Deep Uzawa for PDE constrained optimisation
本文提出深度 Uzawa 算法，将 Uzawa 算法扩展至线性和半线性二阶椭圆型 PDE 约束的最优控制问题，证明了迭代格式的强收敛性，并通过数值实验验证其优于现有深度神经网络方法。
2024-10-22 cs.NA math.NA math.OC
A path-following inexact Newton method for PDE-constrained optimal control in BV (extended version)
我们研究了一个偏微分方程约束的最优控制问题，该问题涉及有界变差函数作为控制，并在目标中包含控制的TV值。我们应用路径跟踪不精确牛顿方法平滑TV的时间和添加$H^1$正则化所产生的问题。我们证明了在无限维设置，首先，这些辅助问题的解决方案收敛到原问题的解决方案，第二，不精确牛顿法享有快速局部收敛时，应用到最优性系统，其中控制出现的伴随状态的隐函数的重新制定。我们证明了一个有限元近似的收敛性，提供了一个全球化的预处理不精确牛顿方法作为离散辅助问题的求解器，并将其嵌入到一个不精确的路径跟踪计划。我们构造了一个二维的测试问题与完全显式的解决方案，并提出了数值结果来说明该方法的准确性和鲁棒性。这是一个扩展版本的相应期刊文章出现在“计算优化和应用”。它包含了一些在期刊版本中被省略的证明。
2022-03-30 math.OC
Qualitative analysis of optimisation problems with respect to non-constant Robin coefficients
最近的兴趣在一些最优控制和形状优化问题的定性分析，我们在这篇文章中提供了一个详细的研究在PDE约束变分法的罗宾边界条件的优化。我们的主要模型由一个椭圆形偏微分方程的形式$-Δu_β=f(x,u_β)$赋予罗宾边界条件$\partial_νu_β+β(x)u_β=0$。优化变量是函数$β$，假定其取值在0和1之间，并具有固定的积分。两种类型的标准正在考虑中：第一种是非能量标准。换句话说，我们的目标是优化形式为$\mathcal J(β)=\int_{Ω\text{ or }\partial Ω}j(u_β)$的泛函。我们证明，根据单调性的功能$j$，优化器可能是\emph{bang-bang}类型（换句话说，优化器写$1_Γ$的一些可测量的子集$Γ$的$\partial \ Omega $），或者相反，他们可能只采取严格的值在0和1之间。这对于相关的形状优化问题具有后果，在该问题中，人们试图找到在边界上应放置Neumann（$\partial_νu=0$）和恒定Robin条件（$\partial_νu+u=0$）以优化标准的位置。第一种情况的证明依赖于新的精细振荡技术，结合最优性条件使用。然后，我们调查的情况下，遵守型泛函。对于这样的充满活力的泛函，我们给出了深入的分析，甚至一些明确的最佳$β^*$的特性。
2021-10-12 math.OC
Shape optimisation with nonsmooth cost functions: from theory to numerics
研究了二维Lipschitz域上一类非光滑费用函数服从拟线性偏微分方程的问题。利用平均伴随方法和最大椭圆正则性，得到了费用函数的欧拉半导数。此外，我们还讨论了稳定点，并从理论和实践上说明了如何计算最速下降方向。最后，我们给出了一个简单的玩具问题的一些数值结果，并将它们与光滑的情况进行比较。我们还比较了收敛速度，并在非光滑情况下获得更高的速度。
2016-04-03 math.OC
A New Duality-Free Framework for Convex Optimisation with Superlinear Convergence and Effective Warm-Starting
Imperial College London（帝国理工学院）
本文提出了一种无对偶框架，用于凸优化问题，实现了超线性收敛和有效的预热启动，通过数值实验展示了其在MPC问题中的优越性能。
2026-01-13 math.OC
A Gauss-Newton Method with No Additional PDE Solves Beyond Gradient Evaluation for Large-Scale PDE-Constrained Inverse Problems
Colorado School of Mines（科罗拉多矿业学院）；University of California Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
