Some double series for $π$ and their $q$-analogues
Guoping Gu, Xiaoxia Wang
本文将偏导数算子应用于超几何级数的几个求和公式，证明了$π$的几个二重级数。同样，我们也建立了几个$q$ -类似物。
By applying the partial derivative operator to several summation formulas for hypergeometric series, we prove several double series for $π$ in this paper. Similarly, we also establish several $q$-analogues of them.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Double series for $π$ and their $q$-analogues
利用偏导数算子和超几何级数的几个求和公式，我们找到了$π$的三个二重级数。根据上述算子和基本超几何级数的几个求和公式，我们还建立了这些二重级数的$q$ -类似。
A q-analogue of Wolstenholme's harmonic series congruence
我们建立了Wolstenholme的调和级数同余的一个q-模拟。
The construction of $q$-analogues via $_3ϕ_2$-series and $q$-difference equations
本文通过多参数方法构造$q$-类比，用于加速超几何级数，特别是针对通用常数如$\pi$。
$q$-Analogues of $π$-Series by Applying Carlitz Inversions to $q$-Pfaff-Saalsch{ü}tz Theorem
将Carlitz逆级数关系的多种形式应用于$q$-Pfaff-Saalsch {ü}tz求和定理，建立了25个非终止$q$ -级数恒等式，其中几个恒等式可作为$π$和$1/π$无穷级数表达式的$q$ -模拟，包括Ramanujan（1914）和Guillera发现的一些典型恒等式.
On two conjectural series for $π$ and their $q$-analogues
本研究采用算子方法证明了两个涉及二阶调和数的$\pi$猜想级数，并给出了六个$\pi$公式的$q$-模拟结果。
$q$-Analogues of some series for powers of $π$
我们得到$q$ -类似物的几个系列的权力$π$。例如，身份$$\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}=\frac{π^3}{32}$$具有以下$q$ -类似物：\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{q^{2k}(1+q^{2k+1})}{(1-q^{2k+1})^3}=\frac{(q^2;q^4)_{\infty}^2(q^4;q^4)_{\infty}^6} {(q;q^2)_{\infty}^4}, \end{equation*}，其中$q$是具有$|q|<1$的任何复数.我们还给出了$q$ -第二作者发现的$π$的幂的四个新级数的类似物。
Transformation and summation formulas for basic hypergeometric series associated with the circumference ratio
利用差分算子建立了基本超几何级数的几个奇异变换和求和公式。当参数被指定时，它们产生$q$ -Ramanujan的1/ $π$的三个系列的类似物和其他十一个好的$π$ -公式。同时，用同样的方法给出了$ζ(3)$的三个美丽系列的$q$ -类似物.
$q$-Rational Reduction and $q$-Analogues of Series for $π$
在本文中，我们提出了一个$q$ -模拟的多项式减少，最初开发的超几何条款。使用$q$ -Goerkmann表示，我们描述了结构的有理函数是可求和的乘以一个给定的$q$ -超几何项。结构定理使我们能够将$q$ -多项式约化推广到有理情形，从而可用于$q$ -恒等式的自动证明和发现.作为应用，给出了几个$q$ -系列的$π$类似物。
Two q-summation formulas and q-analogues of series expansions for certain constants
从两个q求和公式出发，导出了涉及q-Γ函数的级数展开式.利用这些公式，我们可以给出某些常数的级数展开式的q-类似。
Variations of the Poincaré series for affine Weyl groups and q-analogues of Chebyshev polynomials
设$(W,S)$是一个Coxeter系统，并将其Poincaré级数记为$P_W(q)$。Lusztig证明了商$P_W(q^2)/P_W(q)$等于某个幂级数$L_{W}(q)$，该幂级数通过在记录$W$中对合的长度和绝对长度的生成函数中专门化一个变量来定义。证明有限Coxeter群的这个结果的最简单的归纳方法建议一个自然的二元推广$L^J_W(s,q) \in \mathbb{Z}[[s,q]]$取决于一个子集$J\subset S$。这个新的幂级数专门用于$L_W(q)$时$s=-1$和明确给出的有理函数的总和对合是最小长度代表的双陪集的抛物子群$W_J$在$W$。当$ W$是仿射Weyl群时，我们考虑了重整化幂级数$T_{ W}(s,q) = L^J_W(s,q) / L_W(q)$，其中$J$由相应的有限Weyl群的生成集给出.我们表明，当$W$是一个仿射Weyl群的类型$A$，幂级数$T_W(s,q)$实际上是一个多项式在$s$和$q$与非负系数，这原来是一个$q$ -模拟最近研究的切比雪夫多项式的第一类，出现在一个完全不同的背景下。
Weighted Ehrhart series and a type-$\mathsf{B}$ analogue of a formula of MacMahon
本文通过多面体的$h^*$-多项式给出了带符号多重集排列上主指标与下降统计量联合分布的生成多项式公式，并建立了A、B型广义欧拉数与多面体之间的联系，进而将结果推广到着色排列。
q-Analogues of several $π$-formulas
根据$q$ -级数方法，给出了侯孙恒等式的一个简短证明，即已知$π$ -公式的$q$ -模拟.此外，根据$q$ -系列方法和伸缩方法，还建立了其它几个$π$ -公式的$q$ -类似物.
