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$q$ -$π$幂的某些级数的类似物

$q$-Analogues of some series for powers of $π$

Qing-Hu Hou, Zhi-Wei Sun

备注：
10 pages. Add Theorem 1.2
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摘要：

我们得到$q$ -类似物的几个系列的权力$π$。例如，身份$$\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}=\frac{π^3}{32}$$具有以下$q$ -类似物：\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{q^{2k}(1+q^{2k+1})}{(1-q^{2k+1})^3}=\frac{(q^2;q^4)_{\infty}^2(q^4;q^4)_{\infty}^6} {(q;q^2)_{\infty}^4}, \end{equation*}，其中$q$是具有$|q|<1$的任何复数.我们还给出了$q$ -第二作者发现的$π$的幂的四个新级数的类似物。

英文摘要：

We obtain $q$-analogues of several series for powers of $π$. For example, the identity $$\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}=\frac{π^3}{32}$$ has the following $q$-analogue: \begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{q^{2k}(1+q^{2k+1})}{(1-q^{2k+1})^3}=\frac{(q^2;q^4)_{\infty}^2(q^4;q^4)_{\infty}^6} {(q;q^2)_{\infty}^4}, \end{equation*} where $q$ is any complex number with $|q|<1$. We also give $q$-analogues of four new series for powers of $π$ found by the second author.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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