本文提出了一种无需额外PDE求解的Gauss-Newton方法，用于解决大规模PDE约束反问题，提升了FWI的计算效率与收敛速度。
2026-03-06 cs.NA math.NA math.OC
A Lagrange-Newton method for solving optimal control problems on manifolds
针对流形上由几何变分方程描述的PDE约束最优控制问题，提出拉格朗日-牛顿方法，通过局部分裂技术实现，并证明其与牛顿法等价，数值示例验证了有效性。
2026-10-06 math.OC
A fast quasi-Newton-type method for large-scale stochastic optimisation
University of Newcastle（纽卡斯尔大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）
近年来，有限记忆拟牛顿法的随机自适应方法受到越来越多的关注，与纯梯度法相比，它可以通过引入二阶信息来提高收敛性。在这项工作中，我们提出了一个直接的最小二乘方法概念上类似于有限内存的拟牛顿法，但计算搜索方向略有不同的方式。这是通过保持低维的Cholesky因子以快速和数字鲁棒的方式实现的。这是结合随机线搜索依赖于履行沃尔夫条件的回溯方式，其中的步长自适应修改相对于优化进程。我们支持我们的新算法提供了几个理论结果，保证其性能。在现实世界的基准测试问题，表现出改进的结果相比，已经建立的方法。
2018-09-29 cs.LG math.OC stat.ML
Topological derivative for PDEs on surfaces
TU Graz（格拉茨工业大学）；TU Wien（维也纳工业大学）
本文研究了在无边界的光滑子流形上最优分布两种材料的问题，通过拓扑导数方法，结合线性偏微分方程的约束条件，推导了拓扑导数并展示了其与表面水平集方法结合用于数值拓扑优化的应用。
2020-05-18 math.DG math.OC
A review from the PDE viewpoint of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations Arising in Optimal Control with Vectorial Cost
本文是一个审查结果的优化，这可能不是那么标准的偏微分方程领域。为此，我们考虑的问题，推导出的偏微分方程的最优控制的系统的ODE或SDES相对于一个向量值的成本功能。优化被认为是相对于一个偏序产生的一个给定的锥。由于在向量的情况下，最小值可能不存在，我们定义向量值函数作为排序的（帕累托）最小值。我们的主要目标是推导出的模型偏微分方程变成参数家庭的HJB单方程，而不是系统的偏微分方程。然而，这允许使用黏性解理论。
2018-01-13 math.AP math.OC math.PR
An Approximate Newton Method for Markov Decision Processes
基于马尔可夫链的算法是马尔可夫决策过程优化的首选方法之一。在这篇文章中，我们将提出一种新的近似牛顿算法优化这些模型。该算法比单纯的牛顿法具有各种理想的性质。首先，在控制器参数为对数凹的情况下，保证了近似Hessian在整个参数空间上是负半定的。此外，我们的近似牛顿法所需的推理通常与一阶方法所需的推理相同，例如最陡梯度上升法。近似Hessian还具有许多Hessian中不存在的良好稀疏性属性，并且在许多感兴趣的情况下使其反演有效。我们还提供了一个分析，突出了我们的近似牛顿法和期望最大化和自然梯度上升之间的关系。实验结果表明，该算法具有良好的收敛性和鲁棒性。
2015-08-04 math.OC
Online Newton Method for Bandit Convex Optimisation
University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）；Leiden University（莱顿大学）；Google DeepMind（谷歌DeepMind）；Korteweg-de Vries Institute for Mathematics（科特韦格-德弗里斯数学研究所）；Mathematical Institute（数学研究所）
本文提出一种计算高效的零阶强盗凸优化在线牛顿法，在对抗和随机环境下分别证明了维度依赖的多项式对数遗憾界，显著提升了理论性能。
2024-06-10 cs.LG math.OC stat.ML
Differential estimates for fast first-order multilevel nonconvex optimisation