A finite analogue of a $q$-series identity of Bhoria, Eyyunni and Maji and its applications
Bhoria，Eyunni和Maji最近获得了一个四参数$q$系列身份，使作为特殊情况下，不仅所有五个条目拉马努金在第354和355页，他的第二个笔记本，但也允许他们获得分析证明的结果Bressoud和Subbarao。在这里，我们得到一个有限的类似物，他们的身份，自然给有限的类似物拉马努金的结果。使用这些有限的类似物之一，我们推导出一个涉及${}_2ϕ_1$的有限和的身份。这个身份，然后适用于获得一个推广的生成函数版本的安德鲁斯著名的身份的最小部分功能$\textup{spt}(n)$。推广了$\sum_{n=1}^{\infty}\textup{spt}(n)q^n$的$q$ -级数与Andrews，Garvan和Liang所考虑的$S(z, q)$完全不同.我们的身份的进一步应用。最后推广了Andrews，Chan和Kim的一个涉及秩和曲柄的第一奇矩的结果。
New properties of multiple harmonic sums modulo $p$ and $p$-analogues of Leshchiner's series
本文给出了指数为序列$(\{1\}^a,c,\{1\}^b),$ $(\{2\}^a,c,\{2\}^b)$的多重调和和的一些新的超几何型恒等式，并证明了这些和模一个素数$p.$的一些同余式。所得到的同余式使我们能够找到Leshchiner级数对zeta值的很好的$p$ -模拟，并改进了M. Hoffman和J. Zhao关于权为7和9的模$p$的多重谐波和的生成元集合的研究.此外，我们还能够提供一个新的证明Zagier的公式$ζ^{*}(\{2\}^a,3,\{2\}^b)$的基础上的有限身份的部分和zeta-明星系列。
Asymptotics for real monotone double Hurwitz numbers
近年来，单调双Hurwitz数被引入作为双Hurwitz数的自然组合变形。单调双Hurwitz数与经典双Hurwitz数有许多共同的结构性质，如分段多项式性，但它们的数量性质却截然不同。我们考虑单调双Hurwitz数的实模拟，并研究这些实模拟的渐近性。关键的成分是解释真正的热带覆盖任意分裂的因式分解的对称群，推广的结果从Guay-Paquet，Markwig和劳（国际数学研究。IMRN，2016（1）：258-293，2016）。利用上述解释，我们考虑了单调双Hurwitz数的三种实模拟：相对于简单分裂的实单调双Hurwitz数、相对于任意分裂的实单调双Hurwitz数和实混合双Hurwitz数.在一定条件下，我们得到了这些实模拟的下界，并得到了实单调双Hurwitz数相对于任意分裂和实混合双Hurwitz数的对数渐近性.特别地，在给定的条件下，实混合双Hurwitz数在数学上等价于复双Hurwitz数。我们构建了一个家庭的真正的热带覆盖，并使用它们来证明，真正的单调双Hurwitz数相对于简单的分裂在数学上等价于单调双Hurwitz数与特定的条件。这与实双Hurwitz数和复双Hurwitz数的对数等价性是一致的。
On a double series
针对给定的含参数x、y、w的二重级数展开研究，得到该级数的一项特定函数性质，属于组合数学领域的级数相关研究。
On $q$-analogues of some series for $π$ and $π^2$
我们得到了一个新的$q$ -类似的经典莱布尼茨系列$\sum_{k=0}^\infty(-1)^k/(2k+1)=π/4$，即\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kq^{k(k+3)/2}}{1-q^{2k+1}}=\frac{(q^2;q^2)_{\infty}(q^8;q^8)_{\infty}}{(q;q^2)_{\infty}(q^4;q^8)_{\infty}}, \end{equation*}，其中$q$是一个复数与$|q|<1$。我们还表明，Zeilberg型系列$\sum_{k=1}^\infty(3k-1)16^k/(k\binom{2k}k)^3=π^2/2$有两个$q$ -类似物与$|q|<1$，其中之一是$$\sum_{n=0}^\infty q^{n(n+1)/2} \frac {1-q^{3n+2}} {1-q} \cdot\frac{(q;q)_n^3 (-q;q)_n}{(q^3;q^2)_{n}^3} = (1-q)^2 \frac{(q^2;q^2)^4_\infty}{(q;q^2)^4_\infty}.$$
