Solving the acoustic VTI wave equation using physics-informed neural networks
对应于各向异性声波方程的频域波场解可以用来描述地球的各向异性性质。为了求解频域波动方程，我们经常需要求阻抗矩阵的逆。这导致随着模型大小的增加，计算成本急剧增加。对于阻抗矩阵复杂得多的各向异性介质，这甚至是一个更大的挑战。为了解决这个问题，我们使用物理信息神经网络（PINNs）的新兴范式，以获得波场解的声波方程的横向各向同性（TI）介质的垂直对称轴（VTI）。PINN利用自动微分的概念来计算其偏导数。因此，我们使用波动方程作为损失函数来训练神经网络，以提供函数解来形成声波VTI波动方程。我们不直接预测压力波场，而是求解散射压力波场，以避免处理点源奇异性。我们使用空间坐标作为网络的输入数据，输出散射波场的实部和虚部以及辅助函数。在训练了深度神经网络（NN）之后，我们可以使用这个训练好的NN立即评估空间中任何点的波场。我们展示了一个简单的异常模型和分层模型的这些功能。在一个改进的三维逆掩断层模型和一个不规则地形模型上的试验也表明了该方法的有效性。
2020-08-04 physics.comp-ph physics.geo-ph
Physics-Informed Neural Networks for Solving Multiscale Mode-Resolved Phonon Boltzmann Transport Equation
玻尔兹曼输运方程（BTE）是描述多尺度声子输运现象的理想工具，这对微电子冷却等应用至关重要。数值求解声子BTE是非常具有挑战性的计算，由于这些问题的高维数，特别是当模式分辨性能被认为是。在这项工作中，我们展示了使用物理信息神经网络（PINNs），有效地解决声子BTE的多尺度热输运问题，考虑声子色散和极化。特别地，PINN框架被设计为通过最小化控制方程和边界条件的残差来预测声子能量分布，而不需要任何标记的训练数据。此外，几何参数，如特征长度尺度，作为PINN输入的一部分，这使得能够在参数设置中学习BTE解决方案。本方案的有效性，证明了通过解决在不同的空间维度（从1D到3D）的声子输运问题。与现有的数值BTE求解器相比，该方法在效率和精度方面具有优越性，在实际应用中显示出很大的前景，如电子器件的热设计。
2021-03-17 physics.comp-ph
Hybrid Boundary Physics-Informed Neural Networks for Solving Navier-Stokes Equations with Complex Boundary
针对复杂边界条件下 Navier-Stokes 方程求解难题，提出 HB-PINN，通过预训练初始化、主网络与距离度量网络协同增强边界和内部预测，并在多个基准上取得 SOTA 精度。
2025-07-23 physics.comp-ph
Solving two-dimensional quantum eigenvalue problems using physics-informed machine learning
一个被限制在一个不可通过的盒子里的粒子是一个典型的、精确可解的一维量子系统。在这里，我们探索了它的一些无限多的推广到二维，包括粒子局限于矩形，椭圆形，三角形和心形盒子，使用物理学通知神经网络。特别地，我们推广了一种无监督学习算法来寻找粒子的特征值和特征函数。在训练过程中，神经网络调整其权重和偏置，其中之一是能量特征值，因此其输出近似求解具有归一化和相互正交特征函数的薛定谔方程。同样的过程解决了亥姆霍兹方程的谐波和振动模式的波鼓面或横向磁模式的电磁腔。相关的应用包括动态台球，量子混沌和拉普拉斯光谱。
2023-02-02 physics.comp-ph quant-ph
Hybrid Finite Difference with the Physics-informed Neural Network for solving PDE in complex geometries
物理信息神经网络（PINN）通过自动微分（AD）捕获物理约束作为训练损失函数的一部分，在求解偏微分方程（PDE）方面是有效的。本研究提出混合有限差分与物理信息神经网络（HFD-PINN），以充分利用领域知识。其主要思想是在PINN的框架下，用有限差分法（FDM）局部代替AD。特别是，我们使用AD在复杂的边界和FDM在其他领域。混合学习模型在实验中显示出良好的效果。为了在复杂边界区域局部使用有限差分方法，避免背景网格的产生，我们提出了HFD-PINN-sdf方法，该方法在任意点局部使用有限差分格式。此外，为了避免差分格式越过区域边界，还引入了符号距离函数。在本文中，我们证明了我们所提出的方法的性能，并比较了结果与不同数量的配置点的泊松方程，伯格斯方程。我们还选择了几种不同的有限差分格式，包括紧致有限差分方法（CDM）和曲柄尼科尔森方法（CNM），以验证HFD-PINN的鲁棒性。我们以热传导问题和不规则区域上的热传递问题为例来证明我们的框架的有效性。总之，HFD-PINN，特别是HFD-PINN-sdf，在求解复杂几何中的偏微分方程时更有指导性和效率。
2022-02-16 physics.comp-ph
HWF-PIKAN: A Multi-Resolution Hybrid Wavelet-Fourier Physics-Informed Kolmogorov-Arnold Network for solving Collisionless Boltzmann Equation
Sharif University of Technology（谢里夫理工大学）
HWF-PIKAN通过融合小波与傅里叶方法，提升求解无碰撞玻尔兹曼方程的精度和效率，适用于高维相空间中的输运问题。