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）；MODEMAT Research Center in Mathematical Modeling and Optimization（数学建模与优化研究中心）；Department of Mathematics and Statistics, University of Helsinki（赫尔辛基大学数学与统计系）
本文提出一种用于多级优化的微分估计方法，通过结合外层优化方法与内层标准优化方法，改进了非凸Primal-Dual Proximal Splitting算法的收敛性。
2026-03-31 cs.NA math.NA math.OC
Preconditioning of Active-Set Newton Methods for PDE-constrained Optimal Control Problems
Università di Bologna（博洛尼亚大学）
本文提出基于Schur补矩阵因子化的两种新预处理方法，用于求解偏微分方程约束最优控制问题中的鞍点线性系统，通过合并主动集块到约束块中提升鲁棒性。
2015-05-22 cs.NA math.NA math.OC
Optimising Spatial and Tonal Data for PDE-based Inpainting
Brandenburg Technical University Cottbus–Senftenberg（科特布斯-森夫滕堡勃兰登堡工业大学）；Saarland University（萨尔兰大学）；Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克信息学研究所）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；University of Adelaide（阿德莱德大学）；LIX；École Polytechnique（巴黎综合理工学院）
最近的一些有损信号和图像压缩方法只存储少数选定的像素，并通过用偏微分方程（PDE）修复来填充丢失的结构。合适的算子包括拉普拉斯算子、双调和算子和边缘增强各向异性扩散（EED）。这种方法的质量在很大程度上取决于所保存的数据的选择。优化这些数据的域和codomain引起了具有挑战性的数学问题，应在我们的工作中解决。在1D的情况下，我们证明的结果，提供洞察这个问题的难度，我们给出的证据表明，分裂成空间和色调（即函数值）优化几乎不会恶化的结果。在2D设置中，我们提出了通用算法，即使指定的数据是非常稀疏的，实现高重建质量。为了优化空间数据，我们使用概率稀疏化，然后进行非局部像素交换，以避免陷入糟糕的局部最优值。在此空间优化之后，我们执行修改函数值的色调优化，以减少全局重建误差。对于均匀扩散修复，这归结为一个最小二乘问题，我们证明它有一个唯一的解决方案。我们证明，它可以有效地找到一个梯度下降的方法，加速快速显式扩散（FED）周期。我们的框架允许指定所需的修补掩模的先验密度。此外，对于稀疏修复问题，它比其他数据优化方法更通用，因为它也可以扩展到EED等非线性修复运算符。这被用来实现具有最先进质量的重建。我们还对基于偏微分方程的图像压缩方法进行了广泛的文献调查。
2015-06-15 cs.CV math.OC
A Scalable Interior-Point Gauss-Newton Method for PDE-Constrained Optimization with Bound Constraints
本文针对带边界约束的PDE约束优化问题，提出基于全空间内点高斯-牛顿法的可扩展求解框架，并设计两种谱相关预条件子，使线性求解迭代次数与离散化和内点病态性无关，实现并行可扩展求解。
2024-10-19 cs.NA math.NA math.OC
Efficient Gauss-Newton-Krylov momentum conservation constrained PDE-LDDMM using the band-limited vector field parameterization
Aragon Institute on Engineering Research（阿拉贡工程研究所）；University of Zaragoza（萨拉戈萨大学）
在偏微分方程约束的大变形非纯度量映射框架下提出的一类非刚性配准方法是一类特别有趣的物理意义非纯配准方法。PDE约束LDDMM方法被配制成约束变分问题，其中不同的物理模型施加使用相关的偏微分方程作为硬约束。非精确Newton-Krylov优化在此框架下表现出优异的数值精度和极快的收敛速度。然而，非定常速度场的Galerkin表示不能提供适当的测地线路径。在以前的工作中，我们提出了一种方法的PDE约束LDDMM参数化的初始速度场的空间下的EPDiff方程。该方法在PDE约束的LDDMM框架下提供了测地线，并表现出与基准PDE约束的LDDMM和EPDiff-LDDMM方法相竞争的性能。然而，这种方法的主要缺点是偏微分方程约束LDDMM方法固有的大内存负载和相对于基准方法的计算时间增加。在这项工作中，我们优化的计算复杂性的方法使用带限向量场参数化关闭循环与我们以前的作品。
