A Bound for Stieltjes Constants
Sebastian Pauli, Filip Saidak
本文通过应用Coffey和Knessl的最速下降法近似计算，改进了Stieltjes常数现有的界。
本文旨在改进Stieltjes常数现有的界，方法是将Coffey和Knessl应用的最速下降法用于近似Stieltjes常数。
The goal of this note is to improve on the currently available bounds for Stieltjes constants using the method of steepest descent applied by Coffey and Knessl to approximate Stieltjes constants.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
High precision computation and a new asymptotic formula for the generalized Stieltjes constants
我们提供了一个有效的方法来评估广义Stieltjes常数$γ_n(a)$数值任意精度的大$n$和$n \gg |a|$值。该方法使用一个整表示的常数和评估的积分通过应用双指数（DE）求积方法附近的被积函数的鞍点。此外，我们提供了一个高精度的渐近公式的广义Stieltjes常数。
An Explicit Formula Relating Stieltjes Constants and Li's Numbers
本文给出了Stieltjes常数γ_n与Riemann zeta函数对数导数的Laurent系数η_n之间的新公式，并推导出与Riemann猜想相关的Li数振荡部分∼λ_n的显式表达式。
A New Effective Asymptotic Formula for the Stieltjes Constants
我们推导出一个新的积分公式的Stieltjes常数。新的公式允许容易的计算，以及一个精确的近似渐近公式。给出了系统的符号振荡和增长的主导阶。该公式也可以很容易地推广到广义欧拉常数。
The signs of the Stieltjes constants associated with the Dedekind zeta function
数域$K$的Stieltjes常数$γ_n(K)$是戴德金ζ函数$ζ_K(s)$在其极点$s=1$的罗朗展开的系数。本文建立了与Stieltjes在1885年得到的$γ_n(\mathbb Q)$类似的$γ_n(K)$表达式。我们还研究了$γ_n(K)$的体征。
A formula connecting the Bernoulli numbers with the Stieltjes constants
我们表明，最近推导出的公式科菲Stieltjes常数的伯努利数在数学上是等价的布里格斯和Chowla早期表示。
Special values of derivatives of $L$-series and generalized Stieltjes constants
在$s=1$处的周期算术函数$f$的$L(s,f)$的导数与广义斯蒂尔捷斯常数之间的联系在前面已经被注意到。在本文中，我们利用这种联系，投掷光的算术性质的$L'(1,f)$和某些Stieltjes常数。特别地，如果$p$是大于$7$的奇素数，则我们在S的一个猜想的条件下，推导出广义Stieltjes常数$\{ γ_1(a,p) : 1 \leq a < p \}$的至少$(p-7)/2$的超越性。枪，M。R. Murty和P. Rath。
Asymptotic Properties of Stieltjes Constants
我们提出了一个新的渐近公式的Stieltjes常数，这是既简单又更准确的比其他几个发表在文献中（见例如\cite{Fekih-Ahmed}，\cite{Knessl Coffey}，\cite{Paris}）。更重要的是，这也是一个很好的起点，详细分析这些重要常数中的一些令人惊讶的错误。
A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations
最近，有人提出有理宗量的第一广义Stieltjes常数可以用欧拉常数、第一Stieltjes常数、有理宗量的$Γ$ -函数和一些相对简单的甚至是初等的函数来表示。这一推测是基于对$γ_1(1/2)$、$γ_1(1/3)$、$γ_1(2/3)$、$γ_1(1/4)$、$γ_1(3/4)$、$γ_1(1/6)$、$γ_1(5/6)$的评价，可以用这种方式表示。本文完成了以前的研究，并提供了一个优雅的定理，允许评估第一个广义Stieltjes常数在任何合理的论点。给出了第一广义Stieltjes常数和双Γ函数的求和公式。同时，还得到了$Γ$ -函数在有理自变量下的对数的一个有趣的整表示.最后，它表明，类似的定理可能会得出较高的Stieltjes常数，以及特别是，第二Stieltjes常数的定理提供了一个明确的形式。