2025-12-12 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A data-enabled physics-informed neural network with comprehensive numerical study on solving neutron diffusion eigenvalue problems
我们提出了一个数据使能的物理信息神经网络（DEPINN）与全面的数值研究解决工业规模的中子扩散本征值问题（NDEPs）。为了使复杂的工程问题达到工程可接受的精度，建议使用非常少量的物理实验先验数据，以提高训练的精度和效率。我们设计了一个自适应优化过程与亚当和LBFGS，以加快收敛的训练阶段。我们讨论了不同的物理参数，采样技术，损失函数分配和推广性能的建议DEPINN模型解决复杂问题的影响。在从简单几何到复杂几何、从单能方程到双群方程的三个典型基准问题上验证了DEPINN模型的可行性。大量的数值结果表明，DEPINN可以有效地解决NDEPs与适当的优化过程。所提出的DEPINN可以推广到其他输入参数设置一旦其结构被训练。这项工作证实了DEPINN在核反应堆物理实际工程应用中的可能性。
2022-11-13 nucl-ex physics.comp-ph
Physics-informed neural networks for solving Reynolds-averaged Navier$\unicode{x2013}$Stokes equations
University of Tehran（德黑兰大学）；KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）
物理信息神经网络（PINN）是用于求解和识别偏微分方程（PDE）的成功机器学习方法。我们采用PINN求解不可压缩湍流的雷诺平均Navier $\unicode{x2013}$ Stokes（RANS）方程，而不需要任何特定的湍流模型或假设，并且只需要域边界上的数据。我们首先通过求解Falkner $\unicode{x2013}$ Skan边界层来证明PINN求解层流Navier $\unicode{x2013}$ Stokes方程的适用性。然后，我们将PINN应用于四种湍流情况的模拟，即，零压力梯度边界层、逆压力梯度边界层和湍流在NACA 4412翼型和周期性山丘上的流动。我们的研究结果表明，PINN的层流与强压力梯度，预测误差小于1%，可以得到很好的适用性。对于湍流，我们也得到了很好的精度模拟结果，即使是对螺栓应力分量。
2021-07-22 cs.LG physics.comp-ph physics.flu-dyn
Scalable physics-informed deep generative model for solving forward and inverse stochastic differential equations
Institute of Interdisciplinary Research for Mathematics and Applied Science, School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学数学与统计学院交叉学科数学与应用科学研究所）；Department of Mathematics, Shanghai Normal University（上海师范大学数学系）
本文提出了一种可扩展的物理信息深度生成模型，用于高效求解高维随机和空间中的正向和逆向随机微分方程问题。
2026-03-04 physics.comp-ph stat.ML
Learning Only On Boundaries: a Physics-Informed Neural operator for Solving Parametric Partial Differential Equations in Complex Geometries
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
针对现有深度学习求解PDE需大量数据且受限于有界域的问题，提出基于边界积分方程的物理信息神经算子，仅在边界训练，减少采样点并加速训练，还可处理无界问题，经实验验证有效。
2023-08-24 cs.LG cs.NA math.NA
NAS-PINN: Neural architecture search-guided physics-informed neural network for solving PDEs
提出NAS-PINN方法，通过双层优化自动搜索求解PDE的最佳神经架构，发现浅层网络及残差连接在不同方程中的性能优势，为PINN网络设计提供指导。
2023-10-26 physics.comp-ph
A hands-on introduction to Physics-Informed Neural Networks for solving partial differential equations with benchmark tests taken from astrophysics and plasma physics
本文以实践教程形式介绍PINNs通过残差最小化及软硬边界约束求解PDE，并在Grad-Shafranov和Lane-Emden方程上验证其灵活性、参数与反问题能力，配套开源代码。
2024-03-01 astro-ph.SR math-ph math.MP
Gen-PINNs: Generative Adversarial Physics Informed Neural Networks for solving partial differential equations
