多尺度、传播和振荡性质，波动方程提出了独特的挑战，目前还不清楚它们在这种情况下的表现如何。我们使用深度神经网络来学习波动方程的解，在训练网络时使用波动方程和边界条件作为损失函数中的直接约束。我们通过求解二维声波方程来测试这种方法，以适应日益复杂的空间变化速度模型，包括均匀，分层和地球现实模型，并发现该网络能够准确地模拟这些情况下的波场。通过使用损失函数中的物理约束，网络能够解决远远超出其边界训练数据的波场，提供了一种减少现有深度学习方法泛化问题的方法。我们通过将网络调节到源位置来扩展地球现实情况下的方法，并发现它能够在此初始条件下进行推广，从而无需为每个解决方案重新训练网络。与传统的数值模拟相比，这种方法在计算波场中的任意时空点时非常有效，因为一旦训练好，网络就可以在一个步骤中进行推理，而无需计算整个波场。我们讨论了这项工作的潜在应用，局限性和进一步的研究方向。
2020-06-21 physics.comp-ph physics.geo-ph
Neural Eikonal Solver: improving accuracy of physics-informed neural networks for solving eikonal equation in case of caustics
物理信息神经网络的概念由于其灵活性而成为求解微分方程的有用工具。有几种方法使用这个概念来求解程函方程，程函方程描述了光滑非均匀速度模型中声波和弹性波的初至走时。然而，程函的挑战是加剧了速度模型产生焦散，导致不稳定性和恶化的准确性，由于非光滑的解决方案的行为。在本文中，我们重新讨论了使用神经网络解决程函方程的问题，以解决焦散病变。我们介绍了新的神经Eikonal求解器（NES）解决各向同性Eikonal方程在两个配方：一点问题是一个固定的源位置;两点问题是一个任意的源接收器对。我们提出了几种技术，提供了稳定的速度模型产生焦散线：改进的因式分解;非对称损失函数的基础上的哈密顿量;高斯激活;对称化。在我们的测试中，NES显示相对于二阶因子快速推进方法的相对平均绝对误差约为0.2 - 0.4%，并且优于现有的神经网络求解器，误差降低10 - 60倍，训练速度提高2 - 30倍。NES的推理时间与Fast Marching相当。单点NES提供了最精确的解，而两点NES提供了稍低的精度，但给出了非常紧凑的表示。它在需要大量计算（数百万个源-接收器对）的各种地震应用中非常有用：射线建模，走时层析成像，震源定位和基尔霍夫偏移。
2022-05-16 physics.comp-ph physics.geo-ph
Physics-Informed Neural Solvers for Periodic Quantum Eigenproblems
Program in Applied Mathematics Department of Applied Physics and Applied Mathematics（应用数学项目 应用物理与应用数学系）
本文提出了一种基于神经网络的物理信息求解器，用于求解周期性量子本征问题，通过迁移学习适应不同势场并捕捉带结构拓扑变化。
2025-12-20 cs.LG physics.comp-ph
A Theory-guided Weighted $L^2$ Loss for solving the BGK model via Physics-informed neural networks
Academy of Mathematics and Systems Sciences, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；Center for Mathematical Machine Learning and its Applications (CM2LA), Department of Mathematics, Pohang University of Science and Technology（浦项科技大学数学系数学机器学习及其应用中心(CM2LA)）；Department of Mathematics, Gyeongsang National University（庆尚国立大学数学系）；Research Institute of Mathematics, Seoul National University（首尔大学数学研究所）
本文提出一种加权L²损失函数，用于改进基于物理的神经网络求解BGK模型的精度，通过稳定性估计证明了该损失函数保证了近似解的收敛性，并通过数值实验验证了其在不同基准测试中的优越性。
2026-11-02 cs.LG cs.NA math.NA
Solving higher-order Lane-Emden-Fowler type equations using physics-informed neural networks: benchmark tests comparing soft and hard constraints
Observatoire Astronomique（斯特拉斯堡天文台）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学）
本文针对高阶奇异 Lane-Emden-Fowler 型常微分方程，比较 PINNs 的软约束损失加权与硬约束试解两种方案，并分析各自优劣。
2023-07-14 astro-ph.SR cs.LG physics.comp-ph
Solving Partial Differential Equations with Point Source Based on Physics-Informed Neural Networks
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Huawei Technologies Co. Ltd（华为技术有限公司）