Multiple Stieltjes constants and Laurent type expansion of the multiple zeta functions at integer points
本文研究了重zeta函数在整数点处的局部性态，并给出了重zeta函数在整数点处的Laurent型展开式。这样的扩展涉及到一个收敛的幂级数，其系数是通过正则化过程获得的，类似于用于定义经典的黎曼ζ函数的Stieltjes常数。因此，我们称这些系数为{ \it多重Stieltjes常数}。上述洛朗型展开的其余部分则表示为在较小深度处产生的多个斯蒂尔捷斯常数。
Summatory relations and prime products for the Stieltjes constants, and other related results
Stieltjes常数$γ_k(a)$出现在Hurwitz zeta函数$ζ(s,a)$的Laurent展开式的常规部分。我们提出这些常数$γ_k(a)$的基本数学常数，如加泰罗尼亚常数方面的总结性结果，并进一步将它们与素数的有理函数的产品。我们提供的例子，无限系列的差异Stieltjes常数评估为体积双曲$3$ -空间。我们提出了一个新的级数表示的第一Stieltjes常数在合理的论点的差异。我们得到了$ζ(1/2)L_{-p}(1/2)$的表达式，其中对于素数$p>7$，$L_{-p}(s)$是某些$L$ -系列，以及值$ζ(1/2)$的显着紧界，$ζ(s)=ζ(s,1)$是黎曼ζ函数。
Are the Stieltjes constants irrational? Some computer experiments
Khnichin定理是一个令人惊讶的，仍然相对鲜为人知的结果。它可以用来作为一个特定的标准，以确定是否任何给定的数是无理数。在本文中，我们应用这个定理以及高斯-Kuzmin定理几千高精度（高达53000多个有效数字）初始Stieltjes常数$γ_{n}$，$n=0,1,...,5000$，以确认，因为通常认为，他们是无理数（甚至超越）。我们还研究了这些重要常数的正规性。
Determination of the Stieltjes constants at rational arguments
Stieltjes常数引起了相当大的关注，在最近几年和一些作者，包括本，已考虑各种方式，这些常数可能会被评估。本文的主要目的是强调一个事实，即Deninger实际上早在1984年就确定了第一个广义Stieltjes常数，所有更高的常数（在理性论点）原则上由Chakraborty，Kanemitsu和Kuzumaki在2009年确定。Musser在他2011年的论文中得到了类似的结果。作者的上述文件只是提到常数的洛朗系数，这就解释了为什么各种电子搜索进行了作者的Stieltjes常数没有很容易突出这些特定的来源。在本文中，作者采用了一个略有不同的论点，以获得一个更简单的表达式，最初由Chakraborty等人在2009年得出的结果。
Shifted Euler constants and a generalization of Euler-Stieltjes constants
本文的目的是双重的。首先，我们引入了常数$ζ_k(α,r,q)$，其中$α\in (0,1)$，并沿着Briggs，Dilcher，Knopfmacher，Lehmer和其他一些作者对等差数列$γ(r,q)$中欧拉常数所做的工作的路线来研究它们。这些常数用于计算具有同余条件的Dirichlet除数问题的某些含误差项的积分，并给出了一类Dirichlet L-级数在任意实临界点的值的封闭形式表达式.在本文的后半部分，我们考虑的Laurent Stieltjes常数$γ_k(χ)$的主要特征$χ.$的行为特别是，我们研究了“广义欧拉常数“的推广钻石和福特在2008年推出。最后，我们给出了Blagouchine在2015年给出的第一个广义Stieltjes常数$γ_1(r/q)$的封闭形式表达式的简短证明。
Note on the Stieltjes constants: series with Stirling numbers of the first kind
Stieltjes常数$γ_k(a)$表现为Hurwitz zeta函数$ζ(s,a)$关于$s=1$的洛朗展开的规则部分中的系数。我们推广了[4]中关于$γ_k(a=1)$的积分和Stirling数级数的结果.一路上，我们指出了另一个最近的渐近发展$γ_k(a)$，它提供了方便和准确的结果，即使是适度的值$k$。
Applications of the Laurent-Stieltjes constants for Dirichlet $L$-series