The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
该研究针对标准PINNs的局限性，提出Gen-PINNs框架，通过生成器与判别器结合的方式，在非线性、高阶等含尖锐前沿的PDE求解中，显著提升了精度与收敛性。
2026-10-09 cs.LG physics.comp-ph physics.flu-dyn
Auxiliary-Tasks Learning for Physics-Informed Neural Network-Based Partial Differential Equations Solving
National University of Defense Technology（国防科技大学）
针对原始PINNs精度低、难收敛的问题，本文提出ATL-PINNs，引入四种辅助任务学习模式并用梯度余弦相似度融合损失，在三个PDE问题上显著提升求解精度。
2023-07-12 cs.LG physics.comp-ph
Physics-Informed Neural Network Method for Solving One-Dimensional Advection Equation Using PyTorch
Louisiana Tech University（路易斯安那理工大学）
平流方程的数值解是在允许解析解的条件下使用不同的有限差分近似和物理信息神经网络（PINN）确定的。通过将其与分析解进行比较来检查其准确度。我们使用了像PyTorch这样的机器学习框架来实现PINN。PINN方法允许训练神经网络，同时将PDE作为优化中的强约束，以使其成为损失函数的一部分。在标准的小尺度环流模拟，它表明，传统的方法包括一个伪扩散效应，几乎是一样大的湍流扩散模型的效果，因此，数值解呈现不一致的偏微分方程。这种振荡导致不准确性和计算不确定性。在所有测试的方案中，只有PINN近似准确地预测了结果。我们假设PINNs方法可以通过允许实时物理模拟和几何优化来改变物理模拟领域，而无需在大型超级计算机上进行昂贵且耗时的模拟。
2021-03-21 cs.AI physics.comp-ph
EPINN-NSE: Enhanced Physics-Informed Neural Networks for Solving Navier-Stokes Equations
International University of Rabat（拉巴特国际大学）；University of Lorraine（洛林大学）；INRIA（法国国家信息与自动化研究所）
本文提出EPINN-NSE方法，利用物理信息神经网络（PINN）结合流函数导数近似等新技术求解Navier-Stokes方程，包含简化模型与无假设的灵活模型，高效准确地实现了二维及三维方程的求解。
2023-04-07 cs.AI physics.comp-ph
Physics-Informed Neural Networks for Solving Derivative-Constrained PDEs
Department of Computer Science, University College London, Gower Street, London WC1E 6BT, UK（伦敦大学学院计算机科学系）
本文提出Derivative-Constrained PINNs，通过自动微分高效嵌入非线性约束，减少对人工超参数的依赖，提升物理真实性。
2026-04-15 cs.LG physics.comp-ph
Physics Informed Token Transformer for Solving Partial Differential Equations
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
针对Transformer缺乏物理与推理结合的问题，提出PITT模型，通过将偏微分方程进行token化并嵌入偏导数来学习数值更新算子，在1D和2D PDE预测任务上优于流行神经算子。
2024-02-12 cs.LG physics.comp-ph
Physics-informed neural networks for tsunami inundation modeling
本研究将物理信息神经网络用于海啸浅水波方程求解以简化淹没建模，同时引入深度算子网络学习解算子以提升速度，经经典基准验证可出色模拟海啸传播与淹没过程。
2024-06-23 physics.ao-ph physics.comp-ph
Solving stiff ordinary differential equations using physics informed neural networks (PINNs): simple recipes to improve training of vanilla-PINNs
本文针对普通PINNs难以求解刚性常微分方程初值问题的问题，提出嵌入能量守恒物理、改进初始条件损失定义以及采用增长时间区间和移动配点的渐进式学习等简单改进方法，并验证其对边值问题同样有效。
2023-04-17 physics.comp-ph physics.flu-dyn physics.plasm-ph
MRF-PINN: A Multi-Receptive-Field convolutional physics-informed neural network for solving partial differential equations
Beihang University（北京航空航天大学）