$q$-Analogues of $π$-Related Formulae from Jackson's $_8ϕ_7$-Series via Inversion Approach
利用推广的Carlitz逆级数关系的乘法形式，建立了平衡$_8ϕ_7$级数Jackson求和公式的两个一般“对偶”定理.研究了它们在划分模式$n=\lfloor{\frac{n}2}\rfloor+\lfloor{\frac{n+1}2}\rfloor$下的重复形式，得到了大量的$q$ -级数恒等式，其极限情形为$q\to1$，得到了经典的$π$ -相关的Ramanujan-类收敛率级数“$\frac1{16}$“，其中包括Guillera（2003）发现的$1/π^2$.利用"反二分法“对划分模式$n=\lfloor{\frac{n}3}\rfloor+\lfloor{\frac{n+1}3}\rfloor+\lfloor{\frac{n+2}3}\rfloor$下的三重对偶公式进行了检验，得到了20个新的$q$ -级数恒等式以及它们在$q\to1$时的收敛速度的经典恒等式”$\frac{-1}{27}$“.
D-analogues of q-shifted factorial and the q-Kummer sum
最近，作者提出了D-类似物的概念。这是一个狄利克雷级数模拟已经知道和研究的超几何q-级数。我们考虑q-二项式系数的D-模拟和q-Kummer（Bailey-Daum）和的D-模拟。
Congruences arising from Apéry-type series for zeta values
最近，R. Tauraso对$ζ(2)$和$ζ(3).$建立了著名的Apéry级数的有限$p$ -模拟本文给出了由$ζ(4)$和$ζ(5).$的Apéry型级数截断而产生的有限中心二项式和的几个同余式，并证明了$ζ(2)$的Zeilberger级数的$p$ -模拟，证实了Z. W.太阳
$p$-adic analogues of hypergeometric identities
证明了截断超几何级数的一些超同余。
A Weighted Sum Formula for Double Eisenstein Series
研究双艾森斯坦级数的加权和公式，通过作者与田坂证明的受限双洗牌关系得出双艾森斯坦级数恒等式，用组合方法及生成级数证明除数和恒等式，实现对相关恒等式的证明。
Positive Weighted Partitions Generated by Double Series
本文研究生成函数为二重级数的加权整数分拆，通过建立 $q$-二重级数的闭式公式证明其系数非负，进而导出整数分拆间的不等式。
q-Hypergeometric proofs of polynomial analogues of the triple product identity, Lebesgue's identity and Euler's pentagonal number theorem
我们提出了替代，q-超几何证明的一些多项式类似物的经典q-系列身份最近发现的Alladi和Berkovich，和Berkovich和Garvan。
A Note on Colored Tornheim's Double Series
在这篇短文中，我们提供了一个显式公式来计算每一个有色的双重Tornheim级数，通过使用单位根处的双重多对数值。当颜色由$\pm 1$给出时，我们的公式不同于Tsumura的公式[On alternating analogues of Tornheim's二重级数II，Ramanujan J. 18（2009），81-90]，尽管数值数据证实两者在几乎所有情况下都是正确的。这种一致性也可以通过使用权重小于8的交替双zeta值的正则化双洗牌关系来严格检查。
A p-adic analogue of a formula of Ramanujan
拉马努金一生中提供了许多将二项和与Γ函数的特殊值联系起来的公式。基于数值计算，Van Hamme最近提出了类似于这些公式的$p$ -adic类似物。利用普通的和高斯的超几何级数的组合，我们证明了这些公式之一。