洛朗斯蒂尔吉斯常数$γ_n(χ)$是，直到一个平凡的系数，通常的狄利克雷$L$级数的洛朗展开的系数：当$χ$是非主要的，$(-1)^nγ_n(χ)$是简单的值$n$ -th导数的$L(s,χ)$在$s=1$。本文给出了Dirichlet L-函数在$s=1$邻域内的一个短Taylor多项式逼近。我们还证明了黎曼zeta函数$ζ(s)$在具有$0\leq \Re{(s)}\leq 1.$的区域$|s-1|\leq 2.2093,$中没有零点
Hypergeometric summation representations of the Stieltjes constants
Stieltjes常数$γ_k$出现在Riemman和Hurwitz zeta函数的Laurent展开式的常规部分。我们证明，这些系数可以写为某些数学常数和专门的超几何函数$_pF_{p+1}$的总和。这一系列的结果推广了欧拉常数的表示在三角积分Si或Ci的值的总和。级数表示法适用于加速度。作为副产品，我们评估某些正弦对数积分，并提出了领先的渐近形式的特定$_pF_{p+1}$功能。
Stieltjes constants for Hurwitz-type L-series attached to periodic arithmetic functions
本文研究附于周期算术函数的Hurwitz型L-级数的Stieltjes常数，证明其亚纯延拓性与函数方程，推导其显式公式并应用于二次域相关Dirichlet特征的常数计算，扩展统一了相关研究。
On the Stieltjes constants with respect to harmonic zeta functions
本文研究了调和 Hurwitz zeta 函数 Laurent 展开式中的调和 Stieltjes 常数，并给出了常数 γ_H(m,1/2) 和 γ_H(m,1) 的求值公式。
Series representations of the Riemann and Hurwitz zeta functions and series and integral representations of the first Stieltjes constant
我们开发了一系列的赫维茨和黎曼zeta函数的广义伯努利数（Nörlund多项式），给出了这些功能的解析延续到整个复平面。特殊情况下产生各种特殊函数和数字的级数表示，包括log Gamma，digamma和polygamma函数。另一个副产品是，$ζ(n)$值以广义调和数的形式作为非线性欧拉和出现。我们还获得了第一Stieltjes常数$γ_1(a)$的级数和积分表示。该演示文稿统一了一些早期的结果。
The High Precision Numerical Calculation of Stieltjes Constants. Simple and Fast Algorithm
我们提出了一个简单而有效的方法计算Stieltjes常数在一个非常高的精度水平，高达约80000有效数字。该方法基于作者之一在1997年\cite{Maslanka 1}中提出的黎曼ζ函数的类超几何展开式。这种方法的关键要素是一系列高精度数值的黎曼ζ函数计算在等距实参数，即$ζ(1+\varepsilon),ζ(1+2\varepsilon),ζ(1+3\varepsilon),...$，其中$\varepsilon$是一些真正的参数。（$\varepsilon$的实际选择在正文中描述。）使用PARI/GP程序可以容易地获得这样的zeta值，该程序特别适合于此。
Functional equations for the Stieltjes constants
Stieltjes常数$γ_k(a)$表现为Hurwitz zeta函数$ζ(s,a)$关于$s=1$的洛朗展开的规则部分中的系数。我们提出的评价$γ_1(a)$和$γ_2(a)$在合理的论点，感兴趣的理论和计算解析数论和其他地方。我们给出了$γ_0(a)$、$γ_1(a)$和$γ_2(a)$的乘法公式，并指出这些公式是前面提出的加法公式的情况。给出了有理幅角双伽玛函数的积分估计，推广了高斯公式.此外，我们还给出了$γ_k(a)$作为$a \to 0$的渐近形式，以及一种用$\ln(-\ln x)$和有理因子计算被积函数积分的新技术。
Certain logarithmic integrals, including solution of Monthly problem #tbd, zeta values, and expressions for the Stieltjes constants
我们解决了O. Oloa，AMM xxx 2012 { \bf 119？} (to出现），p. yyy对于某些确定的对数积分。提出了一系列具有一定系数的生成函数$p_n$，并给出了一些推广.讨论了$p_n$与Nörlund数$B_n^{(n)}$的显式关系。某些不等式的$\{p_n\}$序列的系数，包括它的凸性，并证明了一个上限。结果表明，$p_n$值可以用来表示Stieltjes常数的赫维茨和黎曼zeta函数，以及这些zeta函数在整数参数的值。给出了具有$p_n$系数的其他求和。