与传统的偏微分方程数值求解方法相比，物理信息神经网络（PINN）在物理场重构和反问题求解等方面表现出了极大的节省开发工作量和计算成本的优势.卷积神经网络（CNN）具有参数共享、空间特征提取和低推理代价等优点，在PINN中得到越来越多的应用。然而，仍然存在以下一些挑战。为了适应卷积PINN来解决不同的PDE，通常需要相当大的努力来调整关键的超参数。此外，有限差分精度和网格分辨率对卷积PINN预测能力的影响尚未解决。为了填补上述空白，本文提出了三个倡议：（1）多接收域PINN（2）在求解Navier-Stokes方程时，采用量纲平衡法估计损失权;（3）采用泰勒多项式填充边界附近的虚拟节点，实现高阶有限差分。通过求解三种典型的线性偏微分方程（椭圆型、抛物型、双曲型）和一系列非线性偏微分方程（Navier-Stokes偏微分方程），验证了该方法的通用性和优越性.本文表明，MRF-PINN可以适应完全不同的方程类型和网格分辨率，而无需任何超参数调整。维数平衡法节省了计算时间，提高了求解Navier-Stokes偏微分方程的收敛性。在高阶有限差分、大通道数和高网格分辨率条件下，求解误差显著减小，有望成为一种通用的卷积PINN算法。
2022-09-16 cs.LG math.AP physics.comp-ph
Spatio-Temporal Uncertainty-Modulated Physics-Informed Neural Networks for Solving Hyperbolic Conservation Laws with Strong Shocks
Changchun University of Science and Technology（长春理工大学）
提出时空不确定性调制物理信息神经网络（UM-PINN），通过将训练过程重新解释为由同方差偶然不确定性控制的多任务学习问题，并集成梯度空间掩码与可学习方差参数，动态平衡PDE残差与初始条件，结合拟蒙特卡洛Sobol采样，有效解决强激波问题中的梯度病理，在多个基准测试中精度和激波分辨率提升数个数量级。
2026-05-22 physics.comp-ph
One-Shot Transfer Learning of Physics-Informed Neural Networks
University of Oxford（牛津大学）；Harvard University（哈佛大学）
有效、准确地求解微分方程是从经典动力系统到量子力学等许多科学研究领域进步的核心。人们对使用物理信息神经网络（PINN）来解决这些问题的兴趣激增，因为它们提供了传统数值方法的许多好处。尽管迁移学习对解微分方程有潜在的好处，但它一直没有得到充分的研究。在这项研究中，我们提出了一个通用的迁移学习PINN的框架，结果在一次推理的线性系统的常微分方程和偏微分方程。这意味着可以立即获得许多未知微分方程的高精度解，而无需重新训练整个网络。我们通过解决几个现实世界的问题，如一阶和二阶线性常方程，泊松方程和时间相关的薛定谔复值偏微分方程，证明了所提出的深度学习方法的有效性。
2022-07-05 cs.LG physics.comp-ph
PINN-MG: A Multigrid-Inspired Hybrid Framework Combining Iterative Method and Physics-Informed Neural Networks
针对迭代法求解偏微分方程时全局低频误差难消除导致收敛慢的问题，受多重网格启发提出融合迭代法与PINN的PINN-MG混合框架，二者分别处理高低频误差以加速收敛，在多类方程和迭代法上验证了效果且无需训练数据。
2024-10-08 physics.comp-ph
Physics-Informed Extreme Theory of Functional Connections Applied to Data-Driven Parameters Discovery of Epidemiological Compartmental Models
在这项工作中，我们应用了一种新的，准确的，快速的，强大的物理信息神经网络框架，用于通过参数常微分方程（ODE）建模的问题的数据驱动参数发现，称为函数连接的极值理论（X-TFC）。所提出的方法合并了两个最近开发的框架，用于解决涉及参数DE的问题，1）功能连接理论（TFC）和2）物理信息神经网络（PINN）。特别是，这项工作的重点是能力的X-TFC在解决逆问题，通过确定性的方法来估计参数的流行病学房室模型。在这项工作中处理的流行病学房室模型是易感-感染-传染病（SIR），易感-暴露-传染病-传染病（SEIR）和易感-暴露-传染病-传染病-易感（SEIR）。结果表明，低的计算时间，高精度和有效性的X-TFC方法在执行数据驱动的参数发现的系统建模通过参数ODE使用未扰动和扰动数据。
2020-08-12 physics.comp-ph
Self-Adaptive Physics-Informed Quantum Machine Learning for Solving Differential Equations
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；Forschungszentrum Jülich（于利希研究中心）；University of Cologne（科隆大学）
该研究将切比雪夫多项式与自适应物理信息神经网络结合，在量子机器学习框架下求解多种微分方程，并通过量子关联测量和纠缠层提升精度，为量子设备求解微分方程提供了新途径。
2025-01-20 cs.LG physics.comp-ph quant-ph
A Theory-guided Weighted $L^2$ Loss for solving the BGK model via Physics-informed neural networks