2018-07-27 cs.LG math.OC stat.ML
Dynamic inverse problems: Single-loop online algorithms
University of Graz（格拉茨大学）；University of Helsinki（赫尔辛基大学）；MODEMAT Research Center in Mathematical Modeling and Optimization（数学建模与优化研究中心 MODEMAT）
针对无限时间动态逆问题，提出单循环在线算法，用单步迭代近似PDE和伴随PDE的解，替代精确梯度，实现实时求解，并在动态EIT中验证有效性。
2026-06-09 math.OC
An adaptive projected Newton non-conforming dual approach for trust-region reduced basis approximation of PDE-constrained parameter optimization
在这方面的贡献，我们设备和分析的非协调对偶方法的置信域减少基础（TR-RB）逼近的PDE约束参数最优化，最近已在[Keil等人。偏微分方程约束优化的自适应置信域缩减基逼近的非协调对偶方法。arXiv：2006.09297，2020]。所提出的方法使用模型降阶技术的参数化偏微分方程显着减少的参数最优化的计算需求，在大规模或多尺度应用的背景下，偏微分方程的约束。自适应TR方法允许沿着优化路径相对于参数空间局部化减少，而不会在离线阶段浪费不必要的资源。改进的变体采用投影牛顿法来解决每个TR步骤内的局部最优化问题，以受益于高收敛速度。这意味着新的战略，在建设的RB空间，以及估计的近似海森。此外，我们提出了一个新的证明收敛的TR-RB方法的基础上无限维的参数，不限于特定情况下的RB近似，并提供了一个后验误差估计的最佳参数的近似。数值实验证明了所提出方法的有效性。
2020-12-21 cs.NA math.NA math.OC
Full-Space Approach to Aerodynamic Shape Optimization
气动外形优化（ASO）涉及到在约束一组非线性偏微分方程（PDE）的同时寻找最优曲面。传统的方法使用拟牛顿法在缩减空间中操作，其中PDE约束在每个设计步骤中通过将流动求解器与优化器解耦来消除。相反，全空间拉格朗日-牛顿-克雷洛夫-舒尔（LNKS）方法耦合的设计和流动迭代，同时最小化的目标函数和改善的PDE约束的可行性，这需要更少的迭代的正问题。另外，二阶信息的使用导致与控制变量的数量无关的设计迭代的数量。我们讨论了必要的成分，以建立一个有效的LNKS ASO框架，以及其实施的复杂性。LNKS的方法，然后比较基准的二维测试用例使用高阶不连续Galerkin方法离散的PDE约束的缩减空间的方法。
2020-11-26 math.OC
Computational comparison of surface metrics for PDE constrained shape optimization
我们比较表面度量的形状最优化问题的约束，主要由偏微分方程（PDE），从计算的角度来看。特别是，经典的Laplace-Beltrami型度量与Steklov-Poincaré型度量进行了比较。试验问题是在Stokes流中使物体的能量耗散最小化。因此，我们建立了一个拟牛顿法适当的形状流形与增广拉格朗日框架，以便能够直接集成的形状的几何约束。比较的重点是收敛行为以及形状优化过程中对网格质量的影响。
2016-07-28 math.OC
Single-loop methods for bilevel parameter learning in inverse imaging
本文提出一种灵活的单循环双层优化方法，通过交织迭代求解器与优化步骤降低逆成像中参数学习的计算成本，并在图像去模糊和MRI中验证其性能提升。
2025-08-04 math.OC
Hybrid Methods in Polynomial Optimisation
针对大规模多项式优化问题中半定规划难以求解的挑战，提出结合一阶与二阶方法的混合算法，利用Smale点估计理论确保Newton法二次收敛，并成功应用于大规模最优潮流问题求解。
2023-09-12 math.OC
Phase field topology optimisation for 4D printing