近年来，深度学习技术已被用于求解偏微分方程（PDE），其中物理信息神经网络（PINNs）是一种很有前途的方法，可用于求解正向和逆偏微分方程问题。在控制方程中用狄拉克δ函数表示的点源偏微分方程是许多物理过程的数学模型。然而，由于狄拉克δ函数的奇异性，传统的PINNs方法无法直接求解。我们提出了一个通用的解决方案来解决这个问题，三个新的技术。首先将Dirac delta函数建模为连续的概率密度函数，消除奇异性;其次，提出一种下界约束不确定性加权算法，平衡点源区域与其他区域之间的PINNs损失;再次，采用具有周期性激活函数的多尺度深度神经网络，提高PINNs方法的精度和收敛速度。我们用三个有代表性的偏微分方程对所提出的方法进行了评估，实验结果表明，我们的方法在准确性、效率和通用性方面优于现有的基于深度学习的方法。
2021-11-02 cs.AI cs.LG physics.comp-ph
On the training of physics-informed neural operators for solving parametric partial differential equations
College of Civil Engineering, Tongji University（同济大学土木工程学院）；Department of Engineering Science, University of Oxford（牛津大学工程科学系）；Institute for Foundations of Data Science, Yale University（耶鲁大学数据科学基础研究所）
本文系统研究了物理信息神经算子（PINO）的训练策略，包括架构设计、优化器选择、损失平衡和配置点采样，通过实验发现CViT架构表现稳定，并揭示了梯度冲突和因果违反等优化问题，表明PINN的缓解算法在PINO中同样有效。
2026-06-04 cs.LG physics.comp-ph
Is it time to swish? Comparing activation functions in solving the Helmholtz equation using physics-informed neural networks
数值求解波动方程构成了地震成像和全波形反演等应用的大部分计算成本。另一种方法是求解频域亥姆霍兹方程，因为它提供了降维，因为它可以按频率求解。然而，经典亥姆霍兹求解器的计算挑战，例如需要反转大型刚度矩阵，可以使这些方法在计算上对于大型3D模型或高频建模不可行。此外，这些方法没有一个机制来转移从解决一个问题到下一个问题所获得的信息。这成为一个瓶颈的应用程序，如全波形反演重复建模是必要的。因此，最近一种新的方法的基础上新兴的范式物理知情的神经网络（PINNs）已被提出来解决亥姆霍兹方程。该方法在解决与传统算法相关的几个挑战方面表现出了希望，包括对额外物理建模的灵活性以及使用迁移学习来加速计算。然而，这一办法仍需进一步发展才能完全切实可行。其中最主要的挑战是收敛速度慢和精度降低，特别是在速度模型中存在明显的不均匀性的情况下。因此，为了探索如何提高PINN Helmholtz求解器的收敛性，我们研究了PINN文献中常用的不同激活函数，以及Swish激活函数-ReLU的一种变体，它在许多数据科学问题上表现出了更好的性能。通过比较研究，我们发现，与PINN文献中常规使用的其他激活函数相比，swish具有更好的性能。
2021-10-11 physics.comp-ph physics.geo-ph
Pseudo grid-based physics-informed convolutional-recurrent network solving the integrable nonlinear lattice equations
本文提出基于伪网格的物理信息卷积-循环网络PG-PhyCRNet，用于求解可积非线性晶格方程中的局域波解，通过Toda晶格和自对偶网络方程实验验证其能有效提升对陡峭高速孤子的长期演化预测与外推能力。
2024-06-25 nlin.PS nlin.SI physics.comp-ph
Variational Physics-Informed Neural Networks For Solving Partial Differential Equations
Brown University（布朗大学）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）；Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
物理信息神经网络（PINN）[31]使用自动微分来求解偏微分方程（PDE），方法是在感兴趣的域中的一组随机点处惩罚损失函数中的PDE。在这里，我们通过选择{ \em试验空间}作为神经网络的空间，{ \em测试空间}作为勒让德多项式的空间，基于深度神经网络（DNN）的非线性近似开发了一个Petrov-Galerkin版本的PINN。我们制定\textit{variational residual}的PDE使用DNN近似，通过将问题的变分形式的网络的损失函数，并构建一个\textit{variational physics-informed neural network}（VPINN）。通过将被积函数以变分形式进行部分积分，我们降低了由神经网络表示的微分算子的阶数，从而有效地降低了VPINNs的训练成本，同时与基本上采用delta测试函数的PINNs相比提高了它们的精度。对于具有一个隐藏层的浅网络，我们解析地得到了\textit{variational residual}的显式形式。我们展示了几个例子的新配方的性能，表明VPINNs在准确性和速度方面明显优于PINNs。