Academy of Mathematics and Systems Sciences, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；Center for Mathematical Machine Learning and its Applications (CM2LA), Department of Mathematics, Pohang University of Science and Technology（浦项科技大学数学系数学机器学习及其应用中心(CM2LA)）；Department of Mathematics, Gyeongsang National University（庆尚国立大学数学系）；Research Institute of Mathematics, Seoul National University（首尔大学数学研究所）
本文提出一种加权L²损失函数，用于改进基于物理的神经网络求解BGK模型的精度，通过稳定性估计证明了该损失函数保证了近似解的收敛性，并通过数值实验验证了其在不同基准测试中的优越性。
2026-11-02 cs.LG cs.NA math.NA
Solving higher-order Lane-Emden-Fowler type equations using physics-informed neural networks: benchmark tests comparing soft and hard constraints
Observatoire Astronomique（斯特拉斯堡天文台）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学）
本文针对高阶奇异 Lane-Emden-Fowler 型常微分方程，比较 PINNs 的软约束损失加权与硬约束试解两种方案，并分析各自优劣。
2023-07-14 astro-ph.SR cs.LG physics.comp-ph
Solving Partial Differential Equations with Point Source Based on Physics-Informed Neural Networks
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Huawei Technologies Co. Ltd（华为技术有限公司）
近年来，深度学习技术已被用于求解偏微分方程（PDE），其中物理信息神经网络（PINNs）是一种很有前途的方法，可用于求解正向和逆偏微分方程问题。在控制方程中用狄拉克δ函数表示的点源偏微分方程是许多物理过程的数学模型。然而，由于狄拉克δ函数的奇异性，传统的PINNs方法无法直接求解。我们提出了一个通用的解决方案来解决这个问题，三个新的技术。首先将Dirac delta函数建模为连续的概率密度函数，消除奇异性;其次，提出一种下界约束不确定性加权算法，平衡点源区域与其他区域之间的PINNs损失;再次，采用具有周期性激活函数的多尺度深度神经网络，提高PINNs方法的精度和收敛速度。我们用三个有代表性的偏微分方程对所提出的方法进行了评估，实验结果表明，我们的方法在准确性、效率和通用性方面优于现有的基于深度学习的方法。
2021-11-02 cs.AI cs.LG physics.comp-ph
On the training of physics-informed neural operators for solving parametric partial differential equations
College of Civil Engineering, Tongji University（同济大学土木工程学院）；Department of Engineering Science, University of Oxford（牛津大学工程科学系）；Institute for Foundations of Data Science, Yale University（耶鲁大学数据科学基础研究所）
本文系统研究了物理信息神经算子（PINO）的训练策略，包括架构设计、优化器选择、损失平衡和配置点采样，通过实验发现CViT架构表现稳定，并揭示了梯度冲突和因果违反等优化问题，表明PINN的缓解算法在PINO中同样有效。
2026-06-04 cs.LG physics.comp-ph
Physics-informed neural network framework for solving forward and inverse flexoelectric problems
针对四阶偏微分方程带来的计算挑战，提出基于能量公式的统一PINN框架，利用深度能量方法和变分损失求解正向与逆向挠曲电问题，准确恢复参数并高度契合混合FEM解。
2025-06-13 cond-mat.mtrl-sci physics.comp-ph
Pseudo grid-based physics-informed convolutional-recurrent network solving the integrable nonlinear lattice equations
本文提出基于伪网格的物理信息卷积-循环网络PG-PhyCRNet，用于求解可积非线性晶格方程中的局域波解，通过Toda晶格和自对偶网络方程实验验证其能有效提升对陡峭高速孤子的长期演化预测与外推能力。
2024-06-25 nlin.PS nlin.SI physics.comp-ph