本研究针对4D打印结构拓扑优化问题，提出基于相场方法的PDE约束最小化模型，证明最优设计存在性并推导一阶必要条件，通过二维、三维数值模拟验证了理论结果。
2022-07-08 math.OC
A generalized alternating NGMRES method for PDE-constrained optimization problems governed by transport equations
提出GA-NGMRES方法加速输运方程PDE约束优化的一阶方案，通过周期性混合策略提升效率，运行时间比Newton-Krylov快5倍，优于Anderson加速。
2025-10-09 math.OC
Preconditioning PDE-constrained optimization with $\rm L^1$-sparsity and control constraints
Università degli Studi di Firenze（佛罗伦萨大学）；Università di Bologna（博洛尼亚大学）；Max Planck Institute for Dynamics of Complex Technical Systems（马克斯·普朗克复杂技术系统动力学研究所）
本文提出了一种鲁棒的预条件器，用于解决包含L1稀疏性和控制约束的PDE约束优化问题，通过结合线搜索策略和近似方法，使半光滑牛顿法适用于实际问题，并通过理论分析和数值实验验证了方法的鲁棒性。
2016-11-22 cs.NA math.NA math.OC
Technical Note: PDE-constrained Optimization Formulation for Tumor Growth Model Calibration
我们讨论的解决方案算法，用于校准肿瘤生长模型的成像数据构成的确定性逆问题。正演模型由一个非线性、时变的反应扩散偏微分方程（PDE）组成，未知参数（扩散率和增殖率）为空间场。我们使用一个维度无关的全球化，不精确的牛顿共轭梯度算法来解决偏微分方程约束的优化。所需的梯度和海森行动也提出了使用伴随方法和拉格朗日形式主义。
2023-02-15 cs.CE math.OC
Optimal Control of the Inhomogeneous Relativistic Maxwell Newton Lorentz Equations
本文研究了由相对论性Maxwell-Newton-Lorentz方程组所支配的最优控制问题，该方程组描述了带电粒子在电磁场中的运动，由一个双曲偏微分方程组和一个非线性常微分方程组耦合而成.外部磁场用作控制变量。通过引入标量磁势，引入了一个非常弱的椭圆偏微分方程形式的附加状态方程，从而引入了附加的控制约束。证明了状态方程的存在唯一性，并建立了全局最优控制的存在性。此外，还导出了Karush-Kuhn-Tucker条件形式的一阶必要最优性条件.数值试验说明了理论研究结果。
2014-11-26 math.OC physics.acc-ph physics.comp-ph
L1 penalization of volumetric dose objectives in optimal control of PDEs
这项工作涉及一类由偏微分方程控制的最优控制问题，其动机是放射治疗计划中的应用，其中主要设计目标是最小化状态泛函违反规定水平的体积，但以逐点状态约束的形式规定这些水平可能会导致不可行的问题。因此，我们提出了一种替代方法的基础上$L^1$处罚的违规行为。我们建立了相应的最优控制问题的适定性，推导出一阶最优性条件，并提出了一个半光滑牛顿法有效的数值解这些问题。该方法的模型问题的性能进行说明，并与基于（正则化）状态约束的替代方法进行对比。
2017-02-11 math.OC
Convergence of a steepest descent algorithm in shape optimisation using $W^{1,\infty}$ functions
Otto-von-Guericke-University Magdeburg（奥托·冯·古里克马格德堡大学）；University of Sussex（萨塞克斯大学）；University of Koblenz（科布伦茨大学）
本文提出了一个基于 $W^{1,\infty}$ 拓扑和有限元离散的形状优化框架，设计了带 Armijo-Goldstein 步长规则的最速下降算法，并证明了其全局收敛性及离散形状在 Hausdorff 互补度量下的收敛性。
2023-10-23 cs.NA math.NA math.OC