Stieltjes constants appearing in the Laurent expansion of the hyperharmonic zeta function
本文研究了超调和Zeta函数的亚纯延拓，确立了其Laurent展开中自然出现的常数，并证明了这些常数与广义指数积分的积分均可表示为特殊常数的有限组合。
Analytic properties of the parametric harmonic zeta function, with applications to harmonic Stieltjes constants
研究参数调和zeta函数的亚纯延拓、极点留数、Taylor展开，推广经典恒等式，导出调和Stieltjes常数，并引入调和digamma函数。
Linear independence of $q$-analogue of the generalized Stieltjes constants over number fields
本文将Chatterjee和Garg关于广义Stieltjes常数$q$-模拟的算术结果从有理数域推广到数域的两类情形，拓展了相关数论研究的范围。
Evaluation of multivariate integrals based on a duality identity for the Stieltjes transform
一个详细的研究的二重积分表示的加泰罗尼亚常数，使我们能够确定一个对偶身份的斯蒂尔切斯变换的基础上。然后将这个对偶恒等式推广到任意维积分，并推导出几种特殊情况。在此过程中，我们还强调了与黎曼ζ函数的一些多元推广的关系。
On the Stieltjes constants and gamma functions with respect to alternating Hurwitz zeta functions
Dating back to Euler, in classical analysis and number theory , the Hurwitz zeta function $$ ζ(z,q)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+q)^{z}}, $$ the Riemann zeta function $ζ(z)$ , the generalized Stieltjes constants $γ_k(q)$ , the Euler constant $γ$ , Euler's gamma function $Γ(q)$ and the digamma function $ψ(q)$ have many close connections on their definitions and properties. There are also many integrals, series or infinite product representations of them along the history. In this note, we try to provide a parallel story for the alternating Hurwitz zeta function (also known as the Hurwitz-type…
On arithmetic nature of $q$-analogue of the generalized Stieltjes constants
本文拓展了2003年关于Hurwitz zeta函数$q$-模拟的研究，推导了其洛朗级数前两项系数的闭式，探究了相关超越性，提出了线性无关猜想并证明了超半数相关数在有理数域上线性无关。
On the Stieltjes Approximation Error to the Logarithmic Integral
本文研究了Stieltjes近似误差对logarithmic integral的误差，推导了无条件分析界，并提供了首个完全明确的全局界。
A note on some constants related to the zeta-function and their relationship with the Gregory coefficients
本文得到了第一、第二Stieltjes常数（也称为广义欧拉常数）以及一些密切相关的常数的新级数。这些级数只包含有理数项，并涉及所谓的格雷戈里系数，也被称为（倒数）对数，第一类柯西数和第二类伯努利数。此外，还给出了Euler常数和常数ln（2*pi）的两个有理项的有趣级数，并提出了Euler常数的另一种推广，得到了计算这些常数的各种公式。最后，在本文中，我们提到，几乎所有的常数在这项工作中考虑承认通过拉马努金求和简单的表示。
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