Variational Physics-Informed Neural Networks For Solving Partial Differential Equations
Brown University（布朗大学）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）；Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
物理信息神经网络（PINN）[31]使用自动微分来求解偏微分方程（PDE），方法是在感兴趣的域中的一组随机点处惩罚损失函数中的PDE。在这里，我们通过选择{ \em试验空间}作为神经网络的空间，{ \em测试空间}作为勒让德多项式的空间，基于深度神经网络（DNN）的非线性近似开发了一个Petrov-Galerkin版本的PINN。我们制定\textit{variational residual}的PDE使用DNN近似，通过将问题的变分形式的网络的损失函数，并构建一个\textit{variational physics-informed neural network}（VPINN）。通过将被积函数以变分形式进行部分积分，我们降低了由神经网络表示的微分算子的阶数，从而有效地降低了VPINNs的训练成本，同时与基本上采用delta测试函数的PINNs相比提高了它们的精度。对于具有一个隐藏层的浅网络，我们解析地得到了\textit{variational residual}的显式形式。我们展示了几个例子的新配方的性能，表明VPINNs在准确性和速度方面明显优于PINNs。
2019-11-27 cs.LG cs.NA cs.NE
Physics-Informed Neural Networks with Complementary Soft and Hard Constraints for Solving Complex Boundary Navier-Stokes Equations
本文提出一种结合软硬约束的互补PINN方案，通过距离度量网络加权边界与内域损失，有效解决了复杂边界Navier-Stokes方程求解精度问题，并在逆设计和大尺度流场重建中展现出潜力。
2024-11-12 physics.comp-ph physics.flu-dyn
Physics-Informed Boundary Integral Networks (PIBI-Nets): A Data-Driven Approach for Solving Partial Differential Equations
University of Basel（巴塞尔大学）
本文提出物理信息边界积分网络（PIBI-Nets），通过在比原问题空间低一维的边界上布点求解偏微分方程，克服了PINNs在高维场景下需要密集配点的计算瓶颈，并在Laplace和Poisson方程及地下水流动重建中验证了其优于PINNs的性能。
2024-07-03 cs.LG cs.NA math.DS
Finite Basis Physics-Informed Neural Networks (FBPINNs): a scalable domain decomposition approach for solving differential equations
University of Oxford（牛津大学）
针对PINNs难以高效求解大定义域多尺度微分方程问题，提出受有限元启发的FBPINNs方法，通过子域分治与单独归一化提升精度与效率，优于标准PINNs。
2021-07-16 cs.LG physics.comp-ph
Physics-informed Neural Networks for Solving Inverse Problems of Nonlinear Biot's Equations: Batch Training
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；The Danish Hydrocarbon Research and Technology Centre（丹麦油气研究与技术中心）
在生物医学工程、地震预测和地下能量收集中，间接估计多孔介质的物理性质是至关重要的，因为直接测量这些物理性质通常是不切实际的/禁止的。在这里，我们应用物理知识的神经网络来解决非线性Biot方程的反问题。具体来说，我们考虑批量训练并探索不同批量大小的效果。结果表明，小批量训练，即，每批几个实例提供了比使用大批量或整批更好的物理参数近似值（更低的百分比误差）。物理参数的准确性提高是以更长的训练时间为代价的。具体来说，我们发现大小不应该太小，因为非常小的批量大小需要非常长的训练时间，而不会相应地提高估计精度。我们发现，批量大小为8或32是一个很好的妥协，这也是强大的数据中的加性噪声。学习率也起着重要的作用，应该被用作超参数。
2020-05-18 cs.LG cs.NA math.NA
Solving the Teukolsky equation with physics-informed neural networks
本文提出用 PINNs 求解 Teukolsky 方程以计算 Kerr 黑洞准正规模，实现简单且精度通常优于1%，并验证其适用于 SNR>100 的中期引力波数据分析。
2024-04-08 astro-ph.HE gr-qc physics.comp-ph
Solving the inverse problem of X-ray absorption spectroscopy via physics-informed deep learning
Xiamen University（厦门大学）；AI for Science（人工智能科学）