Taylor polynomial-based constrained solver for fuel-optimal low-thrust trajectory optimisation
ISAE-SUPAERO（法国国立高等航空航天学院）；University of Auckland（奥克兰大学）
本文提出DADDy框架，利用微分代数实现动力学的自动微分和高阶泰勒展开，通过多项式计算替代数值传播，提升计算效率并保持解的质量。
2026-04-30 math.OC
Image denoising: learning noise distribution via PDE-constrained optimization
Escuela Politécnica Nacional de Quito（基多国立理工学院）；University of Cambridge（剑桥大学）
提出一种PDE约束优化方法，用于确定全变分图像去噪中的噪声分布，并证明最优解的存在性、正则化一致性及解算子的可微性，通过拟牛顿法和半光滑牛顿算法数值计算最优参数。
2012-07-14 cs.NA math.AP math.NA
Automated computation of topological derivatives with application to nonlinear elasticity and reaction-diffusion problems
虽然拓扑导数已被证明在拓扑优化和逆问题的应用中是有用的，但它们的数学严格推导仍然是一个正在进行的研究课题，特别是在非线性偏微分方程（PDE）约束的背景下。我们提出了一个系统的，但正式的方法计算的拓扑导数的一个大类的PDE约束的拓扑最优化问题的任意包含形状。在二维和三维空间中考虑了标量和向量值以及线性和非线性椭圆型PDE约束，包括非线性弹性模型和非线性反应-扩散问题。该系统的程序遵循拉格朗日方法计算拓扑导数。对于已知精确公式的问题，数值计算值显示出良好的一致性。此外，通过插入到拓扑渐近展开的计算值，我们验证所获得的值满足预期的行为也为其他，以前未知的问题，表明程序的正确性。我们提出了一个系统的方法，适用于一个大类的问题的拓扑衍生物的计算。最值得注意的是，我们的方法涵盖了非线性弹性问题的拓扑导数，这在文献中还没有报道。
2021-07-21 math.OC
A simplified Newton method to generate snapshots for POD models of semilinear optimal control problems
在偏微分方程约束优化中，适当的正交分解（POD）提供了一个代理模型的（可能昂贵的）偏微分方程离散化，优化迭代执行。由于POD模型通常仅在局部提供良好的近似质量，因此必须在优化期间对其进行更新。然而，更新POD模型通常是昂贵的，并且因此在模型预测控制（MPC）上下文中通常是不可能的。因此，质量一般的降阶模型可能被接受。我们采用简化牛顿法求解半线性发展方程的观点，推导出一种算法，该算法可以作为离线阶段来产生POD模型。在这种情况下，利用冲激响应快照构建POD模型的方法可以被视为第一牛顿步骤。特别是，POD模型的基础上，冲激响应快照扩展通过添加第二个简化的牛顿步骤。该过程通过在优化或MPC循环期间引入适量的额外计算成本来显著提高POD模型的近似质量。我们用一个满足我们假设的例子来说明我们的发现。
2021-08-04 cs.NA math.NA math.OC
Tensor-Train Compressed Separable PINNs: A Curvature-Aware Optimization Framework for Parametric PDEs in High Dimensions
Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics (WIAS)（魏尔斯特拉斯应用分析与随机学研究所（WIAS））
本文提出基于高斯-牛顿拉回度量的二阶优化框架，利用可分离结构压缩残差雅可比矩阵，实现高维参数化PDE的高效求解，显著降低误差、迭代次数和计算时间。
2026-09-30 cs.LG cs.NA math.NA
An Optimisation Framework for the Well-Conditioned Training of Physics-Informed Neural Networks
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
提出DSGNAR二阶优化框架，通过双草图高斯-牛顿和自适应正则化步长控制，解决PINN训练中的病态损失景观问题，在多个基准问题上实现前所未有的精度和速度。
2026-07-03 cs.LG cs.NA math.NA