2019-11-27 cs.LG cs.NA cs.NE
Physics-Informed Boundary Integral Networks (PIBI-Nets): A Data-Driven Approach for Solving Partial Differential Equations
University of Basel（巴塞尔大学）
本文提出物理信息边界积分网络（PIBI-Nets），通过在比原问题空间低一维的边界上布点求解偏微分方程，克服了PINNs在高维场景下需要密集配点的计算瓶颈，并在Laplace和Poisson方程及地下水流动重建中验证了其优于PINNs的性能。
2024-07-03 cs.LG cs.NA math.DS
Physics-Informed Machine Learning for Optical Modes in Composites
我们证明，将物理驱动的约束嵌入到机器学习过程中可以显着提高模型的准确性和泛化能力。物理知识的学习是通过空间周期性复合材料传播的光学模式分析的例子来说明的。所提出的方法可以很容易地利用在其他情况下映射到一个特征值问题，一个已知的计算电动力学的瓶颈。物理信息学习可以用来改进机器学习驱动的设计、优化和表征，特别是在精确解决方案稀缺或缓慢提出的情况下。
2021-12-15 cond-mat.mtrl-sci physics.app-ph physics.comp-ph
Solving the Teukolsky equation with physics-informed neural networks
本文提出用 PINNs 求解 Teukolsky 方程以计算 Kerr 黑洞准正规模，实现简单且精度通常优于1%，并验证其适用于 SNR>100 的中期引力波数据分析。
2024-04-08 astro-ph.HE gr-qc physics.comp-ph
Physics-informed Neural Networks for Solving Inverse Problems of Nonlinear Biot's Equations: Batch Training
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；The Danish Hydrocarbon Research and Technology Centre（丹麦油气研究与技术中心）
在生物医学工程、地震预测和地下能量收集中，间接估计多孔介质的物理性质是至关重要的，因为直接测量这些物理性质通常是不切实际的/禁止的。在这里，我们应用物理知识的神经网络来解决非线性Biot方程的反问题。具体来说，我们考虑批量训练并探索不同批量大小的效果。结果表明，小批量训练，即，每批几个实例提供了比使用大批量或整批更好的物理参数近似值（更低的百分比误差）。物理参数的准确性提高是以更长的训练时间为代价的。具体来说，我们发现大小不应该太小，因为非常小的批量大小需要非常长的训练时间，而不会相应地提高估计精度。我们发现，批量大小为8或32是一个很好的妥协，这也是强大的数据中的加性噪声。学习率也起着重要的作用，应该被用作超参数。
2020-05-18 cs.LG cs.NA math.NA
Extreme Theory of Functional Connections: A Physics-Informed Neural Network Method for Solving Parametric Differential Equations
在这项工作中，我们提出了一种新的，准确的，强大的物理信息的方法来解决涉及参数微分方程（DE）的问题，称为函数连接的极值理论，或X-TFC。所提出的方法是一个协同作用的两个最近开发的框架，用于解决问题，涉及参数DE，1）理论的功能连接，TFC和物理信息神经网络，PINN。虽然本文的重点是解决涉及参数DE（即建模误差可以忽略不计的问题）与已知参数的精确问题，X-TFC也可以用于数据驱动的解决方案和数据驱动的参数DE的发现。在所提出的方法中，参数DE的潜在解决方案是近似的TFC约束表达式，使用神经网络（NN）作为自由函数。这种近似解形式总是解析地满足DE的约束，同时保持具有无约束参数的NN，如Deep-TFC方法。X-TFC与PINN和Deep-TFC不同; PINN和Deep-TFC使用深度NN，X-TFC使用单层NN，或者更准确地说，是极限学习机ELM。这种选择是基于ELM算法的属性。为了数值验证的方法，它被测试了一系列的问题，包括线性和非线性的普通DE（ODE），系统的ODE（SODE），和部分DE（PDE）的解决方案的近似。此外，其中一些问题在物理和工程中是感兴趣的，例如经典的Emden-Fowler方程，辐射传递（RT）方程和热传递（HT）方程。结果表明，X-TFC实现了高精度与低的计算时间，因此它是与其他国家的最先进的方法相媲美。
2020-05-15 cs.LG cs.NA math.NA
Physics-informed neural networks for the shallow-water equations on the sphere
Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）；Universität Wien（维也纳大学）；Institute of Mathematics of NAS of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）
本研究提出将物理 informed 神经网络用于求解球面上的浅水方程，针对长间隔训练难题提出多模型序列训练方法，并通过自定义层编码边界条件，在经典测试案例中验证了方法有效性。
2022-02-12 cs.AI cs.LG cs.NA