本文提出SPT框架，利用频域分析克服模拟与实验间的差距，实现对电池正极相变和非晶材料局部秩序的高精度解析，提升材料发现的自主性。
2026-03-29 cond-mat.mtrl-sci physics.comp-ph physics.data-an
Quantifying total uncertainty in physics-informed neural networks for solving forward and inverse stochastic problems
物理信息神经网络（PINN）最近出现作为解决偏微分方程（PDE）的替代方法，而不需要构建复杂的网格，而是使用简单的实现。特别地，除了用于解的深度神经网络（DNN）之外，还考虑表示PDE的残差的第二DNN。然后，将残差与解的给定数据中的失配组合，以便用公式表示损失函数。该框架是有效的，但由于数据中固有的随机性或由于DNN架构的近似限制，缺乏解决方案的不确定性量化。在这里，我们提出了一种新的方法，其目标是赋予DNN两个不确定性来源的不确定性量化，即，参数不确定性和近似不确定性。我们首先考虑参数的不确定性时，在微分方程中的参数表示为一个随机过程。多个DNN被设计为通过使用来自稀疏传感器的随机数据来学习其解的任意多项式混沌（aPC）展开的模态函数。然后，我们可以使用经过训练的DNN非常有效地从新传感器测量结果进行预测。此外，我们采用dropout来纠正过拟合，并量化DNN在近似模态函数时的不确定性。然后，我们设计了一个主动学习策略的基础上辍学的不确定性放置新的传感器在域中，以提高DNN的预测。几个数值试验进行的正问题和反问题，以量化的有效性PINNs结合不确定性量化。这种具有不确定性量化的物理信息深度学习的NN-aPC新范式可以很容易地应用于其他类型的多维随机偏微分方程。
2018-09-21 math.AP physics.comp-ph stat.ML
Extreme Theory of Functional Connections: A Physics-Informed Neural Network Method for Solving Parametric Differential Equations
在这项工作中，我们提出了一种新的，准确的，强大的物理信息的方法来解决涉及参数微分方程（DE）的问题，称为函数连接的极值理论，或X-TFC。所提出的方法是一个协同作用的两个最近开发的框架，用于解决问题，涉及参数DE，1）理论的功能连接，TFC和物理信息神经网络，PINN。虽然本文的重点是解决涉及参数DE（即建模误差可以忽略不计的问题）与已知参数的精确问题，X-TFC也可以用于数据驱动的解决方案和数据驱动的参数DE的发现。在所提出的方法中，参数DE的潜在解决方案是近似的TFC约束表达式，使用神经网络（NN）作为自由函数。这种近似解形式总是解析地满足DE的约束，同时保持具有无约束参数的NN，如Deep-TFC方法。X-TFC与PINN和Deep-TFC不同; PINN和Deep-TFC使用深度NN，X-TFC使用单层NN，或者更准确地说，是极限学习机ELM。这种选择是基于ELM算法的属性。为了数值验证的方法，它被测试了一系列的问题，包括线性和非线性的普通DE（ODE），系统的ODE（SODE），和部分DE（PDE）的解决方案的近似。此外，其中一些问题在物理和工程中是感兴趣的，例如经典的Emden-Fowler方程，辐射传递（RT）方程和热传递（HT）方程。结果表明，X-TFC实现了高精度与低的计算时间，因此它是与其他国家的最先进的方法相媲美。
2020-05-15 cs.LG cs.NA math.NA
From Mesh to Neural Nets: A Multi-Method Evaluation of Physics-Informed Neural Networks and Galerkin Finite Element Method for Solving Nonlinear Convection-Reaction-Diffusion Equations
本研究通过求解四个一维非线性对流-反应-扩散问题，对比了物理信息神经网络（PINN）与Galerkin有限元法（GFEM）的性能，发现PINN在准确性和效率上总体更优且更稳健。
2024-10-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Solving Navier-Stokes Equations Using Data-free Physics-Informed Neural Networks With Hard Boundary Conditions
Indian Institute of Technology Patna（印度巴特那理工学院）；Indian Institute of Science Education and Research Thiruvananthapuram（印度科学教育与研究特里凡得琅研究所）；Patna University（巴特那大学）
针对纳维-斯托克斯方程求解问题，提出带硬边界条件的无数据PINN方法，无需标注数据即可精准模拟定常及瞬态层流，预测结果与传统CFD仿真吻合度较高。
2025-11-18 physics.comp-ph physics.flu-dyn
Quantum-Classical Physics-Informed Neural Networks for Solving Reservoir Seepage Equations