Towards a Mathematical Understanding of the Difficulty in Learning with Feedforward Neural Networks
fortiss – Landesforschungsinstitut des Freistaats Bayern（巴伐利亚州 fortiss 州立研究所）
训练深度神经网络来解决机器学习问题是该领域的一个巨大挑战，主要是由于其相关的优化问题是高度非凸的。最近的发展表明，许多训练算法在某些情况下不会遭受不希望的局部极小值，因此导致了对这种观察的数学解释的巨大努力。这项工作提供了一个替代的数学理解的挑战，从平滑优化的角度。通过假设有限样本的精确学习，通过临界点分析确定充分条件，以确保任何局部最小值也是全局最小值。此外，一个国家的最先进的算法，被称为广义高斯-牛顿（GGN）算法，严格重新作为一个近似牛顿算法，它的股票的属性是局部二次收敛到一个全局最小值的条件下的精确学习。
2017-11-21 cs.AI cs.LG cs.NE
A Double-Layer Jacobi Method for PDE-Constrained Nonlinear Model Predictive Control
针对由偏微分方程（PDE）控制的系统，提出了一种非线性模型预测控制（NMPC）的实时最优化方法。通过使用有限差分法在空间和时间上离散PDE系统来制定待解决的NMPC问题。该方法被称为双层雅可比方法，它利用了空间和时间稀疏的偏微分方程约束的NMPC问题。在上层，NMPC问题通过忽略状态或协态（对应于状态方程的拉格朗日乘子）方程的时间耦合来解决，从而保持空间稀疏性。下层Jacobi方法是一种线性求解器，通过利用空间稀疏性来专用于PDE约束的NMPC问题。收敛性分析表明，该方法的收敛性与预测时域和正则化有关。对传热过程控制的数值实验结果表明，该方法比传统的结构开发牛顿法快两个数量级。
2020-04-06 cs.SY eess.SY math.OC
A multigrid solver for PDE-constrained optimization with uncertain inputs
针对含不确定输入的PDE约束优化中的大型鞍点系统，提出一种基于集体光滑子的多重网格算法，证明其简化系统求解达最优$O(N)$复杂度，在三类问题测试中均表现出优异性能和参数鲁棒性。
2024-05-17 cs.NA math.NA math.OC
Some optimal control and shape optimisation problems for bulk-surface cooperative systems
本文研究体-表合作系统的最优资源分布与形状优化，建立球的Talenti不等式，并分析最大化物种生存率的最优形状存在性及球的局部最优性。
2025-05-27 math.AP math.OC
An inexact Newton-Krylov algorithm for constrained diffeomorphic image registration
The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
我们提出了解决大变形几何图像配准问题的数值算法。我们将非刚性图像配准问题转化为一个最优控制问题。这导致了一个无限维偏微分方程（PDE）约束的最优化问题。PDE约束，在其最简单的形式，一个双曲传输方程的图像强度的演变。控制变量是速度场。控制上的Tikhonov正则化确保适定性。我们考虑基于$H^1$ -或$H^2$ -范数的标准平滑正则化。我们增加了这个正则化方案的速度场的发散性的约束，使变形不可压缩，从而确保变形梯度的行列式等于一，直到数值误差。我们使用傅立叶伪谱离散空间和切比雪夫伪谱离散时间。我们使用预处理，全球化，矩阵自由，不精确的牛顿-克雷洛夫方法进行数值优化。设计了一种参数延拓方法来估计最优正则化参数。通过控制变形场的几何特性来确保规则性。总的来说，我们得到了一个黑盒解决方案。我们研究了Hessian格式的谱性质、网格收敛性、数值精度、计算效率和变形规律。我们比较设计的牛顿-克雷洛夫方法与全球化的预条件梯度下降。我们研究了不同数量的未知量的影响。报告的结果表明，优良的数值精度，保证局部变形规律，和计算效率与局部质量守恒的可选控制。如果需要高精度的反演，Newton-Krylov方法明显优于Picard方法。
2015-05-07 cs.CV cs.NA math.NA
A Stochastic Iteratively Regularized Gauss-Newton Method
本文提出随机迭代正则化高斯-牛顿方法（SIRGNM），通过小批量随机草图化扩展经典反问题算法，在二维椭圆PDE实验中以相近精度显著降低计算时间。
2024-09-19 cs.NA math.NA math.OC