On double Hurwitz numbers with completed cycles
在本文中，我们收集了一些关于双Hurwitz数的事实，其中简单的分支点被它们的更一般的类似物--完全（r+1）-圈所代替.特别是，我们给出了这些广义Hurwitz数的几何解释，并推导出一个完整的（r+1）-圈的切割和连接操作。我们还证明了一个强大的分段多项式性质的意义上的Goulden-Jackson-Vakil。此外，我们还提出了一个ELSV/GJV型公式，即用一些可能与曲线的模空间的某些类似物的相交理论有关的内在组合常数表示的公式.详细讨论了这些几何“相交数“的结构。
A $q$-analog of the Bailey-Borwein-Bradley identity
我们建立了一个$q$ -模拟的Bailey-Borwein-Bradley恒等式生成加速系列甚至zeta值和证明$q$ -模拟的马尔可夫和Amdeberhan的系列$ζ(3)$使用$q$ -Markov-WZ方法。
Generalized $n$-series and de Rham complexes
本文研究了交换环上广义$n$-级数的代数与组合性质，证明了经典组合恒等式的$s$-类似物，并定义了导数的$s$-类似物以证明仿射直线上的Poincaré引理与Cartier同构。
A note on a generalized double series
本文利用围道积分推导出涉及 Hurwitz-Lerch zeta 函数的广义双重有限级数的闭式公式，并求出其用特殊函数表示的特例。
Supercongruences arising from hypergeometric series identities
利用某些超几何级数恒等式，证明了截断超几何级数上的两个超同余，其中一个与模Calabi-Yau三重有关，另一个被认为是Ramanujan恒等式的$p$ -adic模拟.
Summation formulae for elliptic hypergeometric series
证明了椭圆超几何级数的几个新恒等式。值得注意的是，其中一些是基本超几何级数的恒等式的椭圆模拟，这些恒等式是平衡的，但不是很平衡。
Some Refinements of Formulae Involving Floor and Ceiling Functions
地板和天花板函数经常出现在数学中，操纵涉及地板和天花板的总和是一种微妙的游戏。幸运的是，著名的教科书《具体数学》提供了一个很好的介绍，解释了一些技术，并将一些单和或双和作为练习。对于两个这样的双和，我们提供了它们的单和类似物。这些封闭形式的身份给予的一个双重分区的多元（视为分区）的所有b进制数字的一个非负整数。我们还提出了双和单和模拟涉及分数部分函数和移位分数部分函数。
Double eta polynomials and equivariant Giambelli formulas
我们使用扬的提高运营商介绍和研究双eta多项式，这是一个甚至正交模拟威尔逊的双θ多项式。我们的双eta多项式给出了表示偶正交Grassmannian的环面等变上同调环中的等变Schubert类的Giambelli公式，并专门用于Buch，Kresch和作者的单eta多项式.
$q$-analogues of $π$-formulas due to Ramanujan and Guillera
本文提出EKHAD-规范化方法，基于$q$-WZ对证明拉马努金$\frac{1}{\pi}$公式和Guillera $\frac{1}{\pi^2}$级数的多个新$q$-模拟，并扩展超几何展开。
Askey--Wilson polynomials and a double $q$-series transformation formula with twelve parameters
Askey-Wilson多项式是已知的最一般的经典正交多项式，Nassrallah-Rahman积分是经典$_2F_1$函数的欧拉整表示的非常一般的扩展。基于$q$ -级数变换公式和Nassrallah-Rahman积分，我们证明了具有十二个参数的$q$ -Beta积分，并将其他几个经典和新的结果作为特例。这个$q$ -β积分还允许我们导出一个奇怪的双$q$ --级数变换公式，它包括Al-Salam和Ismail的一个公式作为特例
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