School of Petroleum Engineering, Yangtze University（长江大学石油工程学院）；College of Future Technology, Yangtze University（长江大学未来技术学院）；State Key Laboratory of Low Carbon Catalysis and Carbon Dioxide Utilization (Yangtze University)（长江大学低碳催化与二氧化碳利用国家重点实验室）；King Abdullah University of Technology, Physical Science and Engineering Division（卡布斯大学物理科学与工程学院）；Western Research Institute, Yangtze University（长江大学西部研究院）
本文首次将离散变量（DV）-电路量子-经典物理信息神经网络（QCPINN）应用于四个典型储层渗流模型，通过对比不同量子电路拓扑结构，验证了QCPINN在提高预测精度和解决复杂渗流问题中的有效性。
2026-10-14 cs.LG cs.NA math.NA
Finite basis physics-informed neural networks as a Schwarz domain decomposition method
本研究提出将有限基物理信息神经网络（FBPINNs）与 Schwarz 域分解思想结合，开发了加性、乘性和混合迭代训练方法，并引入粗空间校正，有效提升了求解大区域和多尺度 PDE 问题的准确性与收敛性。
2023-05-22 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Physics-informed neural networks for the shallow-water equations on the sphere
Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）；Universität Wien（维也纳大学）；Institute of Mathematics of NAS of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）
本研究提出将物理 informed 神经网络用于求解球面上的浅水方程，针对长间隔训练难题提出多模型序列训练方法，并通过自定义层编码边界条件，在经典测试案例中验证了方法有效性。
2022-02-12 cs.AI cs.LG cs.NA
BridgeNet: A Hybrid, Physics-Informed Machine Learning Framework for Solving High-Dimensional Fokker-Planck Equations
Department of Applied Mathematics, Faculty of Mathematical Sciences, Tarbiat Modares University, Tehran, Iran（塔里亚特莫达雷斯大学应用数学系）；Department of Computer and Data Sciences, Faculty of Mathematical Sciences, Shahid Beheshti University, Tehran, Iran（谢赫·法赫鲁丁大学计算机与数据科学系）；Institute for Cognitive and Brain Sciences, Shahid Beheshti University,Tehran, Iran（谢赫·法赫鲁丁大学认知与脑科学研究所）
BridgeNet 框架结合卷积神经网络与物理信息神经网络，利用自适应 CNN 层提取局部特征并引入动态加权损失函数，高效求解非线性高维 Fokker-Planck 方程，相比传统方法实现了更低误差、更快收敛及更强稳定性。
2025-07-15 cs.LG math-ph math.AP
PINNacle: A Comprehensive Benchmark of Physics-Informed Neural Networks for Solving PDEs
Tsinghua University（清华大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
针对现有物理信息神经网络缺乏跨多类偏微分方程全面比较的问题，研究推出包含20余种PDE、10种前沿方法的基准工具PINNacle，通过大量实验分析方法优劣，为该领域后续研究提供指导。
2023-10-05 cs.LG cs.NA math.NA
Self-adaptive weighting and sampling for physics-informed neural networks
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
针对物理信息神经网络（PINNs）求解偏微分方程时精度和效率受限的问题，提出混合自适应采样与加权方法，结合二者优势提升预测精度与训练效率，解决单一方法在训练点稀缺时效果不佳的问题。
2025-11-11 cs.AI cs.LG physics.comp-ph
Physics-informed machine learning of the correlation functions in bulk fluids
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
本研究利用物理信息神经网络和物理信息神经算子网络求解Ornstein-Zernike方程，在多种体相流体中实现高精度和高效率的正逆问题求解，凸显了其在热力学状态理论中的潜力。
2023-09-02 cs.LG physics.chem-ph physics.comp-ph
